孫志禮，田 越，馮吉路，卞景浩

1 引言

高檔數(shù)控機床是支撐整個裝備制造領域發(fā)展的核心裝備。目前，我國高檔數(shù)控機床幾乎全部依賴于進口?，F(xiàn)階段科研人員的主要任務應該是不斷提升高端數(shù)控機床及其功能部件的自主研發(fā)能力[1]。主軸系統(tǒng)作為數(shù)控機床的重要組成部分，其性能優(yōu)劣直接影響產(chǎn)品的加工精度和加工效率。

軸承是主軸系統(tǒng)的關鍵功能部件，其工作性能的優(yōu)劣會直接影響主軸系統(tǒng)的剛度、回轉(zhuǎn)精度、承載能力、工作穩(wěn)定性等特性。文獻[2]中基于高速旋轉(zhuǎn)條件下主軸系統(tǒng)軸承預緊力和可靠性的相關性進行了研究。文獻[3]中分別以主軸軸承的溫升和軸承壽命為約束目標，對主軸軸承預緊力優(yōu)化進行了相關研究。文獻[4-5]中指出軸承預緊力、過盈配合量及離心位移的增加均會引起軸承剛度的增加。文獻[6-7]中通過實驗法對主軸系統(tǒng)中主軸剛度、支撐跨距和系統(tǒng)動態(tài)特性的進行了相關研究，但是上述研究沒有以組配軸承為研究對象。

基于ABAQUS采用有限元分析法分析了主軸動態(tài)特性，研究了組配軸承預緊力和支撐跨距對主軸動態(tài)特性的影響，在同時考慮軸向預緊和主軸自重對軸承剛度的影響的情況下，計算得到不同預緊力和過盈配合下組配軸承的徑向剛度，擬合了固有頻率隨軸承預緊力和支撐跨距變化的經(jīng)驗公式。

2 軸承剛度計算

目前，對高速滾動球軸承進行擬靜力學分析計算軸承剛度時，研究人員僅考慮軸向預緊力對軸承剛度的影響，忽略了主軸的自重會引起軸承內(nèi)圈的徑向位移導致軸承的初始接觸角的變化，進而影響軸承的徑向剛度。同時考慮軸向預緊和主軸自重對軸承剛度的影響，計算了軸承的徑向剛度。

2.1 過盈配合和初始載荷對初始接觸角的影響

在工程中，角接觸球軸承與軸一般采用過盈配合，軸承與軸承座孔采用過渡配合。如果軸承外圈和軸承座、軸和軸承座都發(fā)生過盈配合，軸承的外圈軌道溝底將產(chǎn)生收縮現(xiàn)象，軸承的內(nèi)圈溝底將產(chǎn)生膨脹現(xiàn)象。由彈性力學內(nèi)外應力引起的圓環(huán)應力平衡方程可得軸承外圈溝底直徑的減小量和軸承內(nèi)圈軸承溝底直徑的增大量分別為δo和δi，其計算公式分別：

式中：do—軸承外圈溝底直徑；D—軸承外徑；Dh—軸承座外徑；Δf—過盈量；Eb和Eh—軸承和軸承座孔的材料彈性模量；μb和μh—軸承和軸承座孔材料的泊松比。

式中：Di—軸承內(nèi)圈溝底直徑；

d—軸的直徑；

dk—軸承座外徑內(nèi)孔直徑；

Δf—過盈量；

Es—軸的材料彈性模量；

μs—軸的材料泊松比。

當軸承裝配后，過盈配合量會對軸承的間隙產(chǎn)生影響，進而影響軸承的初始接觸角，如定義軸承裝配后初始接觸角為α0，其表達式：

式中：Db—軸承滾動體直徑；ur—軸承徑向游隙；fi—內(nèi)圈溝道曲率

半徑與球徑之比；fo—外圈溝道曲率半徑與球徑之比。

同時考慮軸承的軸向載荷和主軸自重與僅考慮軸向載荷相比，軸承的接觸角會變小，同時考慮軸向載荷和主軸自重時，軸承的接觸角αc可通過下式求得。

式中：Fa—軸向力；

c—接觸變形系數(shù)；

ε—載荷分布參數(shù)；

Ja—與載荷分布參數(shù)相關的軸向積分值；

Z—軸承滾動體個數(shù)。

上式為非線性方程，不能給出解析解，只能通過數(shù)值解求得結(jié)果。應用Newton-Raphason法，求得接觸角隨過盈量和軸向載荷變化的規(guī)律。

