呂曜輝 ，余德本 ，張 曉 ，韓 笑

（1.哈爾濱工程大學(xué)，哈爾濱 150001；2.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190；3.吉林大學(xué)，長春 130012）

0 引 言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)作為陣列信號處理的一個重要研究方向，在雷達[1]、聲納[2]、移動通信[3]、語音信號[4]等眾多領(lǐng)域中得到了大量的應(yīng)用。常規(guī)波束形成（Conventional Beamforming，CBF）的角度受到“瑞利限”的約束，分辨率較低，不能分辨在瑞利限以內(nèi)的目標(biāo)，無法抑制強干擾，在復(fù)雜水聲環(huán)境下算法性能下降[5]。自適應(yīng)波束形成算法在導(dǎo)向向量已知且快拍數(shù)足夠的情況下?lián)碛辛己玫囊种聘蓴_的能力且具有高分辨率的優(yōu)點。但在實際應(yīng)用中，由于導(dǎo)向向量存在誤差，算法魯棒性明顯下降[6]。這是因為在實際過程中存在陣列位置、幅相以及方位估計等誤差，實際中協(xié)方差矩陣還包含期望信號。對于柔性長線陣，陣元位置一直在變化，且對于快速移動的目標(biāo)，觀測時間過短，快拍少。在這種情況下，MVDR算法的性能快速下降。針對MVDR存在的問題，人們提出了一些提高其性能的算法。Li[7]提出了基于導(dǎo)向向量估計的穩(wěn)健Capon波束形成算法（RCB），用估計的導(dǎo)向向量做波束形成，使導(dǎo)向向量誤差在一定范圍內(nèi)變化時，算法仍有較高的穩(wěn)健性。RCB算法使用牛頓迭代法求解Lagrange乘子，實時性較差，戴凌燕等人[8]推導(dǎo)了近似解，但近似解過程中的假設(shè)造成了計算精度和輸出SINR下降。當(dāng)導(dǎo)向向量誤差太大時，Nai等人[9]提出了利用迭代思想的方法來估計導(dǎo)向向量，每次迭代相當(dāng)于一次RCB算法，不過此方法計算量大，且干擾信號功率大于期望信號功率時，可能收斂到干擾信號的導(dǎo)向向量，存在收斂問題。

基陣隨著陣元的增加，提高了陣增益和方位分辨率，為了實現(xiàn)對安靜型潛艇的探測，聲納越來越多的使用多陣元的大陣列檢測微弱信號。近年來矢量水聽器在聲納設(shè)備上得到了大量的應(yīng)用，相對于聲壓陣,使用矢量陣能擴展陣列孔徑提高處理增益，同時克服左右舷模糊的問題[10]。

針對目標(biāo)快速移動時，快拍數(shù)減少，沒有足夠的觀測數(shù)據(jù)的情況，本文根據(jù)滿秩RCB算法的思路，提出了一種改進的RCB算法，通過對小塊拍的接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值分解，采用數(shù)據(jù)矩陣避免形成協(xié)方差矩陣，對滿秩RCB算法的修改，得到了改進的RCB算法。最后用仿真實驗和海試實驗證實了該算法的正確性。

1 信號模型

假設(shè)M個二維水聽器構(gòu)成直線陣，目標(biāo)位于遠場，如圖1所示，第i個陣元的坐標(biāo)為目標(biāo)的單位矢量為，其中 θ為目標(biāo)方位角。則目標(biāo)對應(yīng)的波矢為信號角頻率，c為聲速。

圖1 聲矢量陣示意圖Fig.1 Sketch map of acoustic vector array

陣列的導(dǎo)向矢量在頻域表示為：

假設(shè)測量區(qū)域存在一個窄帶目標(biāo)與K個窄帶干擾，則陣列的輸出為：

其中：為目標(biāo)加干擾，E（ω ）為噪聲。

在實際應(yīng)用中，陣列輸出的協(xié)方差矩陣由陣列輸出快拍估計得到：

式中）表示對應(yīng)角頻率ω的第k個快拍，N為快拍數(shù)。

2 基于導(dǎo)向矢量的RCB算法

MVDR算法原理如下：

其中：w為自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，s為期望的導(dǎo)向矢量，R為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。上式的含義為在保證目標(biāo)信號不失真的條件下，調(diào)節(jié)權(quán)矢量w使得波束形成輸出的功率最小，通過拉格朗日乘子法求解（4）式，得到MVDR的權(quán)矢量為

MVDR波束形成輸出功率為：

根據(jù)（4）式，任何偏離期望導(dǎo)向矢量的信號都會被抑制。導(dǎo)向矢量的偏差越大，信號被抑制得越嚴(yán)重，表現(xiàn)為信號的功率輸出降低，功率譜的動態(tài)范圍縮小?；贛VDR算法存在的問題，Li提出了基于導(dǎo)向矢量估計的穩(wěn)健Capon波束形成（RCB）算法，RCB算法可表示為如下優(yōu)化問題：

