王天任，孫宏浩，李 鶴，聞邦椿

1 引言

羅茨真空泵由其高的抽速從而得到廣泛的應(yīng)用，但是隨著科技的進(jìn)步人們對它的要求也越來越高。同國外羅茨真空泵相比，國產(chǎn)優(yōu)質(zhì)真空泵在主要技術(shù)指標(biāo)如抽速、極限壓力、能耗方面已經(jīng)接近國外泵的水平，說明我國的設(shè)計和制造水平有了很大的進(jìn)步[1]。但是目前國產(chǎn)泵普遍存在振動噪聲較大等問題，因此將真空泵的振動噪聲控制在一個合理的范圍之內(nèi)是目前需要解決的一項(xiàng)重大問題。對于羅茨真空泵的振動問題許多學(xué)者專家對這方面進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[2]對羅茨真空泵的振動噪聲機(jī)理進(jìn)行了研究，他采用多種信號測試和分析處理方法，分析羅茨真空泵振動噪聲產(chǎn)生的機(jī)理，得出羅茨泵的轉(zhuǎn)子存在制造和裝配誤差，以及轉(zhuǎn)子不平衡將引起很大的振動問題等相關(guān)結(jié)論。文獻(xiàn)[3]對羅茨泵的噪聲機(jī)理進(jìn)行了探討，詳細(xì)的闡釋了噪聲產(chǎn)生的原因和噪聲控制的措施。文獻(xiàn)[4-6]還對羅茨泵的轉(zhuǎn)子型線進(jìn)行了研究，以提高轉(zhuǎn)子的平穩(wěn)性，延長設(shè)備的使用壽命。但是以上的研究都沒有從轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身來研究真空泵的振動問題。因此采用集中質(zhì)量法[7]，考慮電機(jī)、齒輪、羅茨轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模，分別建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及偏心彎扭耦合[8]模型的振動微分方程。為對羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的進(jìn)一步分析打好基礎(chǔ)，也為羅茨泵的設(shè)計提供一定的理論依據(jù)。

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 羅茨泵的工作原理

羅茨泵結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1所示。工作所需要的動力由左端輸入，兩個羅茨轉(zhuǎn)子相互垂直安裝的在兩個平行軸上。通過齒輪傳動（i=1），兩個羅茨轉(zhuǎn)子將發(fā)生等速旋轉(zhuǎn)。由于轉(zhuǎn)子與泵殼內(nèi)壁之間保持有一定的間隙，因此被抽氣體被封閉在固定容器中。隨著轉(zhuǎn)子的不斷旋轉(zhuǎn)，被抽氣體將被排出泵外，從而實(shí)現(xiàn)抽氣的目的。

圖1 羅茨真空泵結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Roots Vacuum Pump

2.2 齒輪嚙合模型

由于羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在齒輪嚙合模型，因此需要首先分析齒輪的力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 齒輪嚙合模型圖Fig.2 Meshing Model of Gear

根據(jù)齒輪的嚙合機(jī)理，嚙合線上的綜合變形δi可寫為：

因此，齒輪的嚙合力、嚙合力矩和反力矩分別為：

式中：rb1,rb2—主、從動齒輪的基圓半徑；kv、cv—齒輪的嚙合剛度和阻尼；

由于齒輪動力系統(tǒng)齒輪在嚙合過程中的單齒嚙合和雙齒嚙合的交替變化，因此嚙合剛度kv具有明顯的周期性。

2.3 純扭轉(zhuǎn)模型

對于羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型簡化，這里采用集中質(zhì)量法考慮電機(jī)、聯(lián)軸器、齒輪以及羅茨轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，并將軸的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量計算兩邊的聯(lián)軸器。將系統(tǒng)簡化為六質(zhì)量系統(tǒng)模型，簡化模型，如圖3所示。

圖3 純扭轉(zhuǎn)模型Fig.3 Pure Torsional Model

?。é?，φ2，φ3，φ4，φ5，φ6）為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，用牛頓-歐拉方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

式中：T1—電機(jī)的驅(qū)動力矩；kt，ct—扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼；φi—第 i個圓盤的旋轉(zhuǎn)角度；Tf、T′f—轉(zhuǎn)子的負(fù)載力矩；Ji—第i個輪盤的轉(zhuǎn)動慣量。

將式（2）帶入到式（3）中，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型由于時變剛度kv的存在，系統(tǒng)將存在穩(wěn)定性問題。因此在后續(xù)研究過程中需要對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，確定穩(wěn)定性邊界。以防止系統(tǒng)工作在非穩(wěn)定性區(qū)域而造成異常的振動問題。

2.4 考慮偏心的彎扭耦合振動模型

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲振動受到軸承剛度的影響，因此在分析帶偏心的彎扭耦合振動時需要引進(jìn)軸承剛度。kb3、kb4、kb5、kb6分別為軸承剛度，如圖5所示。利用集中質(zhì)量法建立系統(tǒng)的彎扭耦合振動模型并考慮偏心的影響。

圖4 彎扭耦合振動模型Fig.4 Coupled Flexural-Torision VibrationModel

由于圓盤的質(zhì)量偏心，在圓盤旋轉(zhuǎn)過程中將產(chǎn)生離心力，經(jīng)推導(dǎo)圓盤1的離心力在x、y方向的分量W1x和W1y分別為：

由于扭轉(zhuǎn)振動位移加速度引起的質(zhì)心沿x、y的平移加速度，會使圓盤產(chǎn)生沿x、y方向的慣性力W1x，和W1y，分別為：

同時考慮扭轉(zhuǎn)和彎曲的影響，系統(tǒng)為18個自由度系統(tǒng)。由此建立系統(tǒng)的振動微分方程：

式中：ei—第i個輪盤的偏心距；g—重力加速度；mi—第i個輪盤的集中質(zhì)量。

由方程（6）可以發(fā)現(xiàn)，由于齒輪嚙合力F和嚙合力矩Me的存在，考慮偏心的彎扭耦合振動模型仍然存在穩(wěn)定性的問題。而且由于偏心距e的存在，彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動耦合在一起相互影響。如果令方程（6）中的e=0，那么方程（6）中的一部分將會變成方程（3），即為純扭轉(zhuǎn)模型。而剩余其他方程即為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)純彎曲振動微分方程。由此可見偏心距e是彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動相互耦合的前提。

3 結(jié)論

采用集中質(zhì)量法，考慮電機(jī)、齒輪、羅茨轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模。采用牛頓歐拉法分別建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及偏心彎扭耦合模型的振動微分方程。通過分析方程的性質(zhì)可得到如下結(jié)論：（1）由于齒輪時變剛度kv的存在，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及考慮偏心的彎扭耦合振動模型都存在穩(wěn)定性的問題，這將有可能造成異常的振動問題。（2）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動是通過偏心距e耦合在一起。如果令e=0那么彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動將會獨(dú)立存在，不會發(fā)生耦合現(xiàn)象。

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