白宇明 陳增治 單麒赫 李鐵山

摘要 本文研究了基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.考慮到采樣過(guò)程存在延遲現(xiàn)象，引用動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間的方法，構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）.此方法將固定時(shí)滯區(qū)間擴(kuò)展成為動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間，不僅放寬了時(shí)滯區(qū)間上界和下界的限制，還能同時(shí)獲得基于線性矩陣不等式（LMI）的更小保守性的相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù).最終可以獲得一個(gè)更寬松的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分析基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后，舉例說(shuō)明了所提出方法的有效性.

關(guān)鍵詞

數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng);無(wú)人船;時(shí)變時(shí)滯;動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法

中圖分類(lèi)號(hào)? TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼? A

0 引言

近年來(lái)，多無(wú)人船系統(tǒng)作為一類(lèi)分布式復(fù)雜系統(tǒng)，在環(huán)境檢測(cè)、資源勘探、科學(xué)研究等領(lǐng)域發(fā)展迅速.無(wú)人船（USV）被設(shè)計(jì)為智能運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，可以在惡劣的海洋環(huán)境中工作并完成各種任務(wù)[1-4] ，它是造船業(yè)和海洋產(chǎn)業(yè)的下一個(gè)發(fā)展方向，具有重要的科學(xué)和社會(huì)意義.因此，無(wú)人船已成為當(dāng)前研究和應(yīng)用的熱點(diǎn)之一[5-6] .在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，由于對(duì)安全性和舒適性的需求不斷增加，船舶舵減搖控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性開(kāi)始受到人們的關(guān)注[7] .所以，研究如何同時(shí)實(shí)現(xiàn)船舶的精確航向控制[8] 和舵減搖[9-10] 的性能非常重要.

在工程實(shí)際中，無(wú)人船的航向角、橫搖角和艏搖角速度等狀態(tài)都是由采樣器采樣并傳輸?shù)娇刂破鳎刂破鳂?gòu)建控制指令并將其發(fā)送到舵機(jī)（圖1描述了受數(shù)據(jù)采樣延遲影響的無(wú)人船）[11] .很明顯，由于采樣過(guò)程的存在，不可避免地產(chǎn)生延遲，這可能導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩、發(fā)散或不穩(wěn)定[12-14] .因此，在控制設(shè)計(jì)時(shí)必須充分考慮采樣引起的時(shí)滯.

目前，研究人員已經(jīng)找到了一些方法和技術(shù)來(lái)處理時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.相關(guān)的研究結(jié)果可以分為兩類(lèi)：頻域方法和時(shí)域方法.頻域方法已經(jīng)出現(xiàn)了很長(zhǎng)時(shí)間，通常通過(guò)分析時(shí)滯系統(tǒng)的特征根是否具有負(fù)實(shí)部來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.它們主要包括掃頻法、直接法、圖解法、分析法、數(shù)值計(jì)算法等[15-16] .然而，頻域方法對(duì)于處理具有時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)是不可行的.目前時(shí)滯系統(tǒng)研究的穩(wěn)定性主要集中在時(shí)域方法上， 主要方法是構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF） 并使用處理LKF導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)技術(shù)來(lái)得到相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)定理[17-19] .在時(shí)變時(shí)滯分析方法中，Park[20] 提出了具有向量交叉內(nèi)積的邊界方法;Fridman[21] 提出了模型轉(zhuǎn)換方法;將具有向量交叉內(nèi)積的邊界方法與模型轉(zhuǎn)換方法相結(jié)合，F(xiàn)ridman等[22] 得到了一系列保守性較低的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn).為了進(jìn)一步降低保守性，Wu等[23] 提出了一種自由加權(quán)矩陣方法，通過(guò)采用Newton-Leibniz公式，引入了一些自由加權(quán)矩陣.之后，Park等[24] 通過(guò)構(gòu)建新的Lyapunov函數(shù)，進(jìn)一步改進(jìn)了自由加權(quán)矩陣方法;Han等[25] 提出了離散Lyapunov函數(shù)方法，以得到更小的保守性.然而，自由加權(quán)矩陣方法和離散Lyapunov函數(shù)方法都將引入大量計(jì)算，這使得穩(wěn)定性條件變得復(fù)雜.Shao[26] 和Seuret等[27] 采用了積分不等式方法，這種方法無(wú)需引入過(guò)多的自由權(quán)矩陣參數(shù)，由此降低了計(jì)算量，但是對(duì)于分析時(shí)滯穩(wěn)定性仍存在一定的保守性.最近，Zhang等[28] 提出了動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法，此方法改變固定的時(shí)滯區(qū)間為動(dòng)態(tài)的時(shí)滯區(qū)間，并且更準(zhǔn)確地分析了LKF的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這對(duì)于獲得一個(gè)更大的允許時(shí)滯上界更為有效.