其中：s為期望導(dǎo)向矢量，ε為導(dǎo)向矢量的誤差限。為了避免方程收斂到無意義的零點，必須使ε。 應(yīng)用拉格朗日乘子法求解（7）式：得到真實導(dǎo)向矢量的估計如下：

式中：λ為拉格朗日乘子。將上式代入約束可得到λ滿足的非線性方程為：

假設(shè)γmin和γmax分別為R的最小特征值和最大特征值，根據(jù)（10）式，有以下不等式成立：

最終得到λ滿足的解區(qū)間為：

應(yīng)用牛頓迭代法或二分法求解（11）式。將求得的λ代入（8）式，得到當(dāng)導(dǎo)向矢量誤差范圍為ε時的真實導(dǎo)向矢量估計

最后，得到RCB的信號功率估計如下：

將式代入（5）式得穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成的權(quán)矢量為

可以看到，RCB算法實際上也屬于對角元加載算法，但是與其它的算法不同，其對角元加載因子λ-1直接由導(dǎo)向矢量的誤差ε控制。

3 改進的RCB

上面推導(dǎo)的RCB算法適用于協(xié)方差矩陣R為滿秩的情況。由（4）式可知，協(xié)方差矩陣滿秩則有快拍數(shù)至少大于陣元數(shù)M。但在實際情況下，觀測時間是有限的，特別是對于長線陣，由于形成的波束窄，快速運動的目標(biāo)很容易跨過多個波束，積分時間不可能過長。因此大多數(shù)情況下，快拍數(shù)小于陣元數(shù)，R為秩虧矩陣，所以需要將上述RCB算法改進使其能應(yīng)用于秩虧情況。

已知為測量的快拍，K為快拍數(shù)，記數(shù)據(jù)矩陣為則陣列的協(xié)方差矩陣為若已知的奇異值分解如下：

由于噪聲的影響，實際的協(xié)方差矩陣應(yīng)該是滿秩矩陣，假設(shè)噪聲是各向均勻的白噪聲，方差為α，則得到估計的協(xié)方差矩陣為利用關(guān)系式則（10）式可以修改為：

綜合（11）式得到秩虧情況下λ滿足的解區(qū)間為：

最后得到秩虧情況下RCB的功率估計如下：

值得注意的是當(dāng)K=M時，上式化為（12）式。即化為滿秩情況下的RCB信號功率估計。此外需要補充說明的是參數(shù)α的選取。α是人為設(shè)定的噪聲功率，α越大，則噪聲本底越高，則目標(biāo)分辨能力降低。α越小，則噪聲本底小，波束形成輸出功率的動態(tài)范圍大，不利于弱目標(biāo)的顯示。

4 仿真結(jié)果

為了驗證秩虧RCB的性能，并將其推廣應(yīng)用，對其進行了試驗驗證。所使用的長線陣為柔性陣，由32個均勻間隔的矢量水聽器組成。在實驗過程中假設(shè)水聽器在一條直線上?？臻g從遠場入射三個互不相關(guān)的窄帶平面波，其中一個期望信號，兩個干擾，干擾的干噪比分別為INR=30 dB，35 dB，入射角分別為30°，70°。各通道的噪聲為互不相關(guān)的高斯白噪聲，噪聲功率為0 dB。期望信號的入射角度和信噪比隨仿真條件的改變而改變。

4.1 分析波束指向存在誤差情況下的對角加載因子

假設(shè)期望信號來自5°方向，實際的波束形成方向為6°，存在1°的指向誤差。期望導(dǎo)向向量和實際導(dǎo)向向量間的誤差模為圖2為不同輸入SNR和不同ε下的對角加載因子情況。圖中數(shù)據(jù)是進行100次蒙特卡羅實驗的平均結(jié)果。圖2（a）和（b）是常規(guī)RCB仿真結(jié)果，快拍數(shù)N=200。圖2（c）和（d）為改進的RCB算法仿真結(jié)果，快拍數(shù)N=20。由圖2可知，本文推導(dǎo)的改進的RCB算法加載因子值雖然高于常規(guī)RCB算法的加載因子值，但隨著SNR和誤差限ε的增加，這兩種算法有相同的變化趨勢，都逐漸增大。這說明本文推導(dǎo)的改進的RCB算法在小快拍情況下具有與正?？炫臄?shù)時RCB算法相似的性能。

圖2 輸入角度偏差為1°時的對角加載因子Fig.2 Diagonal loading factor when input angle deviation is 1 degrees

4.2 分析波束指向存在誤差情況下的波束圖

假設(shè)期望信號功率為SNR=10 dB，來自5°方向，采樣快拍數(shù)為N=20，改進的RCB算法中取ε=25。由圖3可知，因為常規(guī)波束形成的加權(quán)向量為w_cbf=aθ0（）/N，與協(xié)方差矩陣無關(guān)，所以常規(guī)波束形成的波束圖有較好的結(jié)果，但是對矢量MVDR算法，因為快拍數(shù)N小于采樣數(shù)，協(xié)方差矩陣不滿秩，所以MVDR算法性能下降。由波束圖結(jié)果可知，本文提出的改進的RCB算法適用于欠采樣的情況。

