陳向民，張 亢，晉風(fēng)華，李錄平

(長沙理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，長沙 410076)

齒輪是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的重要?jiǎng)恿鬏敳考?。長時(shí)間、高負(fù)荷地運(yùn)行容易引起齒輪出現(xiàn)局部故障。齒輪出現(xiàn)局部故障時(shí)，其振動(dòng)信號中會(huì)產(chǎn)生以轉(zhuǎn)頻及其倍頻為調(diào)制頻率的調(diào)幅調(diào)頻信號[1]。如何從原始振動(dòng)信號中將包含齒輪局部故障信息的調(diào)幅調(diào)頻信號提取出來是診斷齒輪故障的關(guān)鍵。

對于恒定轉(zhuǎn)速下的齒輪故障信號分離，常用的信號分析方法主要有共振解調(diào)[2]、小波分析[3-4]、EMD/EEMD[5-6]、LMD[7-8]等。這類方法的共同特點(diǎn)是采用類似于帶通濾波的方式對信號進(jìn)行分析，將包含故障信息的信號成分分離出來，對于恒定轉(zhuǎn)速下的故障信號分析取得了較好的效果。但對于頻率大范圍波動(dòng)的非平穩(wěn)信號(如機(jī)器的啟停、工況的改變等)，若直接采用該類方法進(jìn)行故障信號提取，則分析結(jié)果不太理想[9]。

時(shí)頻濾波通過先采用時(shí)頻分析方法將信號展開為時(shí)間-頻率的聯(lián)合函數(shù)(即時(shí)頻分布)，再在時(shí)頻域?qū)π盘栠M(jìn)行濾波分析，可有效提取時(shí)變非平穩(wěn)信號成分，已成為非平穩(wěn)信號分析的一種重要方法。常用于時(shí)頻濾波的時(shí)頻分析方法有短時(shí)傅里葉變換，Wigner-Ville變換、Gabor變換[10]，S變換[11]等，其中，S變換因不含交叉項(xiàng)，且保留了信號的絕對相位信息，因而，近年來被用于非平穩(wěn)信號的時(shí)頻濾波分析[12-14]。

時(shí)頻濾波的基本原理是根據(jù)分析信號的頻率變化特點(diǎn)，在時(shí)頻域選取合適的時(shí)頻區(qū)域(即時(shí)頻濾波器)進(jìn)行濾波分析。對于變轉(zhuǎn)速下的齒輪故障信號，其時(shí)頻濾波器的設(shè)計(jì)主要包括中心頻率和帶寬兩個(gè)部分，其中，中心頻率的選取是關(guān)鍵[15]。而對于齒輪故障信號的時(shí)頻濾波器的中心頻率一般選取為齒輪的嚙合頻率。因此，如何精確的將嚙合頻率曲線從齒輪故障信號中提取出來對其時(shí)頻濾波器的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。CPP方法是Candes等[16]提出的一種非平穩(wěn)信號頻率曲線估計(jì)方法，具有較高的頻率估計(jì)精度，且具有很強(qiáng)的抗噪能力，近年來被用于機(jī)械故障診斷，取得了較好的效果[17-18]。

基于上述分析，本文將CPP方法與S變換相結(jié)合，提出了基于CPP與S變換的自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法，并將其應(yīng)用于齒輪故障特征提取中。算法仿真和應(yīng)用實(shí)例表明，自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法可根據(jù)齒輪故障信號的頻率變化特點(diǎn)，自適應(yīng)地改變中心頻率和帶寬，能有效分離出齒輪故障信號成分，并提取齒輪故障特征，且濾取的信號無相位畸變。因此，該方法非常適合于變轉(zhuǎn)速下的非平穩(wěn)信號分析。

1 CPP算法

CPP算法采用的多尺度線調(diào)頻基元函數(shù)庫為

D(haμbμI)={haμbμI(t)}={KaμbμIe[-i(aμt+bμt2)]LI(t)}

(1)

