龔艷冰，楊舒馨，戴靚靚

（河海大學 企業(yè)管理學院，江蘇 常州 213022）

0 引言

針對現(xiàn)實世界語言值的模糊性，1982年名古屋大學的Tanaka等首次提出了模糊線性回歸模型，主要考慮自變量為非模糊數(shù)、回歸系數(shù)為對稱三角模糊數(shù)的回歸模型，并將參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題[1]。Diamond等在三角模糊空間上定義一個適當?shù)木嚯x，利用最小二乘原理得到另一種模糊回歸分析模型的參數(shù)估計方法[2]。Chang等對現(xiàn)有模糊回歸模型進行了分析比較，并總結(jié)了模糊回歸分析常用的二種方法，即線性規(guī)劃方法、模糊最小二乘方法[3]。模糊回歸模型是模糊集理論與傳統(tǒng)回歸方法的結(jié)合，在實際應(yīng)用中收到了較好的效果，之后國內(nèi)外許多學者對模糊線性回歸模型的參數(shù)估計方法進行了大量研究[4-8]。

本文試圖利用模糊數(shù)的統(tǒng)計特征（可能性均值、方差），從影響模糊數(shù)的主要特征出發(fā)，利用最小二乘原理，從可能性均值-方差距離最小的角度估計模糊回歸模型的參數(shù)。本文方法考慮決策中的主觀模糊性，在某種程度上提升了模糊回歸模型的靈活性和合理性。

1 基本概念及定義

定義1：假定模糊數(shù)A的隸屬函數(shù)為：

則稱A=(a，α，β)為三角模糊數(shù)，其中α，β稱為三角模糊數(shù)的左右擴展。根據(jù)Zadeh的擴展原理，可得三角模糊數(shù) A=(a，α1，β1)和 B=(b，α2，β2)的算術(shù)運算法則為[5]:

定義2：設(shè)模糊數(shù)A的 γ截集為 A(γ)=[al(γ)，au(γ)]，則模糊數(shù)A的可能性均值和方差分別為[9]：

2 模糊線性回歸模型參數(shù)估計

對于模糊線性回歸模型的討論，大致可以分為以下三種情形：①輸入自變量為實數(shù)值，輸出因變量和待估計參數(shù)為模糊數(shù)的線性回歸模型，②輸入自變量和輸出因變量為模糊數(shù)，待估計參數(shù)為實數(shù)的線性回歸模型，③輸入自變量、輸出因變量、待估參數(shù)均為模糊數(shù)的線性回歸模型，本文主要考慮第一種情況，即：

其中，xji表示實數(shù)解釋變量，yi表示模糊響應(yīng)變量，bj為待估計模糊回歸系數(shù)，一般假定大于0。特別的，以三角模糊數(shù)為例，令三角模糊數(shù) bj=(kj，αj，βj)(j=1，2，…，p)，則上述模糊線性回歸模型（6）可改寫成：

利用三角模糊數(shù)的運算法則式（2），對上述三角模糊數(shù)回歸模型（7）進行線性表示：

其中 x0i=1，要確定模糊回歸系數(shù)2，…，p)，通常方法是定義模糊數(shù)之間的距離，使得模糊回歸問題轉(zhuǎn)化為最小化模糊距離的問題，從而使得給定的模糊距離下響應(yīng)變量觀測值與響應(yīng)變量估計值之間的誤差最小，即：

上述模型（9）的最小值很難直接求出，本文在文獻[18]中采用最小一乘回歸方法估計模糊回歸系數(shù)，但是最小一乘回歸的計算相對復雜得多，相對而言，最小二乘回歸的計算更為簡單,效果也在整體上更好。為了估計模型（7）的參數(shù)，首先給出可能性均值-方差歐氏距離的概念，即模糊數(shù)A和B的距離可以定義為：

顯然，三角模糊數(shù)A和B的可能性均值-方差歐氏距離滿足距離測度的非負性、對稱性和三角不等式性質(zhì)，即：

為了估計模型（7）的自變量回歸系數(shù)，可將模糊因變量估計值與觀測值間的均值-方差最小二乘距離誤差平方和作為模型（9）的近似估計，即：

對于三角模糊數(shù)將式（5）代入式（11），可得誤差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，對于 j=0，1，…，p上述誤差平方和最小，只需令：

記：

則等式（13）至等式（15）可以寫成下列矩陣形式：

通過求解上述線性方程組（16）可得到模糊線性回歸模型（7）的回歸系數(shù)的估計值，這比文獻[18]求解線性規(guī)劃模型要簡單，稱這種最小二乘參數(shù)估計方法為可能性均值-方差距離最小二乘方法（Possibilistic Mean-Variance Distance Least Squares Method），簡稱PMVD-LSM。為了比較PMVD-LSM的估計效果，將擬合值與實際值之間的可能性均值-方差誤差平方和作為誤差估計的檢驗依據(jù)，當回歸方程擬合出來的模糊回歸模型具有較小的e值，則說明該模型應(yīng)該是不錯的模型。

