蔡俊瓊，曹宏瑞

1 引言

主軸作為數(shù)控機床核心部件，其性能高低將影響機床整體發(fā)展水平。將主軸與電機合為一體的電主軸相比于傳統(tǒng)機械主軸，極大地消除了主軸系統(tǒng)在高速運行時的不平衡和噪聲等負面影響，有效改善了主軸高速性能，在數(shù)控機床中得到了廣泛應(yīng)用。

與普通機械主軸相比，電主軸動態(tài)特性隨著轉(zhuǎn)速變化而變化，需要建立與實際物理模型相符的有限元模型[1]。文獻[2]中通過有限差分法建立主軸系統(tǒng)數(shù)學模型，文獻[3]中將軸承劃分為有限元單元建立包含殼體、軸承、及轉(zhuǎn)軸等部件的電主軸整體動力學模型。高轉(zhuǎn)速下電主軸動態(tài)特性還與剛度和質(zhì)量密切相關(guān)，要求其具有較高的剛度和較輕的質(zhì)量。文獻[4]中通過模型仿真給出了軸承剛度和跨距優(yōu)化選擇方案。文獻[5]中開發(fā)了一種基于遺傳算法的優(yōu)化方法用于尋找軸承在主軸上的最佳位置。

依據(jù)電主軸幾何參數(shù)和簡化原則，基于ANSYS Workbench建立電主軸有限元模型并設(shè)計模態(tài)測試實驗，將分析結(jié)論和實驗結(jié)果應(yīng)用到電主軸轉(zhuǎn)子高剛性和輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計中，經(jīng)優(yōu)化后使主軸系統(tǒng)具有更好的靜動態(tài)特性，提高機床加工水平。

2 幾何模型設(shè)計與分析

2.1 電主軸主要技術(shù)指標

某公司數(shù)控成形砂輪磨齒機電主軸主要技術(shù)指標，如表1所示。

表1 電主軸主要技術(shù)指標Tab.1 Main Technical Parameters of the Motorized Spindle

2.2 電主軸材料參數(shù)

該電主軸轉(zhuǎn)子材料為38CrMoAl，熱處理方式為調(diào)質(zhì)處理，主要物理參數(shù)，如表2所示。

表2 電主軸轉(zhuǎn)子物理參數(shù)Tab.2 Physical Parameters of the Motorized Spindle Rotor

2.3 支承形式及冷卻方式

支承參數(shù)形式為：（1）軸承類型選用陶瓷角接觸球軸承；（2）軸承配置形式為背靠背安裝；（3）預(yù)緊方式為定位預(yù)緊；（4）軸承潤滑方式為油氣潤滑。冷卻方式采用冷卻液冷卻，冷卻液沿著水套外面凹槽流過整個電主軸殼體，起到降低電主軸溫度作用。

2.4 電主軸幾何模型

該電主軸主要由砂輪、前端軸承座、電主軸殼體、電機定子和轉(zhuǎn)子、后端軸承座等部分組成。采用三維建模軟件ProEngineer建立電主軸裝配體幾何模型，如圖1所示。

圖1 主軸裝配體幾何模型Fig.1 Geometry Models of the Spindle Assemble

3 電主軸有限元建模

3.1 電主軸幾何模型簡化

由于電主軸結(jié)構(gòu)復雜以及軸承剛度的時變特性，在仿真分析時需要根據(jù)相關(guān)簡化原則[6]對電主軸幾何模型進行簡化。

（1）每個軸承用水平和豎直方向4個彈簧單元代替[7]，彈簧剛度由角接觸球軸承擬靜力學模型計算得到；（2）將主軸定子和裝配體上的零件等效為同密度主軸材料；（3）忽略主軸殼體零部件上用來輸送油氣和冷卻水的細小孔道結(jié)構(gòu)；（4）忽略軸承角剛度影響，認為浮動軸承只有徑向剛度、角接觸軸承只有軸向剛度和徑向剛度。

3.2 基于ANSYS Workbench有限元建模

將電主軸幾何模型導入ANSYS Workbench，零部件之間設(shè)置成Bonded接觸關(guān)系，采用四面體劃分網(wǎng)格，軸承外圈施加固定約束，主軸后端施加周向約束，主軸前端施加徑向磨削力載荷，建立起電主軸有限元模型，如圖2所示。

圖2 電主軸有限元模型Fig.2 Finite Element Models of the Motorized Spindle

4 靜力分析與模態(tài)分析

4.1 角接觸軸承剛度計算

傳統(tǒng)電主軸設(shè)計計算中，靜剛度Kr多由經(jīng)驗公式計算得出[8]，造成計算結(jié)果與實際主軸剛度有較大偏差。采用滾動軸承擬靜力學模型，可使計算結(jié)果更為準確，更符合電主軸實際結(jié)構(gòu)特征[9]。由表3中軸承參數(shù)，采用滾動軸承擬靜力學模型[10]計算出前端軸承B7016軸向剛度Ka1=161464 N/mm、徑向剛度Kr1=343861N/mm；后端軸承B7013軸向剛度Ka2=126268N/mm、徑向剛度Kr2=268714N/mm，將計算的軸承剛度值作為有限元模型中等效彈簧剛度。

