張 鑫，黎 勝，王博涵

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

常用的阻尼減振方法就是在金屬薄板構(gòu)件上噴涂或粘貼一層高內(nèi)阻的黏彈性材料，如瀝青、軟橡膠或高分子材料。近年來(lái)隨著對(duì)艦船噪聲（艙室噪聲和水下輻射噪聲）、汽車噪聲和飛機(jī)噪聲越來(lái)越嚴(yán)格的要求和控制，阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)聲輻射的分析和控制研究重要性越來(lái)越凸顯，現(xiàn)有的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的研究包括減振機(jī)理、分析和控制等方面[1-2]，有關(guān)于阻尼材料降噪機(jī)理的研究[3-4]，而很少有從阻尼所導(dǎo)致的復(fù)模態(tài)本質(zhì)上進(jìn)行減振降噪的分析和控制研究。比起實(shí)模態(tài)，振動(dòng)復(fù)模態(tài)不再是由純粹的駐波主導(dǎo)，而是取決于駐波與行波的疊加[5]。

常用的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)通常有自由阻尼層結(jié)構(gòu)和約束阻尼層結(jié)構(gòu)。不同的阻尼分布型式會(huì)帶來(lái)不同的振動(dòng)和聲輻射特性，因此，研究不同的阻尼分布型式對(duì)板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)和聲輻射的影響，從而獲得較優(yōu)的局部阻尼分布型式，達(dá)到有效而經(jīng)濟(jì)的減振降噪效果，具有很大的實(shí)際意義。相關(guān)研究中，Loredo等建立具有被動(dòng)約束阻尼層(PLCD)的障板模型(baffled plate)，基于Rayleigh-Ritz方法研究了不同布置方式、型式和鋪設(shè)比例的局部阻尼層對(duì)結(jié)構(gòu)噪聲的影響，發(fā)現(xiàn)噪聲響應(yīng)對(duì)阻尼布置的方式非常敏感，合適的阻尼布置能起到充分的效果[6]。Wodtke和Lamancusa基于Rayleigh積分方法研究了圓形平板上非均勻的自由阻尼層的優(yōu)化分布，并從結(jié)構(gòu)（損耗因子）和聲學(xué)（輻射效率）兩方面闡明了其對(duì)于聲輻射的影響[7]。其研究表明，輻射聲功率的降低不僅僅是由于振動(dòng)幅值的減小，非均勻阻尼分布導(dǎo)致的振型和頻率的改變也是聲輻射效率改變的原因。王獻(xiàn)忠等采用統(tǒng)計(jì)能量分析法計(jì)算了流場(chǎng)中部分敷設(shè)阻尼材料的有限長(zhǎng)圓柱殼聲輻射特性，結(jié)合相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果比對(duì)，分析了阻尼層敷設(shè)比例、結(jié)構(gòu)損耗因子等的影響[8]。李登等基于Ansys平臺(tái)探討了局部約束阻尼層鋪設(shè)的優(yōu)化問(wèn)題，采用元胞自動(dòng)機(jī)及改進(jìn)算法CAM分析了約束阻尼層的拓?fù)鋬?yōu)化，從而獲得較優(yōu)的阻尼添加效率[9]。O.Unruh等針對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)復(fù)模態(tài)及其聲輻射特性開(kāi)展研究，利用有限元模型數(shù)值模擬非均勻阻尼板產(chǎn)生的復(fù)模態(tài)振型，并根據(jù)模態(tài)共線性指數(shù)(MCI)和駐波比例的空間分布定義了模態(tài)復(fù)雜程度，通過(guò)輻射面元法來(lái)研究聲輻射問(wèn)題，結(jié)果表明非均勻阻尼分布的對(duì)稱性影響聲輻射特性，尤其是非對(duì)稱分布，對(duì)板聲輻射特性有較大影響[10-12]。

本文針對(duì)自由阻尼層結(jié)構(gòu)，探討了不同阻尼面積比例及分布型式和流體加載效應(yīng)等對(duì)矩形板振動(dòng)復(fù)模態(tài)與聲輻射特性的影響。

1 基本原理

1.1 非均勻阻尼復(fù)模態(tài)分析

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣，x為位移向量，f(t)為外激勵(lì)力向量。

采用Rayleigh阻尼模型即比例阻尼模型，系統(tǒng)的阻尼矩陣可表示為

式中α和β為比例系數(shù)。在本文中，為考慮不同阻尼分布形式的非均勻阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)和聲輻射的影響，在結(jié)構(gòu)的不同區(qū)域設(shè)置不同的阻尼比，系統(tǒng)整體的阻尼矩陣為

