王萌，馮秀琴，姚治海，王曉茜

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

隨著混沌動(dòng)力學(xué)理論在保密通信、信息編碼以及信息存儲(chǔ)等方面應(yīng)用研究的逐漸深入，混沌反控制與混沌同步的研究成為重要的研究方向。混沌反控制是在混沌信號(hào)有用時(shí)刻意產(chǎn)生混沌或者使混沌行為加劇，混沌反控制又被稱為混沌生成或混沌合成。眾多學(xué)者對(duì)不同系統(tǒng)的混沌反控制與同步進(jìn)行了深入研究。陳關(guān)榮等利用狀態(tài)反饋法，使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生Devaney意義下的混沌［1］；Yang等研究了具有極限環(huán)的連續(xù)系統(tǒng)的混沌反控制問(wèn)題［2］；汪小帆等利用時(shí)滯反饋法研究了最小相位系統(tǒng)的有關(guān)混沌的生成［3］；文獻(xiàn)［4，5］指出利用耦合法和參量調(diào)制法等討論研究了有關(guān)簡(jiǎn)并光學(xué)參量振蕩器的混沌反控制與混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［6］研究了玻色愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)的混沌反控制；文獻(xiàn)［7］詳細(xì)闡述了使A類和B類激光器通過(guò)附加自由度產(chǎn)生混沌激光的方法。

光學(xué)二次諧波系統(tǒng)是典型的一種非線性光學(xué)系統(tǒng)，分析研究光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制與同步對(duì)更深一步研究其他非線性光學(xué)系統(tǒng)的混沌控制與同步及其應(yīng)用有著重要的指導(dǎo)意義。關(guān)于光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)有了很多具有重要意義的成果［8-11］，張喜和等通過(guò)使用方波脈沖以及鋸齒波脈沖泵浦著重分析研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌物理特性［12］；李建宇等利用延時(shí)反饋法也模擬實(shí)現(xiàn)了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制與周期態(tài)同步［13，14］；常帥等研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌耦合同步［15，16］；何軍等利用方波脈沖實(shí)現(xiàn)了二次諧波系統(tǒng)的混沌控制［17］；文獻(xiàn)［5］利用周期信號(hào)調(diào)制研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制及其周期態(tài)同步，同時(shí)研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌生成，至今未見(jiàn)更多關(guān)于二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步的研究成果報(bào)道?？梢?jiàn)還可以對(duì)光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步進(jìn)行更廣泛深入的研究，本方案利用混沌激光調(diào)制研究光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與混沌同步。

1 混沌激光調(diào)制泵浦場(chǎng)反控制二次諧波系統(tǒng)的混沌

利用雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光調(diào)制調(diào)制光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的泵浦場(chǎng)，在腔損耗較低的條件下，調(diào)制后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程［17，18］：

其中，（1）-（4）式為雙環(huán)摻鉺光纖激光器動(dòng)力學(xué)方程，（5）-（6）式為光學(xué)二次諧波系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)應(yīng)變量及其參數(shù)表1。

當(dāng)二次諧波系統(tǒng)的泵浦為恒定值且F小于7.0時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)為Δ1=Δ2=1.0時(shí)，二次諧波系統(tǒng)系統(tǒng)處于周期態(tài)，周期軌道和時(shí)間序列如圖1，從中可見(jiàn)系統(tǒng)處于周期態(tài)。為使二次諧波系統(tǒng)從周期態(tài)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，利用雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光作為調(diào)制信號(hào)，使用混沌激光作為泵浦光。當(dāng)雙環(huán)摻鉺光纖激光器參數(shù)為η0=0.2，ga=10500,gb=4700，κa=κb=1000，Ipa=Ipb=4 時(shí)，雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出混沌激光［18］，用a環(huán)輸出的混沌激光Ea調(diào)制二次諧波系統(tǒng)的泵浦場(chǎng)，當(dāng)調(diào)制強(qiáng)度m＞0時(shí)，二次諧波系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，實(shí)現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制，當(dāng)調(diào)制強(qiáng)度m=0.6時(shí)輸出的混沌行為通過(guò)吸引子和時(shí)間序列圖表征如圖2所示，圖2（a）和2（b）分別為基模和二次諧波模的混沌吸引子，圖2（c）為基模輸出的時(shí)間序列。