式中：D表示基元函數(shù)庫；haμbμI(t)為多尺度線調(diào)頻基元函數(shù)；N為分析信號長度；I表示動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段,I=[kN2-j～(k+1)N2-j]；k為動(dòng)態(tài)時(shí)間段的序號，k=0,1,…,2j-1；j表示分析尺度系數(shù)，j=0,1,…,log2N-1；KaμbμI為歸一化系數(shù)，滿足‖haμbμI‖=1；aμ和bμ分別表示頻率偏置系數(shù)和調(diào)頻率，且滿足aμ+2bμt

采用多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)對分析信號進(jìn)行逐段投影，并計(jì)算每個(gè)時(shí)間分析段I內(nèi)的投影系數(shù)和對應(yīng)的線調(diào)頻基元函數(shù)。當(dāng)分析信號與多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)的相似性越高，其投影系數(shù)也就越大，此時(shí)，基元函數(shù)對應(yīng)的能量也就越大。因此，需尋求一種動(dòng)態(tài)連接算法∏，使得所連接基元函數(shù)對應(yīng)的信號在整個(gè)分析時(shí)間內(nèi)的總能量最大，且連接算法∏應(yīng)覆蓋整個(gè)分析時(shí)間段，不重疊，即

(2)

此時(shí)，對應(yīng)的投影系數(shù)集合和基元函數(shù)集合分別為

(3)

CPP方法中連接算法∏的連接步驟如下：

(1) 初始化。以i表示分析時(shí)間段序號，Edi表示第i個(gè)分析時(shí)間段之前分解信號的總能量，li表示連接到第i個(gè)分析時(shí)間段的前一分析時(shí)間段序號，Eei表示第i個(gè)分析時(shí)間段投影系數(shù)對應(yīng)的分解信號的能量。初始化時(shí),Edi=0,li=0；

(2) 對于動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段集合I={I1,I2,…}中的每一個(gè)元素Ii，查找出與其相鄰的所有下一個(gè)動(dòng)態(tài)分析時(shí)間段集合{Ij}, 如果

Edi+Eei>Edj

(4)

則有

(5)

連接算法∏可保證在整個(gè)分析時(shí)間段內(nèi)基元函數(shù)組合所對應(yīng)的信號與分析信號最為相似?；瘮?shù)在動(dòng)態(tài)分析時(shí)間支持區(qū)Ii內(nèi)的瞬時(shí)頻率fIi(t)=aμ+2bμt,ti∈Ii，將所有動(dòng)態(tài)時(shí)間段集合I={I1,I2,…}中所對應(yīng)的頻率曲線集合fI={fI1,fI2,…}按時(shí)間先后順序連接成線則為信號在整個(gè)分析時(shí)間段內(nèi)的瞬時(shí)頻率估計(jì)。

2 S變換

S變換是Stockwell等在研究地球物理數(shù)據(jù)時(shí)提出的一種非平穩(wěn)信號分析方法。S變換可以認(rèn)為是一種加高斯窗、且窗寬與信號頻率成反比的特殊STFT。S變換在信號低頻段具有較高的頻率分辨率，而在高頻段具有較高的時(shí)間分辨率，因此，S變換具有多分辨特性，克服了STFT分辨率固定的缺點(diǎn)。并且，S變換也可認(rèn)為是一種經(jīng)過相位修正的連續(xù)小波變換(Continuous wavelet transform，CWT)，即S變換保持了原始信號的絕對相位信息，彌補(bǔ)了CWT缺乏相位信息的不足。

對于給定信號，其S變換與S逆變換分別為

(6)

(7)

S變換是一種線性變化，滿足線性疊加原理，相對于二次型時(shí)頻分布(如Wigner-Ville分布，Choi-Williams分布等)，不存在交叉項(xiàng)的干擾，即對于信號x(t)=x1(t)+x2(t)，其S變換滿足

S[x(t)]=S[x1(t)]+S[x2(t)]

(8)