式中：n為阻尼區(qū)域的數(shù)量，Mi與Ki分別為第i個(gè)區(qū)域結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣。

令各階模態(tài)阻尼比相等，比例系數(shù)α和β可由2階固有頻率（控制頻率）和模態(tài)阻尼比得到[13]

由于式(3)所表示的結(jié)構(gòu)整體的阻尼矩陣C已是非比例阻尼，在非比例阻尼情況下，以實(shí)模態(tài)振型矩陣作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣不能使阻尼陣對(duì)角化，因而不能使振動(dòng)方程解耦，此時(shí)的多自由度系統(tǒng)不能解耦為一組互不耦合的單自由度系統(tǒng)的方程來(lái)分析其特性。解決這一問(wèn)題可采用復(fù)模態(tài)方法，根據(jù)Foss變換[14]，在2N維空間上（此時(shí)系統(tǒng)矩陣的維數(shù)為原系統(tǒng)維數(shù)N的兩倍）進(jìn)行解耦，系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

研究自由振動(dòng)情況，即令f'(t)=0，則對(duì)應(yīng)的廣義特征值問(wèn)題為

它具有N對(duì)復(fù)共軛特征值λi和(*表示復(fù)共軛)和相應(yīng)的特征向量ψ′和ψ′*，i=1,2,3,……,N。注意這里的特征向量ψ′和ψ′*不能稱為模態(tài)向量，它們與模態(tài)向量ψ的關(guān)系

復(fù)特征值（復(fù)頻率）[15]為

1.2 聲輻射計(jì)算

本文使用有限元方法對(duì)結(jié)構(gòu)在聲流體介質(zhì)中的振動(dòng)聲輻射進(jìn)行計(jì)算，采用商用有限元軟件ANSYS進(jìn)行建模和計(jì)算，即對(duì)結(jié)構(gòu)和流體均采用有限單元進(jìn)行模擬并考慮了結(jié)構(gòu)和流體之間的耦合，具體方法如下：

對(duì)結(jié)構(gòu)選用shell181單元進(jìn)行模擬，對(duì)于流體選用fluid30三維聲學(xué)流體單元進(jìn)行模擬。為了用有限的聲流體單元模擬無(wú)限大的聲流體介質(zhì)，在有限流體介質(zhì)邊界定義吸收邊界，采用fluid130單元模擬吸收邊界。另外，由于ANSYS軟件對(duì)聲場(chǎng)進(jìn)行分析處理的能力較弱，該軟件僅能得到板上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移（速度）和聲壓值。由板表面節(jié)點(diǎn)的聲壓和法向速度，聲輻射功率W可由下式求得[16]

式中Re()表示實(shí)部，p和vn分別表示表面聲壓值和法向振速值，*表示復(fù)數(shù)共軛，S為板的表面積。

2 非均勻阻尼板的模態(tài)特性

2.1 非均勻阻尼板模型

矩形板長(zhǎng)Lx=0.9 m，寬Ly=0.6 m，厚h=0.005 m，密度ρs=2 700 kg/m3，彈性模量E=72 GPa，泊松比v=0.3，邊界條件為四邊固支?？諝饷芏圈?1.21 kg/m3，聲速c=344 m/s，水密度ρ=1 000 kg/m3，聲速c=1 500 m/s。參考聲功率為10-12W。計(jì)算中有限元網(wǎng)格為40×24，共有960個(gè)單元，1 025個(gè)節(jié)點(diǎn)。

板結(jié)構(gòu)上一般區(qū)域的阻尼比取ξ1=0.01，為了使形成的復(fù)模態(tài)足夠復(fù)雜以便于分析，結(jié)構(gòu)高阻尼區(qū)域的阻尼比取為ξ2=0.2[12]。兩個(gè)控制頻率分別選取結(jié)構(gòu)(1,1)和(1,3)階模態(tài)的固有頻率，前者是結(jié)構(gòu)的基頻，后者對(duì)應(yīng)著聲輻射能力較強(qiáng)的高階振型。研究的頻率范圍0～600 Hz。根據(jù)式(4)、式(5)，一般區(qū)域的Rayleigh阻尼如圖1所示。

圖1中，Rayleigh阻尼比由α阻尼和β阻尼兩部分組成，其中α阻尼的阻尼比與頻率成反比，β阻尼與頻率成正比。第i階的模態(tài)阻尼比表示為，其中：ωi為該階固有頻率。