表1 （1）-（6）式參量及其含義對(duì)應(yīng)表

圖1 穩(wěn)恒泵浦二次諧波系統(tǒng)輸出的周期軌道與時(shí)間序列F=6.0，Δ1=Δ2=1.0

圖2 混沌泵浦二次諧波系統(tǒng)輸出的周期軌道與時(shí)間序列 F=6.0，Δ1=Δ2=1.0，m=0.6

利用（1）-（4）式輸出的混沌激光同時(shí)調(diào)制兩個(gè)二次諧波系統(tǒng)A和B的泵浦場(chǎng)，調(diào)制后同步系統(tǒng)A的動(dòng)力學(xué)方程為（5）-（6）式表達(dá)，系統(tǒng)B的動(dòng)力學(xué)方程為：

由于系統(tǒng)的初始條件不相同，而且混沌對(duì)系統(tǒng)的初始條件很敏感，A，B兩個(gè)系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生同步。數(shù)值分析結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)整調(diào)制強(qiáng)度可以實(shí)現(xiàn)混沌同步，發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制增加到強(qiáng)度m=0.6時(shí)，系統(tǒng)B與C可以達(dá)到同步，隨著調(diào)制強(qiáng)度的增加，當(dāng)m＞0.6時(shí)，混沌輸出同步速度加快。當(dāng)初始條件為：A1=0.1+i0.1，A2=0.2+i0.2，B1=0.2+i0.2，B2=0.1+i0.1，耦合系數(shù)m=0.7時(shí)，系統(tǒng)的同步過(guò)程演化如圖3所示。從圖3（a）-（b）可見(jiàn)，系統(tǒng)B與C的基模和二次諧波模均達(dá)到完全同步，同步演化過(guò)程如圖3（c）。

圖3 混沌激光調(diào)制泵浦光學(xué)二次諧波系統(tǒng)混沌同步

2 混沌激光耦合調(diào)制實(shí)現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)混沌同步

混沌激光耦合調(diào)制也可以實(shí)現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與混沌同步，將雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光通過(guò)耦合器耦合到光學(xué)二次諧波系統(tǒng)中，并對(duì)基模調(diào)諧參數(shù)進(jìn)行調(diào)制，耦合調(diào)制后的動(dòng)力學(xué)方程為：

發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制強(qiáng)度m＞0.02時(shí)，二次諧波系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，通過(guò)耦合調(diào)制實(shí)現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制。當(dāng)F=6.0，F(xiàn)=6.0，Δ1=Δ2=1.0，調(diào)制強(qiáng)度m=0.6時(shí)輸出的混沌吸引子如圖4所示，從中可見(jiàn)二次諧波系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

如果將雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光同時(shí)耦合到兩個(gè)二次諧波系統(tǒng)里并同時(shí)對(duì)基模調(diào)諧參數(shù)進(jìn)行調(diào)制，調(diào)制后同步系統(tǒng)A的動(dòng)力學(xué)方程為（9）-（10）式表達(dá)，系統(tǒng)B的動(dòng)力學(xué)方程為：

數(shù)值分析結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)整耦合調(diào)制強(qiáng)度可以實(shí)現(xiàn)A和B系統(tǒng)的混沌同步，發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制增加到強(qiáng)度m=0.94時(shí)，系統(tǒng)A與B可以達(dá)到同步，隨著調(diào)制強(qiáng)度的增加，當(dāng)m＞0.94時(shí)，混沌輸出同步速度加快。當(dāng)初始條件為，A1=0.1+i0.1，A2=0.2+i0.2，B1=0.2+i0.2，B2=0.1+i0.1，耦合系數(shù)m=0.95時(shí)，系統(tǒng)的同步過(guò)程演化如圖5所示。從圖5（a）-（b）可見(jiàn)，系統(tǒng)B與C的基模和二次諧波模均達(dá)到完全同步，同步演化過(guò)程如圖5（c）。

