●

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199) (伍隍中學(xué)，四川 資陽(yáng) 641300)

2017年11月27日，首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師王尚志老師、北京理工大學(xué)附屬中學(xué)關(guān)健老師應(yīng)邀到四川師范大學(xué)附屬中學(xué)(高中部)參加“核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)研修活動(dòng)”．研修活動(dòng)之一為“任意角的三角函數(shù)”同課異構(gòu)，分別由四川師范大學(xué)附屬中學(xué)的李興福老師、北京理工大學(xué)附屬中學(xué)的關(guān)健老師執(zhí)教．下文擬從這兩節(jié)課中提出兩個(gè)引發(fā)筆者深思的問(wèn)題．

1 課堂實(shí)錄

1.1 課堂實(shí)錄1

四川師范大學(xué)附屬中學(xué)使用的教材是人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》，其中“任意角三角函數(shù)”是利用單位圓定義的，簡(jiǎn)稱“單位圓定義法”．李老師的教學(xué)流程如下所示：

在例題和練習(xí)這一環(huán)節(jié)中，李老師請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考并解答例1，課堂實(shí)錄呈現(xiàn)如下：

例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值．

師：好，稍等，你是如何求出角α的正弦值的？

生1：根據(jù)點(diǎn)P0的坐標(biāo)(-3,-4)算出單位圓半徑r=5．

師：?jiǎn)挝粓A的半徑能不能等于5？

生(略帶笑意并大聲回答)：不能．

師(追問(wèn))：那單位圓的半徑為多少？

生(齊答)：?jiǎn)挝粓A的半徑為1．

(此時(shí)下課鈴聲響起，李老師請(qǐng)另一位學(xué)生對(duì)此題進(jìn)行補(bǔ)充.)

圖1

(李老師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)，并介紹根據(jù)相似可用平面幾何的知識(shí)解答此題．最后伴隨著一個(gè)問(wèn)題的提出，結(jié)束本節(jié)課.)

師：以后遇到點(diǎn)P不在單位圓上的問(wèn)題，是否都要對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？大家能不能將其推廣到一般情況，即對(duì)于終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)，如何來(lái)表示它的正弦、余弦和正切？

1.2 課堂實(shí)錄2

關(guān)健老師通過(guò)4個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題推動(dòng)教學(xué)．教學(xué)流程如下所示：

圖2 圖3

2 引發(fā)思考

根據(jù)以上課堂實(shí)錄，引發(fā)筆者提出如下兩個(gè)思考：

1)單位圓的半徑是否為1？

人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》中單位圓的定義為：在直角坐標(biāo)系中，稱以原點(diǎn)為圓心、以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓[1]．

何謂單位長(zhǎng)度，百度百科解釋為：一個(gè)單位的長(zhǎng)度．單位長(zhǎng)度就是可供參考的標(biāo)準(zhǔn)，它沒(méi)有固定值，依設(shè)定而變動(dòng)，不是實(shí)際的長(zhǎng)度計(jì)量單位．但是根據(jù)教材第12頁(yè)圖(如圖3)中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，可以推導(dǎo)教材在此處默認(rèn)單位圓的半徑為1，即默認(rèn)單位長(zhǎng)度為1．

因此教材在靜態(tài)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn)——既要考慮到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的有限性，又要保證知識(shí)的可發(fā)展性，如單位圓對(duì)后繼學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)、復(fù)變函數(shù)論等的影響．

2)怎樣將“單位圓定義法”與“終邊定義法”有機(jī)融合？

人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》中的例1有讓學(xué)生研究“終邊定義法”的意圖，李老師在認(rèn)真鉆研并仔細(xì)揣摩教材編寫(xiě)意圖后，使例1較好地完成了它的使命．只是學(xué)生在解答例1的過(guò)程中，出現(xiàn)了“不按常理出牌”的“小插曲”．

當(dāng)然欲將兩種定義法有機(jī)融合，并不完全是因?yàn)椤皢挝粓A定義法”不利于解題，而是因?yàn)閮晌唤處煼謩e用“單位圓定義法”和“終邊定義法”給出“任意角三角函數(shù)”的定義，致使筆者大膽猜想：為何不將這兩種定義法有機(jī)融合呢？

