李 晨，李 川，姜 飛，張長勝

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展和廣泛應用，電能對人們的生產(chǎn)和生活都有不可替代的作用。但是在電力系統(tǒng)中，由于大量電子設備和非線性負載，使得相關的電流和電壓波形產(chǎn)生較大程度的畸變，即諧波污染[1-3]。近年來，諧波對電網(wǎng)的影響也越來越受到電力部門的重視，國內外的專家、學者均對電力諧波的影響[4-5]、計量[6-7]和抑制[8]進行廣泛研究。1999年，張伏生等人[9]通過海明窗和布萊克曼窗的插值算法對FFT進行改進，可以減小頻譜泄露，提高諧波測量的精度。2012年，房國志等人[10]提出基于FFT(Fast Fourier Transform)和小波包變換的綜合檢測方法，用傅里葉變換識別諧波分量，再用小波包對諧波進行定位和提取，有效減少了信號提取的運算量。張鵬等人[11]結合加窗插值算法，提出基于離散小波變換的諧波分析方法，通過加窗插值算法計算基波頻率，再對信號進行頻率調制，用離散小波變換分離諧波分量再計算幅值和相位，提高了諧波的分析精度。2013年，王彭等人[12]采用時域準同步方法減少頻譜泄露的影響，再用梳狀濾波器對諧波和間諧波進行分離計算，實現(xiàn)對諧波和間諧波較為精準的測量。目前，許多諧波分析方法中，諧波的分析精度較高，但對于基波的分析誤差卻相對偏大，在不增大基波分析誤差的同時，盡量減小諧波分析誤差是提高電能分析的關鍵。

本文對信號的頻譜泄露和非同步采樣帶來的幅度誤差進行分析，提出使用窗函數(shù)的幅度恢復系數(shù)分析諧波幅度誤差，并對信號通過不同窗函數(shù)和凱塞窗的不同β值進行實驗仿真，得出不同窗函數(shù)對信號分析的誤差趨勢。

1 FFT的頻譜泄露分析

在對信號進行處理時，不可能取無限長的數(shù)據(jù)，即采取數(shù)據(jù)的截斷。在時域中截斷數(shù)據(jù)，即在原信號上乘上一個窗函數(shù)。而時域函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積。由于窗函數(shù)不可能取無限寬，即其頻譜不可能為沖擊函數(shù)，信號的頻譜域窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生展寬和拖尾現(xiàn)象，造成頻譜泄露和頻譜間干擾。

設諧波信號的函數(shù)為

x(n)=Asin(2πft+φ)

(1)

對x(n)以fs均勻采樣，得到一組序列

(2)

式中，A，f，ψ分別為信號的幅度、頻率和相位。由矩形窗函數(shù)的為RN(n)，其頻率響應為WR(ejw)

(3)

(4)

即截斷后的序列為y(n)=x(n)RN(n)。則截斷后有限長序列的頻譜為

(5)

式中，X(w)為原序列的頻譜，WR(ejw)為矩形窗函數(shù)的頻譜。其中

(6)

由卷積的定理可知

(7)

則可得信號的頻譜圖如圖1所示。

圖1 信號加矩形窗頻譜圖

從圖中可以看出，信號加窗后頻譜出現(xiàn)泄露。當同步采樣時，信號頻譜在整數(shù)次諧波上的幅度為零，信號頻譜則不會發(fā)生泄漏，當非同步采樣時，泄漏頻譜的整數(shù)次諧波的幅度不為零，使得信號分析發(fā)生誤差。

2 Kaiser窗的分析

在信號截斷時，由于信號的傅里葉變換是以截斷的數(shù)據(jù)為周期進行延拓，但信號截斷在非整數(shù)周期時，在波形的前后連接處出現(xiàn)跳躍，從而產(chǎn)生高頻分量。通過加窗，可以降低截斷數(shù)據(jù)邊緣幅值，使波形的前后連續(xù)，從而減小高頻分量。凱塞窗是一種適應性較強的窗，可根據(jù)需要調節(jié)主瓣寬度和旁瓣電平，其窗函數(shù)的表達式為

(8)