2.2 角接觸球軸承的徑向剛度

角接觸球軸承在工程中一般為多列組合形式使用，通過對單個角接觸球軸承的分析，應用Herz接觸理論可求出組合形式軸承的徑向剛度值的表達式：

式中：Kn—等效剛度系數(shù)；i—軸承列數(shù)；δa—預緊后軸承軸向位移；Z—單個軸承滾子數(shù)，其中鋼制軸承的等效剛度系數(shù)Kn可由下式求得[8]。

式中：δ*i和 δ*ο—軸承內(nèi)外圈的點接觸參數(shù)；Σρi和Σρo—軸承內(nèi)外圈的曲率和函數(shù)。

2.3 角接觸球軸承剛度計算及分析

數(shù)控機床主軸系統(tǒng)中，一般固定端采用三個軸承以DB、DBD、DBB的組配形式，游動端采用DB、DF、DT的組配形式。對ETC1625型號數(shù)控機床主軸系統(tǒng)中固定端的三個軸承和游動端的兩軸承進行了軸承徑向剛度計算。通過有限元分析，7015C軸承的軸向剛度DB為徑向剛度的1/6。7016AC軸承的軸向剛度DBD組合時為徑向剛度的1/2。軸承材料為GCr15，軸承座材料為鑄鐵，軸承7015C和7016AC的原始參數(shù)，如表1所示。

表1 角接觸球軸承的原始參數(shù)Tab.1 The Initial Parameters of the Angular Contact Ball Bearing

在計算初始接觸角時，軸承外圈與主軸箱體的過盈配合量Δf=0，軸承內(nèi)圈與主軸的過盈配合量分別取 1μm、2μm、3μm、4μm。軸向預緊力分別取240N、320N、400N、480N。軸承 7015C和7016AC接觸角隨過盈量和軸向載荷變化的規(guī)律，如圖1和圖2所示。

圖1 角接觸球軸承7015C接觸角的變化Fig.1 Change of Contact Angle of Angular Contact Ball Bearing 7015C

圖2 角接觸球軸承7016AC接觸角的變化Fig.2 Change of Contact Angle of Angular Contact Ball Bearing 7016AC

由圖1和圖2分析可得，預緊力和過盈配合量對角接觸球軸承接觸角的影響趨勢。當過盈配合量增加時，軸承的徑向間隙減小，從而引起角接觸球軸承的接觸角減小。當過盈配合量不變軸向預緊力增加時，軸承內(nèi)圈曲率中心的位移量會增加，徑向位移量保持不變，從而導致角接觸球軸承的接觸角變大。

在機床主軸系統(tǒng)中，軸承的徑向剛度除了與軸承接觸角的變化有關，還與軸承的組配形式有關，其中預緊后軸承的軸向位移量是變化值，取值的大小由軸承之間套筒的基本尺寸決定。軸承7015C和7016AC軸承的徑向剛度隨過盈量和預緊力的變化，如圖3、圖4所示。

圖3 7015C角接觸球軸承DB組配時徑向剛度的變化Fig.3 Change of Radial Stiffness of 7015C Angular Contact Ball Bearing in DB

圖4 7016AC角接觸球軸承DBD組配時徑向剛度的變化Fig.4 Change of Radial Stiffness of 7016AC Angular Contact Ball Bearing in DBD

由圖3和圖4可以看出：7015C軸承以DB形式組配時，過盈量增加，組配軸承整體的軸承徑向剛度會略微增加；當預緊力增加時，組配軸承的徑向剛度會明顯增大；過盈量相比預緊力對組配軸承的徑向剛度的影響并不大。7016AC軸承以DBD形式組配時，過盈量增加，組配軸承整體的軸承徑向剛度先減小后增大，當預緊力增加時，組配軸承的徑向剛度會隨之增大。

