李雪梅

（電子科技大學(xué)附屬實驗小學(xué)，四川 成都 610051）

新課程改革以來，關(guān)注兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，已經(jīng)成為普遍的共識。比如，重視知識產(chǎn)生的過程，把“數(shù)學(xué)史”融入數(shù)學(xué)課堂；重視知識獲得的過程，倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式；重視評價手段和形式的多樣化，綜合運用過程性評價和結(jié)果性評價等。

隨著課程改革的深入和核心素養(yǎng)時代的到來，我們依然需要不斷地豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“過程”意義，發(fā)掘“過程”價值，以便能更好地增強學(xué)習(xí)體驗，提升學(xué)習(xí)能力，獲得智慧啟迪，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，推動小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革。

一、彰顯課程的“過程”意義，創(chuàng)建動態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂

課程是教學(xué)的載體。課程（curriculum）的本意是指“跑道”。把課程定位成“跑道”，那課程“只是被作為學(xué)生施展才華的一種最基本的物質(zhì)載體，只是學(xué)生認(rèn)識世界、增長知識、積累經(jīng)驗和提升境界的手段和工具”，這種意義上的課程，常常被固化為知識的、靜態(tài)的、作為事實的文本。近年來，人們對課程的理解發(fā)生了很大變化，小威廉姆E.多爾在《后現(xiàn)代課程觀》中提出：課程不再被視為固定的、先驗的“跑道”，而成為達(dá)成個人轉(zhuǎn)變的通道。[1]很顯然，從“跑道”到“通道”，強調(diào)了課程的“過程”意義，也就是“更為強調(diào)跑步的過程和許多人一起跑步所形成的模式”，這種意義上的課程，是體驗的、動態(tài)的、生成的、實踐的，甚至還帶有很強的個別化色彩，因為它更加看重“學(xué)生在這個澄清的世界里任性奔跑和吶喊，甚至可以享受理性的沖動和大膽的‘越軌’所帶來的無限的愜意和快樂”。

彰顯課程的“過程”意義，就需要創(chuàng)建動態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生在“看得見、摸得著、感覺得到”的“學(xué)習(xí)之旅”中獲得知識，發(fā)展能力，培育素養(yǎng)，生成智慧。

以小學(xué)五年級“分?jǐn)?shù)的意義”學(xué)習(xí)為例。小學(xué)中年級時，學(xué)生開始初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，所謂“初步認(rèn)識”，就是能結(jié)合具體的圖示、情境，知道把“一個東西”（如一個圖形、一個物體、一個計量單位等）或“一些東西”（如6只兔子、2個西瓜等）平均分成若干份后，這樣的1份或幾份可以用分?jǐn)?shù)來表示。這實際上是可以看成對“分?jǐn)?shù)的意義”的一種具體的、直觀的、樸素的理解。到了五年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”，就是能跳出具體的情境，從普遍意義的角度概括性地用一句話把所有分?jǐn)?shù)表示的意思都說清楚（注：大多數(shù)教材里給出的定義是——把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)）。因此，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”，重要的是要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體出發(fā)，經(jīng)由抽象概括，抵達(dá)一般的過程。這一過程，是數(shù)學(xué)知識從簡單到發(fā)展、再到完善的過程，也是人們由淺入深、由表及里地認(rèn)識事物的一般過程。

如何來開展這樣的過程教學(xué)呢？可以分五步走：

第一步：回到“具體”。利用三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生用自己的方式把某一個分?jǐn)?shù)（比如“”）的意思表示出來。

第二步：初次“概括”。學(xué)生展示多種表示方式（如：一個長方形的、一根線段的、一塊地的、6只兔子的）后，尋找這幾個所表示意義的相同點（都“平均分成3份，表示1份”）和不同點（平均分的對象不一樣），再嘗試用一句話把所有的的意思都包含進(jìn)去。由此引出：（1）為了表述的方便，所有被平均分的對象需要有一個共同的說法，這個說法就叫作單位“1”；（2）所有的的意義可以用一句話來概括，那就是：把單位“1”平均分成3份，表示這樣的1份。

第三步：逐步“擴(kuò)展”。聯(lián)系的意義表述，的意義怎么概括？的意義怎么概括？由此引出：分母和分子不同，平均分的份數(shù)（分母）和表示的份數(shù)（分子）也不同，可以用“平均分成若干份”“這樣的1份或幾份”來概括。第四步：高度“抽象”。嘗試用一句話把所有分?jǐn)?shù)的意義都包含進(jìn)去，這句話就是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。第五步：擴(kuò)展應(yīng)用。應(yīng)用分?jǐn)?shù)的意義，解釋“四（1）班有的同學(xué)會打乒乓球”“一節(jié)課的時間是小時”等具體語境中的分?jǐn)?shù)含義，體會要說清楚一個分?jǐn)?shù)的意義，只要說清楚“單位‘1’”“平均分的份數(shù)”“表示的份數(shù)”這三個要素。

