杜子芳，劉亞文，于煥杰

（1.中國人民大學 統(tǒng)計學院，北京 100872；2.對外經(jīng)濟貿(mào)易大學 統(tǒng)計學院，北京 100029）

0 引言

k法是產(chǎn)品計量抽樣檢驗中的常用方法之一。對于其中的單側檢驗而言，在中心極限定理成立假設下，其抽樣檢驗方案（N，n，k）非常簡單，只需要確定n和k兩個參數(shù)即可。其中N為總體規(guī)模或批量，n是不放回簡單隨機抽樣方式的樣本量，k是單側檢驗時的判別依據(jù)—界值。

單側k法檢驗的現(xiàn)實背景是，μ0和μ1都是事先給定/規(guī)定/約定的值，分別稱為合格質(zhì)量水平和極限質(zhì)量水平。由于單側檢驗雖有下限與上限之分，但原理是一樣的，不妨只討論單側下限的計量檢驗的情形，即認定當產(chǎn)品質(zhì)量特性Y是數(shù)值型隨機變量時，其總體均值μ≥μ0時，認為該批產(chǎn)品是合格的，買方應予以接收；總體均值μ＜μ1時，予以拒收。顯然 μ越大越好，買方不希望μ＜μ0，更幾乎不準 μ＜μ1。由于此時恒有(μ1＜μ0)，否則會因買方標準高于賣方標準，交易無法達成。但明顯地，當總體均值 μ1≤μ＜μ0時，無法做出接收還是拒收的判斷。為了對一批產(chǎn)品做出要么接收要么拒收的決斷，基于第三方立場，人們提出了在μ1到μ0之間確定一個k值，修改檢驗或判定準則為：

1 方案改進

針對和總體方差σ2已知的情形（注意這既非罕見的場合，在連續(xù)生產(chǎn)許多批產(chǎn)品的中后期階段尤其如此，亦非如統(tǒng)計學理論中的不符合現(xiàn)實的假設），W.A.Wallis上世紀50年代前就有十分完美的結果：

此即著名的Wallis經(jīng)典公式。自該公式面世以來，國內(nèi)外這方面的研究很少，國外近40年沒見新的文獻，幸而國內(nèi)還有少數(shù)學者還在關注。

對于總體方差未知的情形（這種場合常見于孤立批和連續(xù)批的初期階段，且十分吻合統(tǒng)計學的理論假設），Wallis W.A.于1947年也給出了一個看起來不錯且沿用至今的近似結果：

其推導過程為：

方差未知時應使用t分布解決問題，為此令：

也就是：

當 μ=μ0時，P(yˉ≥μ0+ts)=1-α

當 μ=μ1時，P(yˉ≥μ0+ts)=β

或

當 μ=μ0時，P(yˉ-μ0≥ts)=1-α

當 μ=μ1時，P(yˉ-μ0≥ts)=β

進一步：

當 μ=μ0時

當 μ=μ1時

顯然，μ=μ0時即服從自由度為n-1的中心t分布。

可是，μ=μ1時，由于不服從N（0，1）分布，從而服從自由度為n-1的非中心t分布。

方差為：

顯然：

當 μ=μ0時

當 μ=μ1時

不過二者方差是相等的。

因而：

類似地也可得：

盡管這個結果只是近似的，且該公式一面世，哥倫比亞大學統(tǒng)計學教研組就指出這個結果遠非準確，并以表的方式給出了一個具體比較。

然而令人訝異的是，這個公式竟然沿用至今，仍然活躍在國際標準和教科書中，似乎并未受到進一步的質(zhì)疑和挑戰(zhàn)。哥倫比亞大學統(tǒng)計學教研組的精確解主要從消除以正態(tài)分布近似t分布所產(chǎn)生誤差的角度，并非給出一個相應的替代方案。事實上，1979年，E.C.Schilling和D.J.Sommer1979年還基于Wallis經(jīng)典公式和近似公式制作了可用于對不合格品率或百單位缺陷數(shù)的檢驗用表，被用于ISO-3951-1981，并因此活躍于對新版ISO標準及各國標準之中。

癥結在于，人們在幾十年間里似乎沒有發(fā)現(xiàn)上述推導過程一開始就令k=μ0+ts是一處不顯眼的致命錯誤，因為仔細思考，從此式可以看出，k的定義只與μ0有關，而與 μ1無關，對比上述總體方差σ2已知時的公式 k=中，μ0與 μ1完全是對稱的情形，則不難知道漠視μ1的存在是不合理的。

事實上，數(shù)理統(tǒng)計似乎總是以原假設成立為優(yōu)先條件進行理論推導，不曾意識到對產(chǎn)品抽樣檢驗來說，原假設與備擇假設的地位是平等的，而且在計算過程里，忽視了本質(zhì)上兩個假設是允許同時成立的本原，否則Wallis經(jīng)典公式便不成立。

將k法的下限計量檢驗的判定規(guī)則更“準確”地表達為：

原假設成立即當 μ=μ0時

備擇假設成立即當 μ=μ1時

于是當總體/批方差σ2已知時，若服從標準正態(tài)分布；當 μ=μ1時也服從標準正態(tài)分布；則有：

聯(lián)立這兩個方程即可得到優(yōu)美無比的經(jīng)典公式。換個角度看，這說明在單側計量檢驗問題里原假設與備擇假設的地位是平等的，允許同時成立。這與統(tǒng)計學的判別分析相似，基于這樣的分析，可以給出一下推導：