3 主軸系統(tǒng)有限元分析

以國產(chǎn)ETC1625數(shù)控機床主軸軸承系統(tǒng)為例進行有限元分析。該型號數(shù)控機床固定端采用DBD的組配形式，游動端采用DB的組配形式，如圖5所示。文獻[9]提出可以將DBD和DB組配形式的角接觸球軸承簡化，分別簡化為一個支撐點在第二個軸承與主軸作用點處和兩軸承作用點中點位置的單支撐形式。

圖5 ETC1625數(shù)控機床主軸-軸承系統(tǒng)配置圖Fig.5 Configuration of ETC1625 CNC Machine Tool Spindle-Bearing System

3.1 建立系統(tǒng)模型

利用PRO/E建立主軸的三維實體模型，并將其導入ABAQUS有限元分析軟件進行網(wǎng)格劃分。建模時忽略了倒角、圓角、鍵槽、退刀槽等細節(jié)結(jié)構(gòu)。主軸采用C3D8R單元通過掃掠方式進行劃分，每個軸承可以等效為4個軸向分布和4個徑向分布的彈簧阻尼單元，彈簧長度為軸承內(nèi)外圈直徑差的一半。主軸軸承系統(tǒng)的有限元模型，如圖6所示。

圖6 主軸軸承系統(tǒng)的有限元簡化模型Fig.6 Finite Element Model of Spindle Bearing System

3.2 仿真參數(shù)設置

主軸材料為#45號鋼，密度為7850kg/m3，彈性模量和泊松比分別為206GPa和0.3，固定端和游動端的軸承與軸的過盈配合量均為1μm，兩端的預緊力取值相同分別為240N、320N、400N，480N，計算得到組配軸承的軸向和徑向剛度，并將計算所得軸承參數(shù)設置為彈簧單元的剛度值。軸承跨距分別取260mm、280mm、300mm、320mm。

3.3 仿真與實驗結(jié)果對比分析

圖7 主軸軸承系統(tǒng)的一階振型（mm）Fig.7 First Order Mode of Spindle Bearing System（mm）

用Block Lanczos方法對主軸軸承系統(tǒng)的簡化有限元模型進行了模態(tài)分析。該分析不考慮軸承的質(zhì)量對主軸軸承系統(tǒng)的影響，得到了主軸軸承系統(tǒng)的模態(tài)分析結(jié)果。相對于低階振型，高階振型對機床動態(tài)特性的影響并不大。因此僅考慮系統(tǒng)的一階固有頻率，當預緊力為240N，主軸跨距為260mm時，系統(tǒng)的模態(tài)振型，如圖7所示。在不考慮軸承質(zhì)量的條件下，通過改變軸承預緊力和主軸跨距，得到了主軸軸承系統(tǒng)的前20階固有頻率，僅分析一階固有頻率與主軸預緊力和跨距的關系。主軸預緊力和跨距與主軸軸承系統(tǒng)一階固有頻率的對應關系，如圖7所示。通過回歸分析，得到主軸預緊力和跨距與主軸軸承系統(tǒng)一階固有頻率的表達式：

式中：P—系統(tǒng)一階固有頻率；Fa—主軸預緊力；L—組配軸承跨距；表達式（11）中系統(tǒng)一階固有頻率、主軸預緊力、組配軸承跨距的總相關系數(shù)R=99.1%。由圖8可以看出，系統(tǒng)的固有頻率會隨主軸跨距和預緊力的增加而增大，預緊力對系統(tǒng)一階固有頻率的影響并不大，跨距是影響系統(tǒng)固有頻率的主要因素。

圖8 主軸預緊力和跨距與主軸軸承系統(tǒng)一階固有頻率的關系Fig.8 The Relationship Between Preload and Span of Spindle and Spindle Bearing System of First-Order Natural Frequency

表2 實驗與仿真的一階固有頻率對比結(jié)果Tab.2 The Experiment Compared with the First Order Natural Frequency of the Simulation Results

由表2實驗與仿真的一階固有頻率對比可以看出：對于國產(chǎn)ETC1625數(shù)控機床，其主軸系統(tǒng)的軸承跨距為300mm，通過調(diào)整主軸預緊力得到，實驗與仿真所得到的主軸一階固有頻率都會隨預緊力的增大而增大，實驗值與仿真值之間存在著一定的誤差，但是誤差在允許的接受范圍內(nèi)，因此可以驗證仿真結(jié)果的正確性。