本文研究了一種具有時(shí)變時(shí)滯的基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.本文引用動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法[28] 的思想，針對(duì)所研究系統(tǒng)，獲得了基于線性矩陣不等式（LMI）的更小保守性的相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù).本方法允許有更多的能力來(lái)應(yīng)對(duì)采樣引起的延遲，這將對(duì)降低船舶設(shè)備的故障率有重要意義.

在本文中：對(duì)于矩陣 A ， A? ?T 表示其轉(zhuǎn)置; I 表示具有適當(dāng)維度的單位矩陣;對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣 A ， A > 0和 A < 0分別表示正定和負(fù)定; He （ A ）= A + A? ?T ， R? n表示n維歐氏空間.

1 無(wú)人船舵減搖數(shù)學(xué)模型介紹

船舶具有6個(gè)自由度，即橫蕩、艏搖、橫搖、縱蕩、垂蕩、縱搖.然而，在本文中，僅考慮y方向上的不對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)，它包括橫蕩、艏搖、橫搖.由牛頓定律，可以得到相關(guān)運(yùn)動(dòng)的基本方程[29-30] ：

m y ?d ?2y ?d t 2 =F y， 橫蕩，

I zz ??d ?2e ?d t 2 =N， 艏搖，

I xx ??d ?2f ?d t 2 =M， 橫搖，???? （1）

其中x，y和z表示空間固定坐標(biāo)系的軸，m y表示船舶在y方向上的有效質(zhì)量，F(xiàn) y表示y方向的力，y表示航向，e表示航向角， f表示橫搖角，I zz 和I xx 分別表示相對(duì)于z軸和x軸的慣性矩，N，M分別表示相對(duì)于z軸和x軸的力矩.

將式（1）中的方程轉(zhuǎn)化到圖2坐標(biāo)系，引入泰勒展式和拉普拉斯變換，忽略一些水動(dòng)力效應(yīng)及波浪對(duì)航向角和橫搖角的影響，最后利用拉普拉斯逆變換，可以得到以下橫蕩 艏搖子系統(tǒng)和橫搖子系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型[29-30] ：

其中， x （t）=[v（t），r（t），ψ（t），p（t），φ（t）] ?T ∈ R? n并且v（t）、r（t）、ψ（t）、p（t）和φ（t）分別表示僅由舵運(yùn)動(dòng)引起的橫蕩速度、艏搖角速度、航向角、橫搖角速度和橫搖角， δ （t）代表舵角， x ?0∈ R? n表示初始條件. A ， B 定義如下：

A =? - 1 T v? 0 0 0 0 K vr ?T r? - 1 T r? 0 0 00 1 0 0 0ω 2 n K vp ?0 0 -2ζω n -ω 2 n0 0 0 1 0? ，

B =? K dv ?T v ， K dr ?T r ，0，ω 2 n K dp ，0? ?T ，

T v和T r表示傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)，ζ和ω n分別表示阻尼比和無(wú)阻尼下的固有頻率，K vr ，K vp ，K dv ，K dr 和K dp 表示給定的增益.

系統(tǒng)（2）中的橫蕩 艏搖子系統(tǒng)和橫搖子系統(tǒng)模型可用于描述無(wú)人船的相應(yīng)動(dòng)態(tài)情況.