在完成用直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)后，只需要再適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生完成從銳角到任意角的突破，實(shí)現(xiàn)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)(即“終邊定義法”)已經(jīng)呼之欲出，最后再根據(jù)相似，引導(dǎo)學(xué)生取適當(dāng)點(diǎn)的位置，簡(jiǎn)化三角函數(shù)定義中的表達(dá)式．自然合理地實(shí)現(xiàn)從“終邊定義法”到“單位圓定義法”的過(guò)渡，這樣做既不會(huì)削弱用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，又可以繞過(guò)通過(guò)例1(實(shí)際教學(xué)中學(xué)生往往感覺(jué)吃力的例題)來(lái)引入“終邊定義法”的圈子．

3 教學(xué)實(shí)施建議

為了實(shí)現(xiàn)“單位圓定義法”與“終邊定義法”的有機(jī)融合，筆者嘗試著調(diào)整人教A版中“任意角三角函數(shù)”的教學(xué)流程如下：

3.1 調(diào)整教學(xué)流程

人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》中定義任意角三角函數(shù)的流程如下：

筆者在認(rèn)真研讀、對(duì)比人教A版和蘇教版“任意角三角函數(shù)”的內(nèi)容后，結(jié)合2013年江蘇省中小學(xué)數(shù)學(xué)研究室、名師課堂直播活動(dòng)中的課堂視頻[2]，即揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)的陸萍老師執(zhí)教的“任意角三角函數(shù)”課例,將教學(xué)流程作出如下調(diào)整：

3.2 教學(xué)實(shí)施建議

生(眾)：α，y，r．

師：如果角α確定了，其終邊也就確定了，那這條終邊上有多少個(gè)點(diǎn)呢？

生(眾)：無(wú)數(shù)個(gè)．

師：每一個(gè)點(diǎn)Pi都有其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)(xi,yi)和到原點(diǎn)的距離ri，那sinα的值是不是也有無(wú)數(shù)個(gè)呢？

生1：等式是成立的，sinα的值只有一個(gè)．我們可以通過(guò)相似三角形來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．

圖4

師(提示)：如果在一個(gè)數(shù)集當(dāng)中對(duì)任意一個(gè)元素，在另一個(gè)數(shù)集當(dāng)中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)．這是什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？

生(眾)：函數(shù)關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生明白：角α既是一個(gè)角，又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù))．因?yàn)樵诨《戎葡?，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣才能與函數(shù)定義中的“兩個(gè)非空數(shù)集”保持一致．

生2：是的．

師：那角α的終邊表示的角有多少個(gè)？

生2：無(wú)數(shù)個(gè)．

師：怎么表示？

生2：α+2kπ,其中k∈Z．

設(shè)計(jì)意圖此處學(xué)生已出現(xiàn)從銳角過(guò)渡到任意角的認(rèn)知障礙，教師應(yīng)及時(shí)給予正確的疏導(dǎo)，通過(guò)對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的質(zhì)疑和釋疑，巧妙地將其轉(zhuǎn)化為“美麗的錯(cuò)誤”．

師：當(dāng)角α的終邊落在第二象限時(shí)，如圖2，是否也存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)圖2的直觀呈現(xiàn)，以“形”刺激，突破學(xué)生認(rèn)知圖式中銳角的局限．

生4：因?yàn)槲铱闯鏊c三角有關(guān)系，所以我們可以稱它為三角函數(shù)．

師：那更具體一點(diǎn)呢？當(dāng)α為銳角時(shí)，我們稱它為什么？

生4：銳角三角函數(shù)，如果銳角擴(kuò)展到任意角的話，我們可以稱它為任意角的三角函數(shù)．

問(wèn)題5當(dāng)α為任意角時(shí)，能否依然延用這種符號(hào)和名稱呢？

生4：可以．

生(眾)：能．

設(shè)計(jì)意圖教師低調(diào)、輕松的風(fēng)格，讓學(xué)生不會(huì)因?yàn)椴皇煜さ姆?hào)而畏縮，不會(huì)感覺(jué)好像在受數(shù)學(xué)的“威脅”．

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察上述3個(gè)等式，有什么需要注意的地方？

(此時(shí)教師鼓勵(lì)學(xué)生類(lèi)比、聯(lián)想銳角三角函數(shù)，嘗試主動(dòng)建構(gòu)任意角三角函數(shù)的概念.)