圖4 混沌激光調(diào)制二次諧波系統(tǒng)基模調(diào)諧參數(shù)后的混沌吸引子

圖5 混沌激光調(diào)制光學(xué)二次諧波系統(tǒng)調(diào)諧參數(shù)后的混沌同步

3 結(jié)論

利用混沌激光調(diào)制泵浦場(chǎng)，通過(guò)選擇合適的調(diào)制強(qiáng)度，可以把光學(xué)二次諧波系統(tǒng)由周期態(tài)控制到混沌態(tài)，以實(shí)現(xiàn)光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制。研究結(jié)果表明，兩個(gè)或多個(gè)二次諧波系統(tǒng)的泵浦場(chǎng)同時(shí)被混沌激光信號(hào)調(diào)制，這些系統(tǒng)盡管初始條件不同，在確定的參數(shù)范圍內(nèi)，通過(guò)調(diào)整調(diào)制強(qiáng)度，可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)二次諧波系統(tǒng)混沌同步。不但可以利用混沌激光調(diào)制泵浦場(chǎng)實(shí)現(xiàn)光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步，調(diào)制二次諧波系統(tǒng)基模調(diào)諧參數(shù)也可以實(shí)現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)混沌反控制與同步。以上得到的同步結(jié)果與周期信號(hào)調(diào)制和延時(shí)反饋調(diào)制不同，周期信號(hào)調(diào)制和延時(shí)反饋調(diào)制實(shí)現(xiàn)的是周期態(tài)同步，存在同步和反向同步兩種同步方式。如果使用相同的混沌激光作為信號(hào)，以同樣的方式同時(shí)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)二次諧波系統(tǒng)的泵浦場(chǎng)或基模調(diào)諧參數(shù)進(jìn)行調(diào)制，再選取適當(dāng)?shù)恼{(diào)制強(qiáng)度，即可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)二次諧波系統(tǒng)的混沌同步，這對(duì)實(shí)現(xiàn)多路信號(hào)同時(shí)進(jìn)行混沌保密通信有著一定的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

［1］ Chen G，Lai D.Feedback control of lyapunov exponents for discrete-time dynamical systems［J］.International Journal of Bifurcation& Chaos，1996，06（07）：1341-1349.

［2］ Ling Yang，Zengrong Liu，Guanrong Chen.Chaotifying a continuous-time system via impulsive input［J］.InternationalJournalofBifurcation & Chaos，2002，12（05）：1121-1128.

［3］ Wang X F，Chen G.Chaotification viaarbitrarily small feedback controls：theory，method，and applications［J］.International Journal of Bifurcation&Chaos，2000，10（03）：549-570.

［4］ 馮秀琴，姚治海，田作林，等.簡(jiǎn)并光學(xué)參量振蕩器的混沌反控制與混沌同步［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（3）：861-865.

［5］ 馮秀琴.光學(xué)參量振蕩器的超混沌控制與同步研究［D］.長(zhǎng)春：長(zhǎng)春理工大學(xué)，2006.

［6］ 王志霞.玻色—愛(ài)因斯坦凝聚的混沌動(dòng)力學(xué)研究［D］.長(zhǎng)春：長(zhǎng)春理工大學(xué)，2008.

［7］ 沈柯.光學(xué)中的混沌［M］.東北師范大學(xué)出版社，1999.

［8］ Grygiel K，Szlachetka P.Hyperchaos in second-harmonic generation of light［J］.Optics Communications，1998，49（7）：1043-1056.

［9］ Savage C M，Walls D F.Optical chaos in second-harmonic generation［J］.Optica Acta International Journal of Optics，1983，30（5）：557-561.

［10］ Aceves A，Holm D D，Kova?i? G，et al.Homoclinic orbits and chaos in a second-harmonic generating optical cavity［J］.1997，233（3）：203-208.

［11］ Mandel P，Erneux T.Amplitude self-modulation of intracavity second-harmonic generation［J］.Journal of Modern Optics，1982，29（1）：7-21.

［12］ 張喜和，沈柯.調(diào)制脈沖泵浦相位共軛振蕩器的動(dòng)力學(xué)行為［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999，22（2）：1-6.

［13］ 姚治海，李建宇，馮秀琴，等.延時(shí)反饋調(diào)制泵浦場(chǎng)實(shí)現(xiàn)二次諧波的混沌控制與同步［J］.兵工學(xué)報(bào)，2011，32（6）：657-662.

［14］ Feng X Q，Jianyu L I，Yao Z H，et al.Chaotic control and synchronization in optical second-harmonic generation with parameter modulating by delay feedback［J］.Chaos An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2010，20（2）：023-120.

［15］ 常帥.光學(xué)二次諧波混沌控制與同步的研究［D］.長(zhǎng)春：長(zhǎng)春理工大學(xué)，2011.

［16］ 趙鳳艷，馮秀琴，常帥，等.光學(xué)二次諧波系統(tǒng)混沌同步研究［J］.北華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，14（5）：530-533.

［17］ 何軍，李元杰.光學(xué)二次諧波混沌的控制［J］.物理與工程，2000，10（6）：39-42.

［18］ 王榮，沈柯.延時(shí)線性反饋法控制雙環(huán)摻鉺光纖激光器混沌［J］.物理學(xué)報(bào)，2001，50（6）：1024-1027.