設(shè)t k，t k+1 ，…（k=0，1，2，…）表示數(shù)據(jù)采樣器的采樣時(shí)刻.假設(shè)在時(shí)刻t k，t k+1 ，…采樣的數(shù)據(jù)成功獲得，而時(shí)刻t k和t k+1 （k=0，1，2，…）之間的數(shù)據(jù)丟失.那么，無(wú)人船的采樣過(guò)程可以如圖3所示，其中虛線表示數(shù)據(jù)丟失.

很明顯τ（t）∈[τ k，t k+1 -t k+τ k+1 ），這也可以描述為τ（t）∈[τ 1，τ 2）.在傳統(tǒng)的分析中，人們經(jīng)常直接分析時(shí)變時(shí)滯的固定區(qū)間[τ 1，τ 2），本文把固定時(shí)滯區(qū)間轉(zhuǎn)換成動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間[（1-α）τ 1+ατ（t），ατ（t）+（1-α）τ 2），其中α∈[0，1），并且定義a（t）=（1-α）τ 1+ατ（t）、b（t）=ατ（t）+（1-α）τ 2.下一節(jié)闡述了具有時(shí)變時(shí)滯的基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2 主要結(jié)果

對(duì)于給定的控制器增益 K ，設(shè) BK = A ?1，那么可以得到如下具有時(shí)變延遲的線性系統(tǒng)：

（t）= Ax （t）+ A ?1 x （t-τ（t））， t> 0，

x （t）= Φ （t）， t∈（-τ 2，0）.????? （5）

在分析時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)需要如下引理：

引理1? （ Wirtinger 積分不等式[27] ） 給定一個(gè)矩陣 M >0，對(duì)于在[a，b]→ R? n上的所有連續(xù)可微函數(shù)g，有以下不等式成立：

另一方面，應(yīng)用引理1的 Wirtinger 積分不等式來(lái)估計(jì)上式中 a（t）∫ t t-a（t） ?????T （t） Q 1? （t） d s，（τ（t）-a（t））×? ∫t-a（t） ?t-τ（t） ?????T （t） Q 2? （t） d s，（b（t） -τ（t））∫t-τ（t） ?t-b（t） ?????T （t） Q 2? （t） d s ?三項(xiàng)，由于采用了動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法，所以當(dāng)使用 Wirtinger 積分不等式的時(shí)候，所考慮的時(shí)滯區(qū)間并不是原來(lái)的固定的時(shí)滯區(qū)間，因此得到的穩(wěn)定性判據(jù)定理也不再受限于固定時(shí)滯區(qū)間所帶來(lái)的保守性.

所以，如果式（6）滿(mǎn)足，那么由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，依賴(lài)采樣控制器的無(wú)人船系統(tǒng)（5）是漸進(jìn)穩(wěn)定的.由此，完成了證明.

注1?? 在無(wú)人船控制系統(tǒng)中，由于船舶的控制指令依賴(lài)于數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)的傳輸指令，所以考慮數(shù)據(jù)采樣引起的時(shí)延是影響整個(gè)無(wú)人船控制系統(tǒng)的一個(gè)重要因素.定理1運(yùn)用了動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法來(lái)分析時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法的區(qū)間可調(diào)節(jié)性，在分析中，穩(wěn)定性判據(jù)的保守性被大大降低了，這為分析無(wú)人船數(shù)據(jù)采樣在何種程度的延遲上能夠被有效控制提供了較精確的理論依據(jù).

注2?? 文獻(xiàn)[28]將動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，并得到了保守性較少的理論成果.本文簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[28]的李雅普諾夫泛函，并得到了基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定定理.由于所考慮的自由權(quán)參數(shù)個(gè)數(shù)的減少，這種在李雅普諾夫泛函設(shè)計(jì)上的簡(jiǎn)化使得動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間方法可以更高效地提高所考慮的系統(tǒng)的最大允許上界.由于運(yùn)用較少矩陣變量得到較少保守性的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理一直是時(shí)滯理論應(yīng)用的重要著眼點(diǎn)[32] ，因此，是否可以對(duì)李雅普諾夫泛函進(jìn)一步簡(jiǎn)化來(lái)得到相對(duì)較好的結(jié)果依然是一個(gè)非常值得討論的問(wèn)題.