上述學(xué)習(xí)過程，層層推進(jìn)，步步深入，從特殊到一般，再從一般到具體，遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展和兒童認(rèn)知學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，蘊含著“抽象——推理——模型”的數(shù)學(xué)基本思想，把原本簡單的一句數(shù)學(xué)概念，演繹得風(fēng)生水起。

從這樣的角度看，關(guān)注課程的“過程”意義，最重要的是將“靜態(tài)文本”轉(zhuǎn)化為有層次、有梯度、鮮活而充滿張力的“動態(tài)實踐”，在“動態(tài)實踐”（即多爾所說的“跑步過程”）中，認(rèn)識、思考、疑惑、發(fā)現(xiàn)、驚喜、贊嘆……連同原有的文本，甚至教師的語言、體態(tài)，學(xué)習(xí)的場景、氛圍等，都有了“課程”的價值，成了“課程”不可分割的一部分。

毫無疑問，這是對課程意義的一種拓展，也是對學(xué)習(xí)意義的一次升華。

二、延展學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”過程，創(chuàng)建意義生成的數(shù)學(xué)課堂

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成對教師授予知識的被動接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)的活動，這樣的活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，即“再創(chuàng)造”過程。鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》里提出：學(xué)生學(xué)習(xí)活動中的“再創(chuàng)造”的性質(zhì)，是一種特殊的“意義賦予”，也就是使新的學(xué)習(xí)材料在學(xué)習(xí)者頭腦中獲得特定的意義，新的學(xué)習(xí)材料與主體已有的知識和經(jīng)驗之間建立實質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系。[2]因此，衡量數(shù)學(xué)課堂和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要尺度，就是“再創(chuàng)造”過程中生成學(xué)習(xí)的意義。課堂是一個立體而豐富的多面體，承載著多重意義，尋找、發(fā)現(xiàn)并努力彰顯各種意義，不只是課堂教學(xué)的技術(shù)問題，更是教育藝術(shù)、教育智慧的體現(xiàn)。

以二年級學(xué)習(xí)“厘米”為例?！袄迕住笔窃谛W(xué)階段接觸到的第一個長度單位，從知識層面來看，知道1厘米有多長，能用厘米測量長度，這些要求都不難。然而，從學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”的視角來組織教學(xué)，那就需要在時間、空間、研究主題等方面延伸開來，“再創(chuàng)造”的過程越舒展，學(xué)習(xí)體驗就會越強烈，認(rèn)識就會越深刻。我們不妨做這樣的設(shè)計：

第一步：品故事，生問題。上課開始，老師說：“很久、很久以前，數(shù)學(xué)還沒有今天這樣發(fā)達(dá)，人們在生活中經(jīng)常會遇到一些問題”，然后呈現(xiàn)幾幅漫畫，大意是阿福要做新衣服，老裁縫在他身上用手比畫，告訴小裁縫：“身長3拃”，小裁縫記下“身長3拃”，回到家用自己小手比畫著：1拃、2拃、3拃，然后開始制作。等衣服套上身后，發(fā)現(xiàn)做小了，老裁縫用手一比畫，就責(zé)怪起小裁縫：“告訴你身長3拃，怎么做成2拃呢？”小裁縫一臉茫然。到底出現(xiàn)什么問題了呢？

第二步：定標(biāo)準(zhǔn)，化疑難。學(xué)生經(jīng)過討論，明白了：因為測量的標(biāo)準(zhǔn)不一，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了偏差。于是，統(tǒng)一計量長度的標(biāo)準(zhǔn)就成了必須解決的問題，就這樣，“厘米”被創(chuàng)造出來了。用“厘米”這個標(biāo)準(zhǔn)去測量長度，就能得出統(tǒng)一的結(jié)果，老裁縫、小裁縫碰到的問題得到了解決。

第三步：遇麻煩，又生問。有了標(biāo)準(zhǔn)的“1厘米”，測量出現(xiàn)偏差的問題基本解決了，但是，1厘米長的小棒畢竟很短，用它一次又一次的測量稍長距離顯得有些麻煩了，于是，新問題又冒出來了——能不能造出功能全面又便捷實用的測量工具呢？

第四步：造尺子，巧化解。人類發(fā)揮聰明才智，把標(biāo)準(zhǔn)的“1厘米”一個接著一個連起來，就造出一把長長的厘米尺。有了這把尺，從0端開始，一次就能量出稍長的距離是多少厘米；不從0開始（比如0刻度沒有了的“斷尺”），也可以測量，直接測量和巧妙測量中蘊含著不同的思維水平。

第五步：再追問，延思考。有了“厘米”這個長度單位，是不是就能很方便、很恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)所有的長度呢？人們還創(chuàng)造出了哪些新的長度單位？創(chuàng)造過程中又遇到什么新問題？遇到問題后又想到什么好辦法解決了一個個問題呢？這些疑問，把課內(nèi)學(xué)習(xí)向課后延伸。