為了便于S變換的離散化計(jì)算，將其寫成關(guān)于頻域信號X(f)的表達(dá)式，即

(9)

式中：X(f)為x(t)的傅里葉變換。由此可得到S變換的離散化計(jì)算公式為

(10)

式中：T為采樣間隔;N為采樣點(diǎn)數(shù)，j,n=0,1,…,N-1。

離散S逆變換為

(11)

式中：k=0,1,…,N-1。

3 變轉(zhuǎn)速齒輪故障特征提取步驟

齒輪出現(xiàn)局部故障時(shí)，其振動(dòng)信號中會(huì)出現(xiàn)調(diào)幅調(diào)頻信號，對該調(diào)幅調(diào)頻信號的提取與分析對齒輪的故障診斷具有重要意義。而當(dāng)齒輪處于變轉(zhuǎn)速下運(yùn)行時(shí)，該調(diào)幅調(diào)頻信號具有與轉(zhuǎn)速相關(guān)的時(shí)變特點(diǎn)，此時(shí)，傳統(tǒng)的信號濾波方法不再適用。

CPP算法采用分段擬合的思想對信號中頻率呈曲線變化的信號成分進(jìn)行頻率估計(jì)，可準(zhǔn)確估計(jì)出變轉(zhuǎn)速下非平穩(wěn)信號的頻率曲線；而S變換是一種線性時(shí)頻分析方法，不存在交叉項(xiàng)，且保留了信號的絕對相位信息。因此，針對頻率大范圍變化的調(diào)頻調(diào)幅信號的提取，本文將CPP方法與S變換相結(jié)合，提出了基于CPP與S變換的自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法，并將其用于變轉(zhuǎn)速下的齒輪故障特征提取。本文方法具體計(jì)算步驟如下：

H(t,f)={H(ti,f),i=1,2,…,N}

(12)

式中：fωi為ti時(shí)刻的半帶寬。

(3) 然后采用自適應(yīng)時(shí)頻濾波器H(t,f)對信號的時(shí)頻分布S(τ,f)進(jìn)行時(shí)頻濾波，得到濾波后的時(shí)頻分布S′(τ,f)=S(τ,f)×H(t,f)；

(4) 將時(shí)頻濾波結(jié)果S′(τ,f)進(jìn)行S逆變換，即可得到提純后的齒輪故障振動(dòng)信號S′；

4 算法仿真

為驗(yàn)證本文方法的有效性，設(shè)置一調(diào)幅調(diào)頻信號sig1(如式(13))來模擬變轉(zhuǎn)速下的齒輪局部故障，模擬齒數(shù)為26，齒輪嚙合頻率被1倍轉(zhuǎn)頻調(diào)制，齒輪局部故障信號如圖1。為模擬強(qiáng)噪聲的干擾，在信號中加入強(qiáng)度為-2 dB的高斯白噪聲，得到的仿真合成信號如圖2。圖2中，齒輪局部故障信號已被完全淹沒。

sig1=(1+cos(2π×(25t+sin(3πt))))×cos(2π×26×(25t+sin(3πt)))

(13)

S=sig1+SN

(14)

圖1 仿真變轉(zhuǎn)速齒輪故障信號Fig.1 Simulation signal of a faulted gear under variable rotational speed

圖2 仿真合成信號Fig.2 Simulation composite signal

圖3 估計(jì)的嚙合頻率與實(shí)際嚙合頻率對比Fig.3 Comparison of estimated and actual gear mesh frequency

圖4 仿真信號的自適應(yīng)時(shí)頻濾波器Fig.4 Adaptive time-frequency filter of simulated signal

采用圖4中的自適應(yīng)時(shí)頻濾波器對信號進(jìn)行濾波，濾取的齒輪故障振動(dòng)信號如圖5(a)所示。圖5(b)為圖5(a)在時(shí)間段0.19～0.22 s的局部放大圖，圖中，濾取的信號與原始齒輪故障信號基本重合，僅在幅值上存在部分差異。