3 仿真結(jié)果

本節(jié)給出了一個(gè)例子，選用文獻(xiàn)[26]、文獻(xiàn)[27]和本文所用方法進(jìn)行比對(duì)，最終結(jié)果表明本文采用的方法比前兩者提出的方法的保守性更小.

例1?? 對(duì)于式（2）中的系統(tǒng)矩陣 A，B ，選擇文獻(xiàn)[11]所用參數(shù)：

U=7.8 ?m/s ， T v=1.8/U， T r=2/U，

K dr =-0.003 6U， K dp =-0.002 2U 2，

K dv =0.06U， K vp =0.16U，

K vr =-0.58 ?m/s ， ω n=2.2 ?rad/s ，

ζ=0.58+0.67U，

K =[0.076 3 0.238 5 0.537 4 -0.019 8 0.396 3].

因?yàn)棣樱╰）=t-t k，所以 （t）=1，那么，對(duì)于給定的時(shí)滯下界τ 1，使得系統(tǒng)可以漸近穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界τ 2，如表1所示.分別選用文獻(xiàn)[26]、文獻(xiàn)[27]和本文所用方法進(jìn)行仿真，由表1可以明顯看出，本文的方法可以得到更大的時(shí)滯上界.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了具有時(shí)變時(shí)滯的基于數(shù)據(jù)采樣的無(wú)人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性.采用動(dòng)態(tài)時(shí)滯區(qū)間????? 表1 當(dāng) ?（t）=1 時(shí)的時(shí)滯最大上界的方法，將固定的時(shí)滯區(qū)間擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)的時(shí)滯區(qū)間，并且采用了Wirtinger積分不等式和反凸組合的方法處理LKF的導(dǎo)數(shù)項(xiàng).最后，將本文所用方法與文獻(xiàn)[26]、文獻(xiàn)[27]所提方法進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文方法能夠得到保守性更小的穩(wěn)定性結(jié)果.這將允許有更多的能力來(lái)應(yīng)對(duì)采樣引起的延遲，對(duì)降低船舶設(shè)備的故障率有重要意義.

參考文獻(xiàn)

References

[ 1 ]?Manley ?J E.Unmanned surface vehicles，15 years of development[C]∥Oceans 2008.IEEE，2008：1-4

[ 2 ] Yan ?R J，Pang S，Sun H B，et al.Development and missions of unmanned surface vehicle[J].Journal of Marine Science & Application，2010，9（4）：451-457

[ 3 ] Caccia ?M，Bibuli M，Bono R，et al.Aluminum hull USV for coastal water and seafloor monitoring[C]∥Oceans 2009.IEEE，2009：1-5

[ 4 ] Zhou X Q，Ling L L，Ma J M，et al.The design and application of an unmanned surface vehicle powered by solar and wind energy[C]∥International Conference on Power Electronics Systems and Applications.IEEE，2016：1-10

[ 5 ] Liu Z X，Zhang Y M，Yuan C.Active fault tolerant control of an unmanned surface vehicle[C]∥International Conference on Control，Automation and Systems.IEEE，2015：66-71

[ 6 ] Caccia M，Bibuli M，Bono R，et al.Basic navigation，guidance and control of an unmanned surface vehicle[J].Autonomous Robots，2008，25（4）：349-365

[ 7 ] van ?Amerongen J，van der Klugt P G M，van Nauta Lemke H R.Rudder roll stabilization for ships [J].Automatica，1990，26（4）：679-690

[ 8 ] Kahveci N E，Ioannou P A.Adaptive steering control for uncertain ship dynamics and stability analysis [J].Automatica，2013，49（3）：685-697

[ 9 ] Ren R Y，Zou Z J，Wang X G.A two-time scale control law based on singular perturbations used in rudder roll stabilization of ships[J].Ocean Engineering，2014，88（88）：488-498

[10] Fossen T I.Guidance and control of ocean vehicles[M].Hoboken，NJ，USA：Wiley，1994