上述學(xué)習(xí)過程，不僅將長度單位的由來和發(fā)展巧妙地嵌入其中，更將數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類探索真理的“實踐邏輯”充分表達(dá)，即：遇到問題，尋找辦法，辦法有了，原有的問題解決了，但是新問題又來了，于是，在不斷的遇到問題、解決問題中，數(shù)學(xué)變得越來越豐富，越來越高級，人也變得越來越聰明。這樣的課堂，學(xué)習(xí)的意義空間被充分打開。

誠然，課堂中可以生成的意義有很多，當(dāng)你把學(xué)習(xí)看成一種生活時，課堂就有了生活意義，同伴交往、師生互動、共生發(fā)展等，都是這層意義很重要的元素；當(dāng)你把數(shù)學(xué)看成是人類文明成果時，課堂就有了文化意義，人文思想、科學(xué)精神、藝術(shù)表現(xiàn)、美學(xué)價值等，成為這層意義需要關(guān)注的重點；當(dāng)你把學(xué)習(xí)當(dāng)作“做研究”時，方法的科學(xué)、路徑的選擇、思維的啟迪等就成了課堂的關(guān)鍵……當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要有意義，還要有意思，既要“有營養(yǎng)”，還要“好吃”。小威廉姆E.多爾說：“學(xué)習(xí)成為意義創(chuàng)造過程之中的探險?！盵3]用鮮活生動的學(xué)習(xí)形式來觸摸意蘊深厚的數(shù)學(xué)，把“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”，那是十分美好而奇妙的課堂境界。

三、追求“過程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一，創(chuàng)建“集智成慧”的數(shù)學(xué)課堂

很長一段時間以來，人們總是采用二元思維來看待“過程”與“結(jié)果”，于是，就有了“重結(jié)果，輕過程”“重過程，輕結(jié)果”“既要重過程，又要重結(jié)果”等說法。這里的“結(jié)果”，通常是指確定的結(jié)論、最終的答案、預(yù)期的目標(biāo)，諸如概念、法則、公式、定理、規(guī)律等都可以看成是“確定的結(jié)論”；3+4=7，“7”就是“3+4”運算的結(jié)果。如果用動態(tài)的、發(fā)展的、聯(lián)系的眼光來看，二者更應(yīng)該是統(tǒng)一的、整體的，即：“過程”孕育著“結(jié)果”，“結(jié)果”就在“過程”中，“過程”就是一種“結(jié)果”，“結(jié)果”也是一種“過程”。

如何理解“過程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一性呢？比如，學(xué)習(xí)三角形的面積計算時，學(xué)生都會記住三角形面積計算的公式：三角形的面積=底×高÷2或S=ah÷2。當(dāng)他們運用這個公式計算時，似乎都將其看成一個靜態(tài)的、固定的形式，而不需要去想其中的算理了。事實上，如果將三角形面積計算看成一個“過程”，那三角形面積計算就有了多樣化的解釋：（1）S=a（h÷2），即先把三角形轉(zhuǎn)化成“等底半高”的平行四邊形，再算這個平行四邊形的面積；（2）S=（a÷2）h，即先三角形轉(zhuǎn)化成“半底等高”的平行四邊形，再算這個平行四邊形的面積；（3）S=ah÷2，每個三角形都可以看成是某一個“等底等高”的平行四邊形的一半，因此，“底×高”就是算三角形背后那個“隱身”的平行四邊形面積，再“÷2”就得到平行四邊形一半，即三角形面積了（如圖1）。

圖1

由此可以看出，“過程”與“結(jié)果”不僅具有統(tǒng)一性，甚至還具有同一性。當(dāng)我們“用動態(tài)、發(fā)展、變化的眼光來把握數(shù)學(xué)知識、原理、方法等，定義它們，解釋它們，這樣，靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識就會變得豐富、生動、飽滿起來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也隨之變得鮮活，充滿張力和魔力！”[4]

不僅如此，追求“過程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一性，更為重要的是，我們的課堂要盡可能多地讓學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、自主性學(xué)習(xí)、合作性學(xué)習(xí)，在做中學(xué)，學(xué)中思，思中悟。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是向未知世界的“進(jìn)發(fā)”，這樣的過程越是曲折、多變，經(jīng)歷越是豐富，獲得的體驗就會越深刻，學(xué)習(xí)活動也就越充滿玄妙和令人向往。當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常被“投放到不可預(yù)測的情境中解決問題”，成為一種未來生活“模擬”時，這樣的課堂就具有了鮮明的“集智成慧”價值導(dǎo)向，不失為一種很好的課堂教學(xué)改革方向。

參考文獻(xiàn)：

[1][3]多爾小威廉姆E.后現(xiàn)代課程觀[M].王紅宇，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2000：4，6.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001：361-363．

[4]袁紅.賦予“平均分”以“過程”意義——以蘇教版二上《認(rèn)識平均數(shù)》教學(xué)片斷為例[J].江蘇教育，2016（57）：57-58.