設方差未知但相等，中心極限定理成立，將μ0與μ1一視同仁則：

于是：

這里的公式極其簡潔，完全可與總體方差已知時Wallis公式相媲美，且與Wallis公式的聯(lián)系十分清晰，只是以t分布代替標準正態(tài)分布而已。從檢索結果看，這個結果應歸功于中國學者。需要注意的是，這是精確的結果，比起前述教科書的近似結果：不僅精確而且簡潔，更容易解釋。

美中不足的是：

公式右邊存在以n為自變量的參數(shù)，為了克服這一缺陷，國內(nèi)學者提出的解決方法大致有三種：

（1）基于t分布與標準正態(tài)分布的近似關系，直觀地提出了在Wallis公式中用樣本方差替代了總體方差的解決辦法；

（2）利用命名為動差法的解決辦法，逐漸加大n進行試調(diào)查，直至樣本方差穩(wěn)定，然后在Wallis公式中用樣本方差替代了總體方差；

（3）以假設值代入精確公式，算出相應參數(shù)的手段并編成表備查，現(xiàn)行國標即采用這種方法。

第一種解決方法實質(zhì)是以標準正態(tài)分布近似代替t分布，樣本量較小時弊端明顯；第二種解決方法關于總體方差的估計誤差較小，其樣本量必偏大；第三種是目前最好的解決辦法，但通過列出不同的有限的α，β等試算結果，編制成表讓使用者查表，既不靈活也比較繁瑣，更不適應當今計算機及軟件普及的情況。

針對第三種解決方法的這一瑕疵，本文發(fā)現(xiàn)編制表格本質(zhì)上屬于迭代，所以完全可以嘗試通過迭代法求得最終的n，步驟是：首先以 zα和 zβ代替 tα(n-1)和 tβ(n-1)，求出一個n*，將n*代入等式右端 tα(n-1)和 tβ(n-1)，求出新的n*；重復上述步驟直至n*穩(wěn)定下來不再變化為止。嘗試的結果表明，不論是初值是小還是大，不管離真值是遠還是近，收斂速度都很快。究其原因，應是得益于t分布與標準正態(tài)分布的高度近似，比較t分布和標準正態(tài)分布圖容易發(fā)現(xiàn)，兩者差異的確不大，且差異隨n增加而快速減小。見圖1所示。

圖1 標準正態(tài)分布與t分布密度曲線

2 數(shù)值模擬

表1 第一例數(shù)值迭代過程表

在該例中，只經(jīng)過三步即得到收斂的結果（見表1），且與依近似公式：

所得樣本量結果一樣，但t值有所不同，近似的為0.46，依精確公式計算的為0.470727。

表2 第二例數(shù)值迭代過程表

如表2所示，3次迭代結果穩(wěn)定于：

但若依近似公式則為：

可見，在方差較大時，即使需要比較精密的檢驗時，兩者結果相差不大，這大概是Wallis近似公式能夠“長盛不衰”的緣故。但當方差較小時，兩者的差異是較大的：見表3所示，上例中的方差由256調(diào)到25，則依近似公式樣本量是7，依精確公式迭代是11。

將這些例子的結果與哥倫比亞大學統(tǒng)計教研室的結果進行比較發(fā)現(xiàn)，精確公式比近似公式更加接近。其實由于Wallis近似公式：

表3 方差較小時的數(shù)值迭代過程表

公式右端第二項是一個只與α有關的常數(shù)項，與n無關，不會像精確公式那樣隨n增加而收斂于總體方差已知的Wallis經(jīng)典公式。這是很明顯的瑕疵。瑕疵源于：

本文進一步發(fā)現(xiàn)，新的精確公式雖然結論正確，但推導過程卻也存在瑕疵。原本的判定原則：

當μ≥μ0時，認為該批產(chǎn)品是合格的；

當μ＜μ1時，認為該批產(chǎn)品不合格。

與后來推出完美公式的k法的右側計量檢驗的判定規(guī)則：

當 μ=μ0時，P{yˉ≥k}=1-α

當 μ=μ1時，P{yˉ≥k}=β

并不具一一對應的等價性，很明顯，原本的規(guī)則中μ≥μ0和μ＜μ1都是實數(shù)軸上的一個區(qū)間，而后來的μ=μ0和μ=μ1都是一個點。更何況：

事實上，演算表明k與μ0之間的概率遠小于理論上的0.5-α，足以表明所謂若服從標準正態(tài)分布的似是而非。

3 結論

樣本量過大和過小都有弊端。如何合理確定樣本量是產(chǎn)品抽查檢驗方案的重要內(nèi)容之一?？茖W的抽查檢驗有助于公平維護賣方和買方雙方的權益和利益，促進社會進步，減少交易糾紛，降低抽檢成本。鑒于產(chǎn)品質(zhì)量檢驗的重要性，對抽驗方案的哪怕些微改進都是很有益處的，對于正處在經(jīng)濟轉型產(chǎn)品升級由制造大國向制造強國奮進的中國來說，更具價值，附帶地還可能有助于爭取國際標準方面的話語權和存在感。同時，上面的推導雖然以產(chǎn)品檢驗為背景，但其方法可以推廣與任何基于給定兩類錯誤的如醫(yī)學試驗、風險控制等統(tǒng)計檢驗領域。

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