建立不同區(qū)域不同阻尼比的非均勻阻尼板有限元模型，如圖2所示，淺色區(qū)域?yàn)橐话阕枘釁^(qū)域，深色區(qū)域?yàn)楦咦枘釁^(qū)域?？紤]四種不同高阻尼面積比例情況，包括無(wú)敷設(shè)、敷設(shè)總面積1/16和1/4的高阻尼以及全部敷設(shè)四種情況進(jìn)行討論。

圖1 Rayleigh阻尼

值得注意的是，這種高阻尼的局部設(shè)置是通過(guò)改變部分單元的材料屬性來(lái)實(shí)現(xiàn)的，在這個(gè)過(guò)程中沒(méi)有考慮阻尼敷設(shè)實(shí)際上所帶來(lái)的質(zhì)量和剛度，因此計(jì)算的結(jié)果也只能單純地表現(xiàn)阻尼帶來(lái)的影響。計(jì)算得到各情況的前8階的模態(tài)特征如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著高阻尼施加比例的增加，板結(jié)構(gòu)的固有頻率降低，頻率越高，這種差別越明顯，(1、3)階的固有頻率在全部敷設(shè)時(shí)比無(wú)敷設(shè)的情況降低了約9 Hz，而低階則無(wú)明顯差別。阻尼施加比例越高，各階模態(tài)的阻尼比越大，且各階之間的阻尼比之差也越大。

由于阻尼的非均勻分布導(dǎo)致振動(dòng)復(fù)模態(tài)的出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的振型不再只具有實(shí)部，而是實(shí)部AR和虛部AI的疊加，二者與幅值A(chǔ)以及相位φ的關(guān)系可由下式表示

圖2 不同面積比例的阻尼構(gòu)型

表1 不同面積比例阻尼構(gòu)型的模態(tài)特征

由于虛部的值相對(duì)實(shí)部的值較小，因此對(duì)于幅值的影響并不明顯，從圖3中依稀可以看出各波峰之間的節(jié)線區(qū)域變得模糊；此外，由φ=tan-1(AI/AR)可得板上各點(diǎn)的相位，相比于實(shí)模態(tài)中各點(diǎn)完全同相（或反相），復(fù)模態(tài)中各點(diǎn)之間存在著不同的相位差，呈現(xiàn)出一定的坡度變化，振型表現(xiàn)為向著高阻尼部位的方向行進(jìn)的“行波”。

圖3 均勻阻尼與局部高阻尼矩形板的振型(3,3)

計(jì)算空氣中上述4種阻尼板在垂向點(diǎn)力激勵(lì)（力幅值為1 N，作用位置為偏離板中心點(diǎn)(Lx/12，Ly/12)處）的作用下，激勵(lì)頻率從0 Hz到600 Hz間的聲輻射功率級(jí)如圖4所示。

圖4 阻尼鋪設(shè)比例對(duì)聲輻射的影響

可以看出，敷設(shè)高阻尼的情況下，輻射聲功率級(jí)在共振峰處有了顯著降低，且高阻尼區(qū)域面積越大，共振峰處的聲輻射功率越小。此外，盡管全敷設(shè)情況效果最好，但比起敷設(shè)1/4面積高阻尼的情況并無(wú)很大的優(yōu)勢(shì)，二者平均約相差3 dB。這也可以說(shuō)明在附加阻尼處理中，全部敷設(shè)阻尼的方式效率不高，選擇適當(dāng)?shù)姆笤O(shè)比例能夠在節(jié)約成本和控制重量的前提下保證減振降噪效果。

2.2 不同構(gòu)型的影響

這里參考文獻(xiàn)[12]中定義的一些阻尼構(gòu)型，根據(jù)幾何形狀和對(duì)稱性的不同，列出了幾種典型的分布方式，即S對(duì)稱型(Symmetrical)、B左右對(duì)稱型(Bilateral symmetrical)、C中心對(duì)稱型(Central symmetrical)和A不對(duì)稱型(Asymmetrical)，每種型式又按照其距板的中心和邊界的距離分為集中（標(biāo)號(hào)為1）和分散（標(biāo)號(hào)為2）兩類（見(jiàn)圖5）。為了保證不同型式結(jié)構(gòu)的可比較性，每種型式附加阻尼區(qū)域的總面積是一定的，這里取為占總面積的1/4。網(wǎng)格劃分方式和密度均與上文相同。