3 實例

為了說明本文方法的可行性，參考Coppi等給出的一氧化碳（CO）濃度的例子進行實證研究[10]，Coppi等收集了羅馬地區(qū)1992年10月份連續(xù)21天大氣中一氧化碳濃度每小時檢測一次的數(shù)據(jù)。研究表明，一氧化碳濃度與一些氣候變量相關(guān)，一氧化碳濃度（因變量y）的六個主要影響因素（自變量）包括：溫度(x1)、相對濕度(x2)、大氣壓強(x3)、降雨量(x4)、輻射強度(x5)、風速(x6)。這些氣候變量每天檢測一次，如果以天為觀察單位，在計算一氧化碳濃度數(shù)據(jù)時，如果僅僅通過平均值來描述每一天的觀測值，則會損失很對信息。針對這種情況，一個可行的方法就是將每天的一氧化碳濃度看出一個三角模糊數(shù)yi=(ymi，yli，yui)，其中 ymi表示第i天的CO濃度數(shù)據(jù)的均值，yli表示最小值，yui表示最大值，即三角模糊數(shù)的左右擴展，如表1所示。

表1 自變量和因變量觀測值

采用Matlab統(tǒng)計軟件，將上述樣本數(shù)據(jù)代入線性方程組（16）可以計算出模糊回歸參數(shù)的三角模糊數(shù)估計為：

根據(jù)式（8）計算上述回歸模型的預(yù)測值yc，并按照可能性均值-方差距離公式（10）計算預(yù)測值 yci=(ycmi，ycli，ycui)與 實 際 值 yi=(ymi，yli，yui)之 間 的 誤 差 平 方 和，將其作為誤差估計的檢驗依據(jù)。

同時，為了說明本文方法的有效性，將本文方法與文獻[11]的結(jié)構(gòu)元方法和文獻[14]的最小一乘方法進行比較，結(jié)果如表2所示。比較結(jié)果表明，本文的基于可能性均值-方差距離最小二乘估計方法與可能性均值-方差距離最小一乘估計方法誤差基本一致，但是本文方法只需要計算簡單的線性方程組，而文獻[14]則需要計算線性規(guī)劃模型，與文獻[11]的基于結(jié)構(gòu)元距離最小二乘方法比較，本文的可能性均值-方差距離估計參數(shù)效果更好。

4 結(jié)論

最小二乘估計方法是模糊線性回歸模型中常用的參數(shù)估計方法,考慮到三角模糊數(shù)的普遍性，針對數(shù)據(jù)輸入?yún)?shù)、輸出為三角模糊數(shù)的模糊線性回歸模型，引入模糊數(shù)的可能性均值和方差的概念，在此基礎(chǔ)上，定義可能性均值-方差歐氏距離，提出了模糊線性回歸模型的最小二乘參數(shù)估計方法，并對模型進行了誤差分析。通過實例計算和其他模型的比較結(jié)果表明，本文的方法具有良好地擬合效果，且計算簡單。

表2 擬合效果與距離誤差測度表

參考文獻：

[1]Tanaka H,Uejima S,Asai K.Linear Regression Analysis With Fuzzy Model[J].IEEE Transactions on Systems Man,and Cybernetics,1982，（12）.

[2]Diamond P.Fuzzy Least Squares[J].Information Science,1988,（46）.

[3]Chen L H,Hsueh C C.Fuzzy Regression Models Using the Least-squares Method Based on the Concept of Distance[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2009,（17）.

[4]Wan S P,Dong J Y.Possibility Linear Programming With Trapezoidal Fuzzy Numbers[J].Applied Mathematical Modelling,2014,（38）.

[5]柏林，房勇.基于模糊回歸分析的投資組合選擇模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2015,35（7）.

[6]彭宇文,郭莉莎,毛超.基于改進模擬退火算法的模糊回歸參數(shù)估計[J].統(tǒng)計與決策,2014，（1）.

[7]汪華東，郭嗣琮，岳立柱.基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊多元線性回歸模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2014，34（10）.

[8]岳立柱.系數(shù)為一般模糊數(shù)的多元線性回歸模型[J].統(tǒng)計與決策,2015，（3）.

[9]C.Carlsson,R.Fullér.On Possibilistic Mean Value And Variance of Fuzzy Numbers[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,（122）.

[10]龔艷冰,戴靚靚,胡娜.基于可能性均值-方差距離的模糊最小一乘回歸模型[J].統(tǒng)計與決策,2017，（22）.