式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，可采用無窮級數(shù)來表達

(9)

(10)

式中，α為主瓣和旁瓣之間的差值。β是一個可自由選擇的參數(shù)，用于調整主瓣寬度和旁瓣電平。凱塞窗的DTFT為

(11)

當β=5，β=10，β=15時，凱塞窗的歸一化頻率性能如圖2所示。

圖2 凱塞窗β值變化的衰減特性

由圖2可知，當凱塞窗的β值增大時，其通帶紋波和阻帶最小衰減都逐漸變小，同時窗函數(shù)的過渡帶也相應增大。

在應用的各種窗函數(shù)中，常用的窗為矩形窗、三角窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗和凱塞窗，幾種窗函數(shù)的基本性能，結果如表1所示。

表1 不同窗函數(shù)基本性能比較

從表2可以看出，凱塞窗的基本性能良好，使用靈活。在諧波的分析中，由于諧波的次數(shù)較多，為提高對諧波電能的計量，需要提高頻譜的分辨率，即盡量的減小過度帶寬。為此，凱塞窗在滿足通帶紋波和阻帶衰減的同時，盡量減少過渡帶的增加。

在使用FFT進行分析時，由于采樣點并非是諧波頻率點，所以在計算時得到的幅度值和實際幅度值之間存在誤差，且在進行數(shù)字信號分析時，需要截斷信號進行分析，導致信號頻譜產(chǎn)生泄露，其泄露的頻譜干擾了諧波的計算，從而使諧波分量發(fā)生改變。

在計算基波和諧波幅值時，利用窗函數(shù)特性，降低信號旁瓣峰值，使頻譜間干擾減小。但導致信號幅值降低，為恢復原信號的幅值，利用信號無泄漏時幅值相等，可求出窗函數(shù)的恢復系數(shù)[13]。其公式為

Kt=A/A′

(12)

其恢復系數(shù)計算的方法由兩種：一種為對窗函數(shù)作頻譜分析，A′為零頻率時窗函數(shù)的幅值，此時，A為1；另一種計算方法為A為諧波理論幅值，A′為無頻譜泄露時，諧波加窗后的幅值。

為了恢復信號的幅度值，需計算窗函數(shù)的幅度恢復系數(shù)，常用的窗函數(shù)恢復系數(shù)如表2所示。

表2 常用窗函數(shù)幅度恢復系數(shù)

3 仿真分析

采用文獻[14～15]給出的信號模型，其21次諧波的信號模型為

(13)

式中，信號的基波頻率f1為50.2 Hz，采樣頻率fs為10 000 Hz，數(shù)據(jù)長度為8 192點，Ui和ψi為信號的幅值和初始相位，信號如表3所示。

表3 仿真信號的基波與諧波成分

信號通過加凱塞窗后，采用數(shù)值比較，找到信號頻率，用窗函數(shù)幅度恢復系數(shù)，得到恢復后的信號幅度值。利用恢復的信號幅度和理論信號幅度相比較，繪制不同β值時和不同窗函數(shù)的幅度誤差曲線，分別如圖3和圖4所示。

圖3 凱塞窗不同β值的幅度誤差

圖4 不同窗函數(shù)的幅度誤差

從圖中可以看出，通過窗函數(shù)的幅度恢復，凱塞窗的諧波幅度誤差比三角形窗，漢寧窗和布萊克曼窗更小。隨著β值的增大，凱塞窗各階諧波的幅度誤差都在逐漸的減小，當β=30時，諧波幅度誤差小于4%。

4 結束語

本文通過對凱撒窗在主瓣和旁瓣的幅頻特性進行

了分析，并通過實驗仿真比較在不同β值下的幅度誤差，選取合適的β值與三角窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗之間的幅度誤差比較。仿真結果表明，凱塞窗的β值增大時，諧波的幅度誤差減??；當β=10時，凱塞窗通過幅度恢復得到的誤差小于其它窗函數(shù)。當β=30時，凱塞窗的幅度恢復誤差小于4%?？芍诜然謴头椒ㄖ袆P塞窗具有幅度誤差更小的優(yōu)越性，對諧波的檢測具有一定參考意義。

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