劉夢(mèng)波，胡國平，師俊朋，周 豪

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

0 引言

時(shí)間反轉(zhuǎn)技術(shù)[1-4]是基于靜態(tài)媒質(zhì)中波動(dòng)方程的空間互易性和時(shí)間對(duì)稱性，在復(fù)雜多散射環(huán)境下，利用多徑分量進(jìn)行相干疊加，對(duì)其他雜波信號(hào)進(jìn)行非相干疊加，從而獲得良好的空-時(shí)聚集性能。目前，時(shí)間反轉(zhuǎn)技術(shù)應(yīng)用較多的領(lǐng)域?yàn)镸IMO通信系統(tǒng)。

近年來，越來越多的學(xué)者將TR技術(shù)應(yīng)用到雷達(dá)系統(tǒng)中，其中文獻(xiàn)[5-8]將TR技術(shù)應(yīng)用到雷達(dá)中，顯示其獨(dú)特的性能優(yōu)勢(shì)。相比于傳統(tǒng)的MIMO雷達(dá)[9-10]，TR MIMO雷達(dá)應(yīng)用傳輸波形到多徑的環(huán)境中，從而產(chǎn)生一種相對(duì)簡單的自適應(yīng)編碼方法[11],并且改善信道的信噪比(SNR)和提高DOA估計(jì)的速率。因此，可以改善克拉美-羅界，提高DOA估計(jì)的性能[12]。在許多的應(yīng)用場(chǎng)合中，特別是在MIMO雷達(dá)的應(yīng)用中，相干目標(biāo)的DOA估計(jì)問題都是一個(gè)重要的問題。為了克服目標(biāo)的相干問題，已經(jīng)提出了很多種方法，例如：RD-ESPRIT(reduced dimensional ESPRIT)算法[13]，F(xiàn)BSS-MUSIC(forward-backward spatial smoothing-MUSIC)算法，ESPRIT-like算法[14]和Toeplitz矩陣算法[15]。然而，之前的算法過于復(fù)雜并且應(yīng)用于低空環(huán)境時(shí)估計(jì)性能并不理想。

文中提出一種新的解相干方法，根據(jù)TR MIMO雷達(dá)接收信號(hào)模型構(gòu)造Toeplitz矩陣，利用優(yōu)化迭代的方法進(jìn)行相干目標(biāo)的DOA估計(jì)，提高了估計(jì)的精度，降低了計(jì)算復(fù)雜度。仿真結(jié)果證明了此種方法的優(yōu)越性。

1 MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

假設(shè)收發(fā)分置MIMO雷達(dá)的發(fā)射端為M個(gè)，接收端為N個(gè)，陣元間距為d(波長的一半)，陣列為垂直均勻線陣。假設(shè)空間中存在K個(gè)目標(biāo)，目標(biāo)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件，此時(shí)發(fā)射波與反射波的俯仰角近似相等設(shè)為θk(k=1，2，…，K)。則MIMO雷達(dá)接收回波時(shí)接收到的信號(hào)矩陣為：

(1)

式中:βk是目標(biāo)散射系數(shù);fk為多普勒頻移；at(θk)=[1,…,e-jπ(M-1)sinθk]T為發(fā)射波的導(dǎo)向矢量;ar(θk)=[1,… ,e-jπ(N-1)sinθk]T為反射波的導(dǎo)向矢量；s(t)=[s1(l) ,s2(l),…,sM(l)]T為M個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)矩陣，其中，l=0,…,L表示快拍數(shù)；W(t)為N個(gè)陣元接收到的噪聲矢量，設(shè)該噪聲矢量是均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲，且各陣元接收到的噪聲互不相關(guān)。

2 TR MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

根據(jù)時(shí)間反轉(zhuǎn)的原理，將式(1)中接收端信號(hào)矩陣取共軛并且時(shí)間反轉(zhuǎn)，進(jìn)行能量歸一化，再次發(fā)射出去。發(fā)射信號(hào)模型為εX*(-t)，則TR MIMO接收端的信號(hào)矩陣為：

(2)

(3)

(4)

(5)

對(duì)接收信號(hào)Y(t)進(jìn)行匹配濾波：

(6)

將信號(hào)矩陣Z(t)向量化，則Z(t)可改寫為：

(7)

式中:vec(·)是將一個(gè)矩陣向量化，“°”表示Khatri-Rao積。其中，

噪聲通過匹配濾波器的統(tǒng)計(jì)特性為：

(8)

(9)

所以式(7)可以改寫為：

(10)

3 構(gòu)造Toeplitz 矩陣

由于相干目標(biāo)使接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣的秩小于目標(biāo)數(shù)，從而使基于特征值結(jié)構(gòu)的算法不能直接做相干源的DOA估計(jì)。為了去除目標(biāo)間的相干性，根據(jù)TR MIMO接收信號(hào)模型，采用Toeplitz 矩陣重構(gòu)的方法構(gòu)造無秩虧的矩陣，達(dá)到解相干的效果。定義：

