陶躍躍

摘要

本文研究了一類具有異步控制器的離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性及 2增益性能.通過引入隱馬爾可夫模型（HHM）來描述所設(shè)計(jì)的控制器和原始系統(tǒng)之間出現(xiàn)的異步現(xiàn)象.利用線性矩陣不等式（LMI）方法分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和 2增益性能.然后提出了一個(gè)充分條件使得閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定，并使得從擾動(dòng)到系統(tǒng)輸出的 2增益達(dá)到最小.同時(shí)，通過求解給定條件來設(shè)計(jì)一個(gè)由線性狀態(tài)反饋和扇形有界非線性輸出反饋組成的異步控制器.最后，給出了一個(gè)數(shù)值仿真例子來驗(yàn)證所提方法的有效性.

關(guān)鍵詞 馬爾可夫跳變系統(tǒng);Lure系統(tǒng);e2增益;隨機(jī)穩(wěn)定性;異步控制器

中圖分類號(hào)? TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼? A

0 引言

作為一類重要的隨機(jī)切換系統(tǒng)，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)（MJSs）因其對(duì)有參數(shù)或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)突然變化的系統(tǒng)建模中的強(qiáng)大能力而備受關(guān)注，例如，環(huán)境干擾、執(zhí)行器故障和子系統(tǒng)中的互連變化等.在過去的幾十年中，大量用于穩(wěn)定性分析和控制器/濾波器設(shè)計(jì)的工作已經(jīng)被發(fā)表，如文獻(xiàn)[1-6].

在大多數(shù)現(xiàn)有工作中，通常假設(shè)控制器/濾波器能夠獲得全部的系統(tǒng)模態(tài)信息，因此控制器/濾波器模態(tài)可以與系統(tǒng)模態(tài)同步運(yùn)行.不幸的是，在實(shí)際應(yīng)用中，由于一些意想不到的因素，例如時(shí)間延遲、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的丟包及量化等，上述理想假設(shè)很難被滿足.為了克服這個(gè)嚴(yán)格的限制，學(xué)者們提出了兩種研究方法，分別被稱為模態(tài)非依賴方法和異步方法.在模態(tài)非依賴方法[6-7] 中，控制器的模態(tài)是與系統(tǒng)模態(tài)相互獨(dú)立的，也就是說，系統(tǒng)模態(tài)不會(huì)影響到控制器的模態(tài).但是這樣也使得系統(tǒng)模態(tài)信息未被有效利用，可能會(huì)導(dǎo)致一些保守性.因此，利用異步方法來研究馬爾可夫跳變系統(tǒng)的控制/濾波問題在近幾年得到了更多的關(guān)注.文獻(xiàn)[8]針對(duì)一類具有隨機(jī)出現(xiàn)傳感器非線性的離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，使用一個(gè)分段齊次馬爾可夫鏈設(shè)計(jì)了一個(gè)異步 2- ∞濾波器，使得系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[9]又采用一種新的隱馬爾可夫模型設(shè)計(jì)了一個(gè)異步控制器，來確保系統(tǒng)的被動(dòng)性能;同時(shí)，文中提出的方法覆蓋了同步的情況.近年來，借助這種隱馬爾可夫模型，許多學(xué)者針對(duì)異步控制器/濾波器設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了大量的研究.例如，文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一個(gè)針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的異步濾波器.文獻(xiàn)[11]和[12]分別對(duì)離散、連續(xù)馬爾可夫跳變系統(tǒng)的異步濾波器設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[13]則針對(duì)一類系統(tǒng)信息部分已知的離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)異步控制器，并保證系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的.