圖5 自適應(yīng)時(shí)頻濾波提取的齒輪故障信號及局部放大信號Fig.5 Extracted signal of a faulted gear and its partly enlarged signal using adaptive time-frequency filter

同時(shí)采用EEMD方法對圖2所示的合成信號進(jìn)行分析，得到的第2個(gè)IMF如圖6(a)。圖6(b)為圖6(a)在時(shí)間段0.19～0.22 s的局部放大圖，圖中，IMF與原始齒輪故障信號不僅存在幅值上的差異，而且存在相位畸變。

圖6 EEMD方法提取的齒輪故障信號及局部放大信號Fig.6 Extracted signal of a faulted gear and its partly enlarged signal using EEMD

對圖5(a)和圖6(a)所示信號分別進(jìn)行階次譜分析，得到的階次譜如圖7所示，其中，圖7(a)為自適應(yīng)時(shí)頻濾波信號的階次譜，圖7(b)為IMF2的階次譜。對比圖7(a)和7(b)，雖然兩圖中在階次25.04、26.09和27.04處均出現(xiàn)了峰值，表明齒輪嚙合頻率旁邊出現(xiàn)了1倍轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，但圖7(a)中的噪聲明顯要低，且幅值特性也明顯要好。

圖7 階次譜對比Fig.7 Comparison of order spectrum

5 應(yīng)用實(shí)例

為檢驗(yàn)本文方法在實(shí)測齒輪箱振動(dòng)信號中提取變轉(zhuǎn)速下齒輪故障特征的有效性，在齒輪箱上進(jìn)行試驗(yàn)，并采用斷齒齒輪和正常齒輪進(jìn)行對比分析。試驗(yàn)齒輪為正齒輪，主動(dòng)軸與從動(dòng)軸的齒數(shù)比為55∶75，斷齒故障設(shè)置為主動(dòng)軸上，整體切割一個(gè)齒以模擬齒輪斷齒故障，如圖8所示。

圖8 斷齒齒輪Fig.8 A broken gear

為減少傳遞路徑的影響，將PCB振動(dòng)加速度傳感器直接置于主動(dòng)軸的軸承座上。試驗(yàn)時(shí)，齒輪箱處于空載狀態(tài)。試驗(yàn)采用LMS數(shù)據(jù)采集儀同步采集振動(dòng)加速度信號和主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速信號，采樣頻率為8 192 Hz。圖9為變轉(zhuǎn)速下拾取的齒輪斷齒故障的振動(dòng)信號，信號中出現(xiàn)了較多的沖擊成分。

圖9 變轉(zhuǎn)速下齒輪斷齒故障的齒輪箱振動(dòng)信號Fig.9 Vibration signal of a gearbox with broken gear under variable rotational speed

采用CPP方法對圖9所示信號進(jìn)行分析，估計(jì)出的嚙合頻率曲線如圖10中的虛線所示，圖中，頻率逐漸增加，表明齒輪箱處于升速階段。圖10中的實(shí)線為實(shí)測嚙合頻率曲線(即光電式轉(zhuǎn)速傳感器測取的主動(dòng)軸的轉(zhuǎn)頻與齒數(shù)的乘積)。圖10中，兩條曲線基本重合。

圖10 估計(jì)的嚙合頻率與實(shí)測嚙合頻率對比Fig.10 Comparison of estimated and measured gear mesh frequency

根據(jù)圖10中估計(jì)的嚙合頻率曲線(虛線)設(shè)計(jì)自適應(yīng)時(shí)頻濾波器，得到的自適應(yīng)時(shí)頻濾波器的時(shí)頻分布如圖11，黑色表示阻帶，白色表示通帶。圖11中可看出，濾波器的中心頻率隨著信號頻率的變化而改變。

圖11 斷齒齒輪的自適應(yīng)時(shí)頻濾波器Fig.11 Adaptive time-frequency filter of a broken gear