[11] Wang Y L，Han Q L.Network-based fault detection filter and controller coordinated design for unmanned surface vehicles in network environments[J].IEEE Transactions on Industrial Inform-atics，2016，12（5）：1753-1765

[12] Gao H，Chen T，Lam J.A new delay system approach to network-based control[J].Automatica，2008，44（1）：39-52

[13] Liu X，Marquez H J，Kumar K D，et al.Sampled-data control of networked nonlinear systems with variable delays and drops[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control，2015，25（1）：72-87

[14] Seifullaev R E，F(xiàn)radkov A L.Robust nonlinear sampled-data system analysis based on Fridmans method and sprocedure [J].International Journal of Robust and Nonlinear Control，2016，26（2）：206-217

[15] Gu ?K，Chen J，Kharitonov V L.Stability of time-delay systems[M].Birkhauser，2013

[16] Gu K，Niculescu S I.Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems[J].Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，2003，125（2）：158-165

[17] Kim J H.Delay and its time-derivative dependent robust stability of time-delayed linear systems with uncertainty[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2001，46（5）：789-792

[18] Gu ?K.A generalized discretization scheme of lyapunov functional in the stability problem of linear uncertain time-delay systems[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control，1999，9（1）：1-14

[19] Gu K.Partial solution of LMI in stability problem of time-delay systems[C]∥Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control，1999：227-231

[20] Park P G.A delay-dependent stability criteria for systems with uncertain time-invariant delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（4）：876-877

[21] Fridman ?E.Stability of lineat time-delay systems：a descriptor model transformation[C]∥Control Conference.IEEE，2015

[22] Fridman ?E，Shaked U.An improved stabilization method for linear time-delay systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47（11）：1931-1937

[23] Wu ?M，He Y，She J H，et al.Technical Communique：delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica，2004，40（8）：1435-1439

[24] Park ?P G，Ko J W.Stability and robust stability for systems with a time-varying delay[C]∥Euromicro Conference on Software Engineering and Advanced Applications.IEEE Computer Society，2013：341-348

[25] Han ?Q L，Gu K.Stability of linear systems with time-varying delay：a generalized discretized Lyapunov function approach[J].Asian Journal of Control，2001，3（3）：170-180

[26] Shao H Y.New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay[J].Automatica，2009，45（3）：744-749

[27] Seuret ?A，Gouaisbaut F.Wirtinger-based integral inequality：application to time-delay systems[J].Automatica，2013，49（9）：2860-2866

[28] Zhang ?H G，Shan Q H，Wang Z S.Stability analysis of neural networks with two delay components based on dynamic delay interval method[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2017，28（2）：259-267

[29] Park P M.Rudder roll stabilization[D].Electrical Engineering Mathematics & Computer Science，1986

[30] Wang Y L，Han Q L.Network-based heading control and rudder oscillation Reduction for unmanned surface vehicles[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2016，25（5）：1609-1620

[31] Park P G，Ko J W，Jeong C.Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J].Automatica，2011，47（1）：235-238

[32] Zhang C K，He Y，Jiang L，et al.Stability analysis for delayed neural networks considering both conservativeness and complexity[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2016，27（7）：1486-1501

Stability analysis for a sampled-data rudder roll system of

an unmanned surface vehicle with time-varying delay

BAI Yuming 1 CHEN Zengzhi 1 SHAN Qihe 1 LI Tieshan 1

1 Navigation College，Dalian Maritime University，Dalian 116026

Abstract? This paper is concerned with the stabilization of sampled-data-based unmanned surface vehicle （USV）rudder roll closed-loop control system.Considering the delay in the sampling process，we discuss the dynamic delay interval method and construct a corresponding Lyapunov-Krasovskii function （LKF）.This method extends the fixed interval to a dynamic interval，which not only relaxes the restriction of upper and lower bounds to the delay interval but also can obtain a much less conservative delay-dependent stability criterion based on linear matrix inequality （LMI）.Therefore，one can obtain a much more relaxed criterion to analyze the stability of a sampled-data-based USV rudder roll closed-loop control system.To this end，an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Key words? sampled-data system;unmanned surface vehicle （USV）;time-varying delay;dynamic delay interval method