文/劉浪，湖北科技學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)

1 正態(tài)分布的概念

正態(tài)分布，也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ^2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。當(dāng)μ = 0,σ = 1時(shí)的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2 確定概率分布

一個(gè)事件的概率是指這一事件可能發(fā)生的機(jī) 會。例如， 一個(gè)企業(yè)有 70% 盈利的機(jī)會，有30%虧損的機(jī)會，如果把所有可能的事件或結(jié)果都列示 出來， 因每一事件都給以一種概率， 把它們列示在 一起， 便構(gòu)成了概率分布。可以看出概率分布即有如下特點(diǎn)，首先各種事項(xiàng)可能發(fā)生的概率只能在0與1之間，即不能小于0也不能大于1，其次所有事項(xiàng)發(fā)生可能性的概率之和必須要等于1。

3 計(jì)算期望報(bào)酬

期望報(bào)酬率是各種可能的報(bào)酬率按其概率進(jìn) 行加權(quán)平均得到的報(bào)酬率， 它是反應(yīng)集中趨勢的 一種量度。 期望報(bào)酬率可按下列公式計(jì)算：

式中，λk——期望報(bào)酬率

ki——第i種可能結(jié)果的報(bào)酬率

pi——第i種可能結(jié)果的概率

n——可能結(jié)果的個(gè)數(shù)

例如：甲公司有兩個(gè)投資機(jī)會，A投資機(jī)會是 一個(gè)高科技項(xiàng)目，該領(lǐng)域競爭激烈，如果經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速并且該項(xiàng)目搞得好取得較大市場占有率，利潤會很大，否則利潤很小甚至虧本。B項(xiàng)目是一個(gè)老產(chǎn)品，并且是生活必需品，銷售前景可準(zhǔn)確預(yù)測。假設(shè)未來的經(jīng)濟(jì)情況只有三種，繁榮、正常、衰退，若A項(xiàng)目繁榮，一般，衰退，三種分別為70%，20%，40%，若B項(xiàng)目繁榮，一般，衰退，三種分別為40%，20%，0%，且發(fā)生三者概率都為0.2，0.6，0.2

下面， 根據(jù)上述期望報(bào)酬率公式分別計(jì)算A、B項(xiàng)目的期望報(bào)酬率：

λkA=k1p1+k2 p 2+k3 p3=70%×0.2 +20%×0.6 +（-30% ）×0.2 =20%

λkB =k1 p1+k2p2+k3p3=40%×0.2 +20%×0.6 +0%×0.2=20%

兩個(gè)項(xiàng)目的期望報(bào)酬率都是20%，但相比之下可以發(fā)現(xiàn)A方案的報(bào)酬率非常分散，而B方案的報(bào)酬率較集中，一般可以認(rèn)為B方案的投資風(fēng)險(xiǎn)要比A方案小，由此在風(fēng)險(xiǎn)衡量時(shí)可得出如下結(jié)論：即預(yù)期報(bào)酬的概率分布愈狹窄，那么其投資風(fēng)險(xiǎn)越小，反之。能得A、B方案概率分布的寬窄程度，根據(jù)期望報(bào)酬率的分散程度 。

可見雖然A、B方案的期望報(bào)酬率相同，但A方案的概率分散，B方案的則比較集中。

4 置信概率和置信區(qū)間

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，在概率分布為正態(tài)分布的 情況下，隨機(jī)變量出現(xiàn)在預(yù)期值±1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率有68.26%；出現(xiàn)在預(yù)期值±2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率有 95.44% ；出現(xiàn)在預(yù)期值±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率有99.72%。把“預(yù)期值在±X個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差”稱為置信區(qū)間，把相應(yīng)的概率稱為置信概率。已知置信概率， 可求出置信區(qū)間，反之亦然。

下面還是源用上例，利用置信原理對A、B 兩項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬進(jìn)行進(jìn)一步分析：

1.計(jì)算A項(xiàng)目盈利與虧損的概率；

（1）計(jì)算出報(bào)酬率從0%——20%占標(biāo)準(zhǔn)差的比重，設(shè)該比重為X

（2）通過查表可求出63.26%個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng) 的置信概率為 23.57% ， （該表為正態(tài)分布曲線的面積）。

（3）因?yàn)檎龖B(tài)分布圖是以期望報(bào)酬率為對稱 軸的鐘形分布圖；所以從期望報(bào)酬率20%—-∞的部份占總面積的一半。因此：

P(A盈利）=50% + 23.57%=73. 57%

P（A虧損）=50%- 23.57%=26. 43%

2.同樣可計(jì)算 B項(xiàng)目的盈虧情況

（1）計(jì)算出報(bào)酬率從0%——20%占標(biāo)準(zhǔn)差的比重，設(shè)該比重為X。

X=20%/12.65%=1.58

（2）通過查表可求出1.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng)的置信概率為44. 29%.

P（B盈利）=50% +44. 29%=94. 29%

P（B虧損）=50%-44. 29%=5.71%

3.計(jì)算兩個(gè)項(xiàng)目報(bào)酬率在 40% 以上的概率

X（A）=（40%-20%）31.62%=0.6325

查表可得0.6325個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng)的置信概率為23. 57% 則：

P（A、40%以上）=50%-23.57%= 26.43%

同樣，可計(jì)算B項(xiàng)目如下：

X（B）=（40%—20%）12. 65%=1. 58

查表可得1.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng)的概率為 44.29%，則：

P（B、40%以上）= 50% -44.29%=5.71%

說明、B項(xiàng)目取得 40% 以上報(bào)酬率的可能性很小。

5 結(jié)語

在整個(gè)分析過程中大量地應(yīng)用了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，可見該原理在投資“風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬”分析中的作用是非常重要的。綜上所述，兩個(gè)項(xiàng)目的平 均報(bào)酬率相同， 但風(fēng)險(xiǎn)大小程度不同，A項(xiàng)目可能取得高報(bào)酬， 但虧損的可能性也大； B 項(xiàng)目取得高 報(bào)酬的可能性小，但虧損的可能性也小。

【參考文獻(xiàn)】

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