采用圖11所示的自適應(yīng)時(shí)頻濾波器對信號進(jìn)行濾波分析，濾取的齒輪故障振動(dòng)信號如圖12。圖12中存在一定的調(diào)制現(xiàn)象，但無法確定故障類型。進(jìn)一步對濾取的信號(如圖12)進(jìn)行階次分析，得到的階次譜如圖13。圖13中，在階次53、55.01、57.01處出現(xiàn)明顯的峰值，表示齒輪的嚙合頻率被2倍所轉(zhuǎn)頻調(diào)制，與齒輪斷齒的轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象相符，驗(yàn)證了本文方法提取變轉(zhuǎn)速下齒輪故障特征有效性。

Fig.12 自適應(yīng)時(shí)頻濾波提取的齒輪斷齒故障信號Fig.12 Extracted signal of a broken gear using adaptive time-frequency filter

圖13 斷齒齒輪自適應(yīng)時(shí)頻濾波振動(dòng)信號的階次譜Fig.13 Order spectrum of filtered signal of a broken gear using adaptive time-frequency filter

為增加對比，采用EEMD方法對圖9所示信號進(jìn)行分析，得到的第1個(gè)IMF如圖14。對IMF1進(jìn)行階次分析，得到的階次譜如圖15。圖15中，在階次53、55.01、57.01處也出現(xiàn)了峰值，表明出現(xiàn)了齒輪局部故障，但與圖13對比可知，圖15中在高頻和低頻段均存在了較多的噪聲，其效果要遜色于圖13。

圖14 第1個(gè)IMFFig.14 IMF1

圖15 第1個(gè)IMF的階次譜Fig.15 Order spectrum of IMF1

同時(shí)，采用正常齒輪來進(jìn)行試驗(yàn)，以便進(jìn)行對比分析。圖16為正常齒輪在變轉(zhuǎn)速下采集到的齒輪箱振動(dòng)信號，圖中，信號的幅值較圖9要小，且沖擊成分較少。

圖16 變轉(zhuǎn)速下正常齒輪箱振動(dòng)信號Fig.16 Vibration signal of a normal gearbox under variable rotational speed

采用本文方法對圖16所示正常齒輪箱振動(dòng)信號進(jìn)行分析，自適應(yīng)時(shí)頻濾波后的信號如圖17。對圖17所示信號進(jìn)行階次譜分析，得到的階次譜如圖18。圖18中，在嚙合頻率階次55處有一個(gè)明顯的峰值，但該峰值相對于齒輪斷齒故障的幅值要小很多，且嚙合頻率附近的調(diào)制邊頻帶并不明顯，即不存在轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，與正常齒輪的振動(dòng)特性相符。

圖17 正常齒輪箱自適應(yīng)時(shí)頻濾波得到的濾波信號Fig.17 Filtered signal of a normal gearbox using adaptive time-frequency filter

圖18 正常齒輪箱濾波信號的階次譜Fig.18 Order spectrum of filtered signal of a normal gearbox

6 結(jié) 論

針對變轉(zhuǎn)速下的齒輪故障信號分離與故障特征提取，提出了基于CPP與S變換的自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法，算法仿真和應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。本文主要結(jié)論如下：

(1) 自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法可根據(jù)信號的頻率變化特點(diǎn)自適應(yīng)地改變中心頻率和帶寬，能有效濾取頻率呈曲線變化的調(diào)幅調(diào)頻信號，具有較好的信號自適應(yīng)性，非常適合于變轉(zhuǎn)速下非平穩(wěn)信號的分析。

(2) 與EEMD方法進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明，自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法濾取的信號無相位畸變，實(shí)現(xiàn)了零相位濾波。

(3) 由于通帶內(nèi)噪聲和頻域截?cái)嗟挠绊?，自適應(yīng)時(shí)頻濾波方法濾取的信號與原始信號存在一定的幅值誤差，因此，如何減少上述兩因素對幅值的影響有待進(jìn)一步改進(jìn)。

參 考 文 獻(xiàn)

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