表3 前后端軸承各項參數(shù)Tab.3 Parameters of the Front and Rear Bearing

4.2 軸端徑向磨削力及初始位移

由式（1）可計算出該磨削電主軸軸端受到的磨削力大小。

式中：P—電主軸額定功率；d—軸端砂輪直徑；n—電主軸轉(zhuǎn)速。

已知電主軸功率P=30 kW，轉(zhuǎn)速n=4000 r/min，砂輪直徑d=330 mm，代入式（1）中計算得F=434 N。再結(jié)合4.1中求出的軸承剛度以及建立的有限元模型可計算出軸端產(chǎn)生的徑向位移為4.185μm。

4.3 電主軸模態(tài)分析

在自由狀態(tài)下，前6階為6個自由度剛體位移振動，這里只考慮（7～10）階模態(tài)振型和固有頻率，在ANSYS Workbench中將分析階數(shù)設(shè)定為前10階，計算結(jié)果，如表4、圖3所示。

表4 電主軸7～10階固有頻率Tab.4 7th to 10th Order Natural Frequencies of the Motorized Spindle

圖3 電主軸7～10階模態(tài)振型Fig.3 7th to 10th Order Modal Shapes of the Motorized Spindle

由計算結(jié)果知7、8階模態(tài)振型為兩個相互正交平面內(nèi)一階彎曲振動；9、10階模態(tài)振型為兩個相互正交平面內(nèi)二階彎曲振動。

4.4 電主軸轉(zhuǎn)子實驗研究

為驗證建立有限元模型動態(tài)響應(yīng)是否與實際電主軸相符，設(shè)計頻響函數(shù)敲擊實驗，測量電主軸轉(zhuǎn)子在自由狀態(tài)下固有頻率和相應(yīng)模態(tài)振型。實驗儀器和設(shè)備參數(shù)列表，如表5所示。

表5 實驗儀器和設(shè)備參數(shù)列表Tab.5 Parameter List of the Experimental Apparatus and Equipment

將該電主軸用柔性繩索懸掛使其處于自由狀態(tài)，在主軸前端和后端分別貼上加速度傳感器，用力錘敲擊主軸前端和后端，傳感器布置方式和數(shù)采儀器接線方式，如圖4所示。將億恒數(shù)據(jù)采集儀采集到的數(shù)據(jù)文件導入到MatLab中進行分析得到電主軸轉(zhuǎn)子頻率響應(yīng)函數(shù)，如圖5所示。仿真結(jié)果與實驗結(jié)果對比，如表6所示。

圖4 測量電主軸轉(zhuǎn)子自由狀態(tài)下頻率響應(yīng)Fig.4 Testing the Frequency Response of the Motorized Spindle in Free State

圖5 電主軸轉(zhuǎn)子頻響函數(shù)Fig.5 Frequency Response Function of the Motorized Spindle

表6 仿真結(jié)果與實驗結(jié)果對比Tab.6 Comparison of the Simulation and Experiment Results

對比結(jié)果表明計算的一階頻率比實驗結(jié)果略低，誤差產(chǎn)生原因可能有：（1）建立有限元模型時采用了簡化原則和理想假設(shè)，忽略了細小孔道和螺紋等結(jié)構(gòu)；（2）加速度傳感器自身誤差及實驗儀器安裝誤差的影響；（3）沒有考慮接觸面接觸剛度和阻尼的影響；（4）用彈簧代替軸承時忽略了軸承游隙，造成了系統(tǒng)動力學特性偏差；（5）實驗采用柔性繩索懸掛方式，并非完全自由邊界條件。

5 高剛性、輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計

5.1 優(yōu)化設(shè)計參數(shù)分析

（1）設(shè)計變量。根據(jù)該磨削電主軸實際功能結(jié)構(gòu)和優(yōu)化設(shè)計指標需求確定設(shè)計變量變化范圍。（2）狀態(tài)變量。芯軸質(zhì)量m，軸端位移δ，一階固有頻率f、最大應(yīng)力σ。（3）約束條件。軸端徑向位移不超過初始值；最大彎曲應(yīng)力不超過許用切應(yīng)力。（4）目標函數(shù)。一階固有頻率提高10%并取最大值；芯軸質(zhì)量減輕10%并取最小值。優(yōu)化設(shè)計參數(shù)分析，如表7、表8所示。

表7 設(shè)計變量取值范圍Tab.7 Value Ranges of the Design Variables

表8 狀態(tài)變量、約束條件和目標函數(shù)Tab.8 Status Variables，Constraint Conditions and Objective Function

5.2 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果分析

分別采用ANSYS Workbench的4種優(yōu)化算法：遍歷搜索算法（Screen）、多目標遺傳算法（MOGA）、多目標自適應(yīng)算法（AMO）和基于響應(yīng)面優(yōu)化算法（RSO），優(yōu)化結(jié)果，如表9所示。

表9 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Tab.9 Results of the Optimization Design