圖5 不同阻尼型式的網(wǎng)格劃分

計(jì)算各種阻尼構(gòu)型情況下前12階模態(tài)的固有頻率（見(jiàn)表2）和模態(tài)阻尼（見(jiàn)圖6），其中Ref表示參考板，即阻尼比取ξ1=0.01的均勻阻尼板?？梢钥吹?，同樣面積的高阻尼敷設(shè)，由于阻尼位置和型式的區(qū)別，產(chǎn)生了不同的阻尼效果，而對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響卻十分微小。整體而言，集中布置的局部阻尼產(chǎn)生的阻尼效果要優(yōu)于分散的、布置于邊界附近的型式；阻尼敷設(shè)的位置與振型的波腹和波節(jié)（節(jié)線）位置關(guān)系直接影響到阻尼的效果，S1中阻尼直接敷設(shè)在(1,1)階振型的波腹處，因此其阻尼效果十分明顯，該階的模態(tài)阻尼比約為0.15，遠(yuǎn)大于其他阻尼型式以及同型式的其他階振型。同理，C2型在(3,2)階覆蓋了振型的兩個(gè)波腹，B2型在(3,3)階覆蓋了3個(gè)波腹，二者均呈現(xiàn)出較高的模態(tài)阻尼。進(jìn)一步計(jì)算出上述各阻尼板模型在空氣中的聲輻射功率，如圖7所示。不同構(gòu)型的附加阻尼分布對(duì)于矩形板各階模態(tài)的聲輻射能力的“削峰”效果相差較大，阻尼敷設(shè)在某階振型覆蓋的波腹越多，則對(duì)該階聲輻射的控制越明顯，例如S1在(1,1)階、B1在(4,1)階等情況。

3 流體介質(zhì)的影響

考慮不均勻阻尼板在單面水中的聲輻射情況。流體介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的加載效應(yīng)主要體現(xiàn)為附加質(zhì)量和附加阻尼的影響。圖8展示了空氣中和水中四邊剛固矩形板的前12階固有頻率的對(duì)比，可以看到由于附加質(zhì)量的影響，水中板的固有頻率較空氣中有明顯的降低。

表2 不同阻尼型式四邊剛固矩形板的固有頻率/Hz

圖6 不同阻尼型式板的模態(tài)阻尼比

圖7 不同阻尼型式矩形板的聲功率級(jí)（空氣中）

水中不同阻尼形式矩形板的輻射聲功率級(jí)計(jì)算結(jié)果如圖9所示，結(jié)合圖7可以看出，阻尼敷設(shè)的影響在水中并沒(méi)有空氣中顯著，尤其是在低階情況下，在(1,1)階模態(tài)中，效果最好的S1型阻尼板也只將聲功率級(jí)降低了約10 dB；在(2,1)階和(1,2)階則幾乎看不到共振峰；在(3,1)階集中式的幾種阻尼板的聲功率級(jí)較參考板約降低了14 dB；在(3,2)、(1,3)和(5,1)階集中式阻尼板的效果較前幾階明顯。此外，在水中的結(jié)構(gòu)聲輻射還出現(xiàn)了空氣中結(jié)構(gòu)聲輻射所沒(méi)有的類似振動(dòng)中反共振現(xiàn)象的結(jié)構(gòu)輻射聲功率的極小值。

圖8 空氣與水中阻尼板的固有頻率(Ref)

圖9 不同阻尼型式矩形板的聲功率級(jí)（水中）

4 結(jié)語(yǔ)

（1）在板結(jié)構(gòu)的附加阻尼處理中，高阻尼分布越接近板中心或振型的波腹處，該階振型的模態(tài)阻尼比越大，對(duì)聲輻射的“削峰”效果越好；反之，分布越分散或越接近板的邊緣，則模態(tài)阻尼比越小，對(duì)輻射聲功率的降低效果也越差。

（2）附加阻尼的敷設(shè)面積比例越大，各階振型的阻尼比越大。但考慮到成本和重量，完全敷設(shè)的方式效率較低，而在較優(yōu)的阻尼敷設(shè)型式下，即使是較少的敷設(shè)面積也能起到較好的減振降噪效果。

（3）低階情況下，阻尼敷設(shè)的效果在水中沒(méi)有空氣中顯著。

研究結(jié)果可為結(jié)構(gòu)附加阻尼的敷設(shè)提供有益的參考，從而較好地實(shí)現(xiàn)減振降噪目標(biāo)。

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