非線性是一種在實(shí)際控制系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象.在眾多非線性系統(tǒng)模型中，Lure系統(tǒng)[14] 在近年來受到了許多關(guān)注.該系統(tǒng)由一個(gè)線性部分和一個(gè)扇形有界的非線性組成.針對(duì)Lure系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器/濾波器設(shè)計(jì)問題，學(xué)者們已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究.文獻(xiàn)[15]和[16]分別在離散時(shí)域和連續(xù)時(shí)域討論了具有飽和和扇形有界的非線性Lure系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問題.他們采用了一種由線性狀態(tài)反饋和扇形有界的非線性輸出反饋組成的控制器，大大提高了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的靈活性，同時(shí)降低了結(jié)論的保守性，這一控制器結(jié)構(gòu)被其他研究者大量采用.文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類系統(tǒng)模態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣部分已知且具有控制器飽和的離散時(shí)域非線性馬爾可夫跳變系統(tǒng)，采用隨機(jī)二次型李雅普諾夫泛函研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性和 2增益問題.隨后，文獻(xiàn)[18]采用了一種新型的李雅普諾夫泛函，即Lure型李雅普諾夫泛函，該泛函包含了文獻(xiàn)[17]中的隨機(jī)二次型部分，同時(shí)添加了隨機(jī)扇形有界的非線性部分，使得所得結(jié)果的保守性更低.文獻(xiàn)[19]采用了隨機(jī)Lure型李雅普諾夫泛函研究了離散系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問題.迄今為止，離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的異步控制器設(shè)計(jì)問題仍然未見相關(guān)報(bào)道，這促使我們進(jìn)行現(xiàn)在的工作.

本文研究了一類具有異步控制器的離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性及 2增益最優(yōu)化問題.本文的主要貢獻(xiàn)如下：1）根據(jù)隱馬爾可夫模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)包含線性狀態(tài)反饋和扇形有界的非線性輸出反饋的控制器;2）給出了一個(gè)LMI形式的且使得系統(tǒng)具有最小 2增益性能的充分條件.本文以下面的方式組織：第一部分介紹了系統(tǒng)模型，并給出了一些需要的預(yù)備知識(shí);第二部分首先分析了待分析系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問題，然后設(shè)計(jì)了一個(gè)控制器來確保系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性且使得系統(tǒng)具有最小 2增益;第三部分提供了一個(gè)數(shù)值仿真例子來闡述本文所提方法的有效性;第四部分為總結(jié).

1 預(yù)備知識(shí)

圖2給出了一個(gè)可能的系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)時(shí)間序列.本文選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)為 x ?0= 2，-2.5? ?T ，外界擾動(dòng)假定為 w ?k= sin （k）×0.85 k.由圖3可以看出，當(dāng)系統(tǒng)未采用控制器時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.但是將設(shè)計(jì)的控制器施加到系統(tǒng)中時(shí)，可以得到如圖4所示的系統(tǒng)狀態(tài)曲線以及圖5所示的系統(tǒng)輸入曲線.通過對(duì)比圖3及圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，所采用的控制器可以使得系統(tǒng)從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定的系統(tǒng)，說明本文方法是正確且有效的.

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種由線性狀態(tài)反饋及滿足扇形有界的非線性輸出反饋組成的異步控制器，研究了一類離散馬爾可夫跳變Lure系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性及 2增益問題.控制器模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)之間的異步由一個(gè)隱馬爾可夫模型描述.在線性矩陣不等式及李雅普諾夫泛函方法的幫助下，我們分別在系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性及 2增益問題上得到了兩個(gè)定理.文中給出了一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證提出方法的有效性.但是，值得注意的是，在未來仍然有許多有意義的工作可以討論.例如，對(duì)于含有異步控制器的馬爾可夫跳變Lure系統(tǒng)，由于系統(tǒng)模態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣 Π 及控制器條件模態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣 Φ 的信息很難全部得到，因此研究含有不確定元素的情況是非常有意義的.另一方面，如果采用文獻(xiàn)[19]介紹的新型李雅普諾夫泛函或許可以得到一個(gè)更加不保守的穩(wěn)定性條件.

參考文獻(xiàn)

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