(11)

C(2M-1)×(2M-1)

其中，diag(·)表示對(duì)角矩陣。

(12)

根據(jù)式(12)，可以構(gòu)建一個(gè)Toeplitz矩陣，該矩陣可以表示為：

(13)

4 DOA估計(jì)

對(duì)式(13)進(jìn)行特征值分解，可以得到：

(14)

式中：Σs是一個(gè)對(duì)角線上元素為K個(gè)最大的特征值的對(duì)角矩陣；Σn是一個(gè)對(duì)角線上的元素為剩下的(M-K)個(gè)最小的特征值的對(duì)角矩陣；Us和Un分別是信號(hào)子空間和噪聲子空間。因?yàn)樾盘?hào)子空間與噪聲子空間是正交的關(guān)系，則：

(15)

根據(jù)Q的最小值，從而獲得DOA估計(jì)：

(16)

下面，使用一種迭代的方法來提高估計(jì)的性能：

步驟1根據(jù)式(16)得到初始值為θ0。

步驟2根據(jù)一階近似理論來遞推估計(jì)量θ(i)，根據(jù)文獻(xiàn)[16]有：

(17)

(18)

步驟3重復(fù)上述的過程，直到兩次迭代值之差小于一個(gè)門限為止：

Q(i+1)-Q(i)≤ν

(19)

式中ν=0.001Q(i)為一個(gè)合理的門限值。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)中，收發(fā)分置的MIMO雷達(dá)為垂直均勻線陣，陣元間距為發(fā)射信號(hào)波長的0.5倍，且各個(gè)陣元發(fā)射相互正交的信號(hào)。為了分析算法的統(tǒng)計(jì)性能進(jìn)行300次Monte Carlo仿真。

圖1為M=8，N=10，目標(biāo)數(shù)為3，信噪比SNR=10 dB的仿真圖。圖中，當(dāng)快拍數(shù)較高時(shí)，文中的算法比其他幾種算法有較低的計(jì)算復(fù)雜度。其中，文獻(xiàn)[17]為信號(hào)矩陣進(jìn)行降維轉(zhuǎn)化處理的算法和文中算法計(jì)算復(fù)雜度相當(dāng)，明顯優(yōu)于FBSS-MUSIC和文獻(xiàn)[14]中的ESPRIT-like算法。在快拍數(shù)較低的情況下，文獻(xiàn)[17]中的算法甚至優(yōu)于文中的算法。

圖2為使用文中算法進(jìn)行的30次DOA估計(jì)，其中陣元數(shù)M=8，N=10，目標(biāo)數(shù)為3，信噪比SNR=10 dB。從圖中可以看出，文中算法可以準(zhǔn)確地估計(jì)出相干目標(biāo)的DOA。

圖3為在不同的信噪比條件下，采用迭代算法的TR MIMO雷達(dá)與傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)和不使用迭代方法的TR MIMO雷達(dá)的均方根誤差的比較。其中，陣元數(shù)M=8，N=10，目標(biāo)數(shù)為3，快拍數(shù)為100。從中可以看出，TR MIMO雷達(dá)可以提高DOA估計(jì)的性能，具有較小的均方根誤差。使用迭代的方法可以降低均方根誤差，進(jìn)一步提高估計(jì)精度。

圖4表明在快拍數(shù)為100，目標(biāo)數(shù)為3的條件下，均方根誤差隨著發(fā)射和接收陣元的增加而不斷減小，即系統(tǒng)的DOA估計(jì)性能不斷地加強(qiáng)。

圖5為在不同信噪比條件下，4種算法的均方根誤差的比較。其中，陣元數(shù)M=8，N=10，目標(biāo)數(shù)為3，快拍數(shù)為150?？梢钥闯?，在信噪比較低的情況下，文中的算法均方根誤差明顯更低，即有更好的估計(jì)精度。

6 結(jié)論

文中介紹了一種新的TR MIMO雷達(dá)相干目標(biāo)的DOA算法。算法根據(jù)MIMO雷達(dá)接收信號(hào)模型，利用時(shí)間反轉(zhuǎn)理論，導(dǎo)出了TR MIMO雷達(dá)的接收信號(hào)模型?；趯?dǎo)出的信號(hào)模型，采用Toeplitz矩陣重構(gòu)算法，從而解決了目標(biāo)的相干問題。在角度估計(jì)時(shí)采取了基于一階近似理論的優(yōu)化迭代方法，進(jìn)一步提高了雷達(dá)DOA估計(jì)精度，同時(shí)降低了計(jì)算復(fù)雜度。仿真實(shí)驗(yàn)表明，文中提出的算法能夠克服目標(biāo)間相干性，實(shí)現(xiàn)精確的DOA估計(jì)，且算法復(fù)雜度更低。