沈明瑒 于倩 陶元紅

摘要：由于狄利克雷積分不能通過求出原函數(shù)的方法直接得出積分結(jié)果，本文探討前人運(yùn)用其他學(xué)科知識的方法來快速巧妙地求解這個積分問題的方法，這些方法包括復(fù)變函數(shù)、概率論、拉普拉斯變換、數(shù)理方程、熱學(xué)、脈沖函數(shù)中的方法。

關(guān)鍵詞：狄利克雷積分；復(fù)變函數(shù)；拉普拉斯變換；傅氏積分

狄利克雷積分 是重要的數(shù)學(xué)積分，也是物理

學(xué)中有阻尼自由振動方程中常常用到的一個積分。本文將綜合整理已有文獻(xiàn)，詳細(xì)介紹7種運(yùn)用其他學(xué)科知識求解積分的方法。第一部分為運(yùn)用復(fù)變函數(shù)中留數(shù)的相關(guān)知識求解積分；第二部分為運(yùn)用其他數(shù)學(xué)學(xué)科包括概率論、拉普拉斯變換和傅氏積分的方法求解問題；第三部分為運(yùn)用有關(guān)熱傳導(dǎo)和脈沖函數(shù)的物理知識求解問題。

一、圍道積分法

求解狄利克雷積分最常用也是最簡單的就是復(fù)變函數(shù)中的圍道積分法，這種方法在鐘玉泉著的《復(fù)變函數(shù)論》[1]和余家榮著的《復(fù)變函數(shù)》[2]中均提及。1.1中的圍道積分法是最為普通的解法，1.2是劉光輝[3]研究的更為特殊的有關(guān)留數(shù)的圍道積分法。

1.1大圓弧定理

引理1[1]：（1）設(shè)函數(shù) 沿半圓周 上連續(xù)，且 在 上一致成立，則 。

（2）設(shè) 沿圓弧 上連續(xù)，且 于 上一致成立，則有 。

狄利克雷積分的計(jì)算分析：

由于 ，由柯西積分定理有 ，或?qū)懗?，由引理1知 ， ，令 ， ，則 ，所以 。

1.2留數(shù)定理

引理2當(dāng)被積函數(shù) 是 的有理函數(shù)，且分母次數(shù)至少比分子次數(shù)高一次， 在實(shí)軸上除有限多個一級極點(diǎn) 處處解析，在上半平面 內(nèi)除有限多個極點(diǎn) 外處處解析，則積分值 。

狄利克雷積分的計(jì)算分析：由引理2可知，計(jì)算 的虛部的 即可。

二、其他數(shù)學(xué)學(xué)科的方法

除了上文所述復(fù)變函數(shù)的方法外，我們還可以運(yùn)用其他數(shù)學(xué)學(xué)科的知識。例如，2.1中所引用的概率論中分布函數(shù)與特征函數(shù)的有關(guān)定理，相關(guān)知識在王梓坤的《概率論基礎(chǔ)及應(yīng)用》中已有涉及，李西和又在該基礎(chǔ)上延伸，得到了詳細(xì)的求解積分的方法。2.2也為李西和在文章中提到的運(yùn)用簡單的拉普拉斯變換求解問題。2.3為劉光輝在姜尚禮《數(shù)理方程講義》的基礎(chǔ)上研究的滿足狄氏條件的傅氏積分法。

2.1分布函數(shù)與特征函數(shù)關(guān)系

引理3若 ， ，則廣義二重積分 存在，且 。

狄利克雷積分的計(jì)算分析：設(shè) ， ，所以 ，而 ，對內(nèi)層函數(shù)進(jìn)行兩次分部積分：

，故 ，所以 。

2.2拉普拉斯方程

，即 ，當(dāng) 時，即有 ，則 。

2.3傅氏積分

引理4若 在 上滿足條件：（1） 在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件，即 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)，只有有限個極值點(diǎn)；（2）在無限區(qū)間 上絕對可積，即 ，則有 。

狄利克雷積分的計(jì)算分析：令 ，則 的傅氏積分為 ，可知 ， 時，有 。

三、結(jié)論

盡管運(yùn)用基本的分析學(xué)思想是可以解決某些函數(shù)積分，但相比之下，復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識對于解決 就格外簡單，其他方法對于解決這個問題也有著出人意料的巧妙之處。所以，運(yùn)用其他學(xué)科領(lǐng)域的知識可以對解決數(shù)學(xué)問題有事半功倍的效果，這說明在學(xué)習(xí)中我們一定要注重學(xué)科的交叉和知識的融會貫通。希望這篇綜合前人方法文章可以拋磚引玉，幫助大家解決積分上的問題，得到更多應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)（第四版）高等教育出版社，2012.

[2]余家榮.復(fù)變函數(shù)（第四版）高等教育出版社，2007.

第一作者簡介：沈明瑒（1997--），女，本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。

通訊作者簡介：陶元紅（1973--），女，博士，教授，主要從事泛函分析及應(yīng)用方面的研究。