基于響應(yīng)面算法（RSO）優(yōu)化結(jié)果較差，另外三種算法優(yōu)化結(jié)果中，一階固有頻率相差不大，均在1050Hz附近，其中遍歷搜索算法（Screen）優(yōu)化得到的質(zhì)量減輕效果較差，，從多目標遺傳算法（MOGA）和多目標自適應(yīng)算法（AMO）優(yōu)化結(jié)果看，前者質(zhì)量小但一階固有頻率也稍低，后者一階固有頻率高但質(zhì)量也稍大，依據(jù)優(yōu)先考慮高剛性設(shè)計要求，這里將多目標自適應(yīng)算法（AMO）優(yōu)化結(jié)果作為最優(yōu)解。優(yōu)化前后目標參數(shù)值比較，如表10所示。

表10 優(yōu)化前后目標參數(shù)值比較Tab.10 Comparison of Goal Parameters Between Before and After Optimization

優(yōu)化結(jié)果表明，通過此次優(yōu)化設(shè)計將芯軸一階固有頻率從792.37Hz增大到1059.5Hz，提高了33%；將芯軸質(zhì)量從21.7kg減小到17.214kg，減輕了21%，達到了高剛性和輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計要求。

6 結(jié)論

基于有限元建模理論和滾動軸承擬靜力學模型建立電主軸有限元模型，計算了軸承剛度和主軸系統(tǒng)靜剛度，提?。?～10）階固有頻率和模態(tài)振型以及主軸在受到徑向切削力條件下的靜態(tài)位移，以此作為初始條件對電主軸轉(zhuǎn)子進行高剛性和輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計，分析四種不同優(yōu)化算法特點和效率。針對某公司磨削電主軸，對其進行有限元建模與高剛性、輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計，使優(yōu)化后的一階固有頻率提高33%，質(zhì)量減輕21%，實現(xiàn)了電主軸轉(zhuǎn)子高剛性和輕質(zhì)量優(yōu)化設(shè)計目標。

參考文獻

［1］曹宏瑞，李兵，何正嘉.高速主軸動力學建模及高速效應(yīng)分析［J］.振動工程學報，2012，25（2）：103-109.

（Cao Hong-rui，Li Bing，He Zheng-jia.Dynamic modeling of high-speed spindles and analysis of high-speed effects［J］.Journal of Vibration Engineering，2012，25（2）：103-109.）

［2］Bollinger JG，Geiger G.Analysis of the static and dynamic behavior of lathe spindles［J］.International Journal of Machine Tool Design and Research，1964，3（4）：193-209.

［3］Cao Y，Altintas Y.A general method for the modeling of spindle-bearing systems［J］.Journal of Mechanical Design，2004，126（6）：1089-1104.

［4］Sharan AM，Sankar S，Sankar TS.Dynamic analysis and optimal selection of parameters of a finite element modeled lathe spindle under random cutting forces［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1983，105（4）：467-475.

［5］Lin CW.Optimization of bearing locations for maximizing first mode natural frequency of motorized spindle-bearing systems using a genetic algorithm［J］.Applied Mathematics，2014，5（14）：2137-2152.

［6］吳玉厚，饒良武，趙德宏.陶瓷球軸承電主軸的模態(tài)分析及其振動響應(yīng)試驗［J］.機械設(shè)計與制造，2011（12）：219-221.

（Wu Yu-hou，Rao Liang-wu，Zhao De-hong.Modal analysis and vibration response test for motorized spindle of ceramic ball bearing［J］.Machinery Design&Manufacture，2011（12）：219-221.）

［7］裴大明，馮平法，郁鼎文.基于有限元方法的主軸軸承跨距優(yōu)化［J］.機械設(shè)計與制造，2005（10）：44-46.

（Pei Da-ming，F(xiàn)eng Ping-fa，Yu Ding-wen.Optimum design of spindle bearings distance based on FEM［J］.Machinery Design&Manufacture，2005（10）：44-46.）

［8］宋春明，何寧，張士勇.高速角接觸陶瓷球軸承徑向剛度的分析計算［J］.機電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2007，20（4）：31-32.

（Song Chun-ming，He Ning，Zhang Shi-Yong.Analysis and calculation on radial rigidity of high speed angle contact ceramic ball bearing［J］.Development&Innovation of Machinery&Electrical Products，2007，20（4）：31-32.）

［9］曹宏瑞，李亞敏，何正嘉.高速滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時變軸承剛度及振動響應(yīng)分析［J］.機械工程學報，2014，50（15）：73-81.

（Cao Hong-rui，Li Ya-min，He Zheng-Jia.Time vary bearing stiffness and vibration response analysis of high speed rolling bearing-rotor systems［J］.Journal of Mechanical Engineering，2014，50（15）：73-81.）

［10］曹宏瑞，何正嘉，訾艷陽.高速滾動軸承力學特性建模與損傷機理分析［J］.振動與沖擊，2012，31（19）：134-140.

（Cao Hong-rui，He Zheng-jia，Zi Yan-yang.Modeling of a high-speed rolling bearing and its damage mechanism analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（19）：134-140.）