4 結(jié)論

通過研究組配軸承的組配方式，應用Hertz理論分別計算了DB和DBD組配的7015C和7016AC的組配支撐剛度。使用ABAQUS有限元分析軟件，計算了主軸軸承系統(tǒng)一階固有頻率同主軸預緊力和支撐跨距的關系，并擬合了三變量之間的關系式。通過計算分析得出如下結(jié)論：

（1）軸承接觸角會隨過盈量的增加而減小，隨軸向預緊力的增加而增大。

（2）7015C軸承以DB形式組配時，軸承組的組合徑向剛度會隨軸承的過盈量和預緊力的增加而增大，相比之下，預緊力對軸承組合徑向剛度的影響更大。7016AC軸承以DBD形式組配時，軸承組的組合徑向剛度隨過盈量增加呈現(xiàn)先減小后增大變化趨勢，軸承組的組合徑向剛度隨預緊力的增加而增大。

（3）主軸軸承系統(tǒng)的固有頻率會隨主軸跨距和預緊力的增加而增大，其中，跨距是影響主軸系統(tǒng)固有頻率的主要因素。

（4）根據(jù)實驗與仿真結(jié)果對比可知，有限元分析得到的主軸系統(tǒng)固有頻率與實驗值之間的誤差較小，從而驗證了仿真結(jié)果的正確性，該研究為確定固有頻率同主軸預緊力和支撐跨距的關系提供了理論指導。

參考文獻

［1］楊叔子，丁漢，李斌.高端制造裝備關鍵技術(shù)的科學問題［J］.機械制造與自動化，2011，40（1）：1-5.

（Yang Shu-zi，Ding Han，Li Bin.Scientific problems of key technologies of high end manufacturing equipment［J］.Mechanical Manufacturing and Automation，2011，40（1）：1-5.）

［2］G Hagiu.Reliable high speed spindles by optimum bearings preload［J］.International Journal of Applied Mechanics and Engineering，2003，8（1）：57-70.

［3］蔡軍，蔣書運.高速機床主軸軸承預緊力理論分析［J］.精密制造與自動化，2008（3）：29-32.

（Cai Jun，Jiang Shu-yun.Theoretical analysis of high speed machine tool spindle bearing preload［J］.Precision Manufacturing and Automation，2008（3）：29-32.）

［4］王碩桂，夏源明.過盈配合量和預緊力對高速角接觸球軸承剛度的影響［J］.中國科學技術(shù)大學學報，2006，36（12）：1314-1320.

（Wang Shuo-gui，Xia Yuan-ming.Effect of interference fit and preload on the stiffness of high speed angular contact ball bearing［J］.Journal of University of Science&Technology China，2006，36（12）：1314-1320.）

［5］王保民，梅雪松，胡赤兵.內(nèi)圈離心位移對高速角接觸球軸承剛度的影響［J］.計算力學學報，2010，27（1）：145-150.

（Wang Bao-min，Mei Xue-song，Hu Chi-bing.Effect of centrifugal displacement of inner ring on stiffness of high speed angular contact ball bearing［J］.Journal of Computational Mechanics，2010，27（1）：145-150.）

［6］鄧四二，王燕霜，李新寧.軸承預緊力與系統(tǒng)固有頻率關系的試驗［J］.航空動力學報，2010（8）：1883-1887.

（Deng Si-er，Wang Yan-shuang，Li Xin-ning.Test on the relationship between bearing preload and system natural frequency［J］.Journal of Aerospace Power，2010（8）：1883-1887.）

［7］郭向東，王燕霜.軸承預緊力-系統(tǒng)固有頻率及跨距關系的研究［J］.軸承，2013（4）：30-33.

（Guo Xiang-dong，Wang Yan-shuang.Study on bearing preload-system natural frequency and span relationship［J］.Bearing，2013（4）：30-33.）

［8］羅繼偉，羅天宇.滾動軸承分析計算與應用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009：39-40.

（Luo Ji-wei，Luo Tian-yu.Analysis and Application of Rolling Bearing［M］.Beijing：Machinery Industry Press，2009：39-40.）

［9］Harrista.Rolling Bearing Analysis［M］.NewYork，USA：John Wiley and Sons Inc，1990.