以上是借鑒汲取文獻(xiàn)[2]中陸萍老師的課堂實(shí)錄，實(shí)現(xiàn)了“終邊定義法”下的任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)．下面進(jìn)行“單位圓定義法”與“終邊定義法”的無(wú)縫連接．

問(wèn)題6能否通過(guò)取適當(dāng)點(diǎn)P，將任意角三角函數(shù)定義中的表達(dá)式簡(jiǎn)化？

生6：如果r=1，此時(shí)sinα=y，cosα=x，即角α的正弦值等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，角α的余弦值等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取r=1(即到原點(diǎn)的距離為1)時(shí)，能簡(jiǎn)化表達(dá)式，體現(xiàn)簡(jiǎn)約思想，并為引出單位圓奠定基礎(chǔ)．

定義單位圓在直角坐標(biāo)系中，稱以原點(diǎn)O為圓心、以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．

利用單位圓可定義任意角的三角函數(shù)如下：

任意角的三角函數(shù)定義[3]如圖3，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么

1)y叫做α的正弦，記作y=sinα，即sinα=y；

2)x叫做α的余弦，記作x=cosα，即cosα=x；

設(shè)計(jì)意圖采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來(lái)度量角，這時(shí)角度和半徑長(zhǎng)度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)(弧度數(shù))為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(也是實(shí)數(shù))為函數(shù)值的函數(shù)[4]．需要特別指出的是，此定義完善了人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》中任意角三角函數(shù)定義的兩個(gè)小瑕疵，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3]．

4 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合來(lái)自四川、北京、江蘇3位名師具有代表性的3節(jié)“任意角的三角函數(shù)”課堂教學(xué)實(shí)錄，提出將兩種定義方法有機(jī)融合的教學(xué)實(shí)施建議，使其更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，有利于學(xué)生建構(gòu)其知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，從而真正理解概念的本質(zhì)．

數(shù)學(xué)教學(xué)需要問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)，數(shù)學(xué)思維需要問(wèn)題來(lái)發(fā)動(dòng)，數(shù)學(xué)靈感需要問(wèn)題來(lái)觸動(dòng)[5]．因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)具有邏輯性、生成性、層次性的問(wèn)題串，是學(xué)生享受數(shù)學(xué)樂(lè)趣的切入點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題有了邏輯性，這些問(wèn)題才是合理的、自然的，學(xué)生才能效仿、嘗試著提出新的問(wèn)題，并且愿意去解決這些問(wèn)題；數(shù)學(xué)問(wèn)題有了生成性，學(xué)生在一個(gè)初始問(wèn)題的引導(dǎo)下，才會(huì)順著自然的思路、邏輯的框架，提出一系列問(wèn)題；數(shù)學(xué)問(wèn)題有了層次性，學(xué)生在不同層級(jí)問(wèn)題間的跨級(jí)和交換，才會(huì)實(shí)現(xiàn)從具體的操作向數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念之間的跨越．這樣的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生才擁有了參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的主動(dòng)權(quán)，才擁有了“吾思故吾在”的感悟，才感受到自己最直接的價(jià)值，感受到生命，感受到快樂(lè)．

參考文獻(xiàn)

[1] 劉紹學(xué)，錢(qián)珮玲，章建躍，等．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修4)(A版)[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2] 陸萍．高中數(shù)學(xué)名師課堂：任意角的三角函數(shù)[EB/OL]．2017-12-27．https://www.ixigua.com/i6495641726386962957/?utm_source=toutiao&utm_medium=feed_stream#mid=71675369193．

[3] 王佩，趙思林．對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)問(wèn)題的商榷[J]．教學(xué)與管理:中學(xué)版，2018(2)：42-44．

[4] 章建躍．為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007，46(1)：15-18．

[5] 王佩，趙思林．基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——以“任意角的三角函數(shù)”為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017(10)：17-20．