圖3 波束指向誤差為1°時的波束圖Fig.3 Beam pattern,when the input angle deviation=1°

圖4 指向誤差變化時的輸出SINR變化關(guān)系圖Fig.4 Output SINR diagram,with the change of pointing error

4.3 分析改進RCB算法輸出信干噪比SINR變化

假設(shè)期望信號輸入信噪比SNR在-20 dB到30 dB之間變化，期望信號來自5°方向，采樣快拍數(shù)為N=20，改進的RCB算法中取ε=25。而實際波束形成方向分別為5°到8°，即存在0°到3°的指向誤差。由圖4（a）可知，在指向誤差在2°以內(nèi)時，當(dāng)SNR＜5 dB時，算法輸出信干噪比SINR之間誤差較小，都在3dB以內(nèi)，但當(dāng)SNR＞5dB時，在波束形成方向存在誤差的情況下，輸出信干噪比性能下降。此外，在指向誤差為3°時，輸出信干噪比性能與其他相差較大，說明波束形成方向誤差較大的情況下，改進RCB算法性能也下降。由圖3（b）可知，當(dāng)角度誤差在2°以內(nèi)時，20≤ε≤70時，輸出SINR性能最優(yōu)，ε較小或者較大時，改進RCB算法性能下降；角度誤差為3°時，輸出SINR性能一直較差。

4.4 期望信號功率估計

假設(shè)期望信號來自5°方向，而實際的波束形成方向為6°，即存在1°的指向誤差，采樣快拍數(shù)為N=70。圖5為不同輸入SNR和不同ε下的期望信號功率估計。由圖5（a）可知，在SNR＞-15 dB時，期望信號功率估計值基本上與理想值誤差在2 dB以內(nèi)，改進的RCB算法具有較高的估計精度。由圖5（b）可知，當(dāng)15≤ε≤30之間時，估計值與理想值誤差在2 dB以內(nèi)，估計精度較好，ε較小時，改進RCB算法估計值與實際值直接存在較大誤差，估計精度下降。

圖5 指向誤差為1°時期望信號功率估計Fig.5 Estimation of signal power at pointing error of 1 degrees

4.5 空間譜分析

當(dāng)期望信號為窄帶信號時，假設(shè)陣列為32元均勻間隔的矢量水聽器，陣元間距為d=0.75 m，加入0-0.15 m的隨機誤差，設(shè)頻率為f=1 000 Hz，采樣率fs=8 192 Hz，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)N=20，入射方向為5°，誤差限為ε=25。空間譜估計的結(jié)果如圖6（a）所示。由圖6（a）可知，CBF算法主瓣寬，且起伏嚴(yán)重。而改進的RCB算法具有較尖銳的譜峰寬度及較好的抑制干擾的能力，有效提高了算法的穩(wěn)健性。

當(dāng)期望信號為寬帶信號時，假設(shè)陣列為32元均勻間隔的矢量水聽器，陣元間距為d=0.75 m，加入0-0.15 m的隨機誤差，所用的積分時間為T=10 s。設(shè)信號頻率為f=900-1 100 Hz，采樣率fs=8 192 Hz，信噪比SNR=10 dB，入射方向為-30°，誤差限為ε=25?？臻g譜估計結(jié)果如圖6（b）所示，結(jié)果與窄帶結(jié)果相似。

4.6 海試結(jié)果分析

為了驗證改進RCB算法的實際處理效果，進行了海試試驗。海試時，所用矢量陣為32元均勻間隔柔性陣，每個水聽器都是二維矢量水聽器。試驗船為專用測量船。試驗時，測量船固定，并關(guān)閉主機，采集系統(tǒng)使用的是無噪聲供電，目標(biāo)為三艘水面船只，試驗中，水聽器布陣為水平布放。因為在試驗過程中，無法對陣型進行校準(zhǔn)，所以假設(shè)水聽器陣在同一平面上，波束形成的處理頻段為900-1 200 Hz，所用的積分時間為T=10 s。

試驗處理結(jié)果如圖7所示，其中橫軸表示方位，縱軸表示時間。圖7（a）為常規(guī)波束形成的方位估計時間歷程圖，圖7（b）為MVDR波束形成的方位估計時間歷程圖，圖7（c）為改進RCB算法的方位估計時間歷程圖。由圖7可知，CBF算法、MVDR算法以及改進RCB算法的方位估計結(jié)果一致，與試驗情況吻合得比較好，且可以看出改進RCB算法的效果要好于CBF算法和MVDR算法。

圖6 空間譜估計結(jié)果Fig.6 Spatial spectrum estimation results

圖7 方位估計時間歷程圖Fig.7 Time history of azimuth estimation

5 結(jié) 論

針對目標(biāo)快速移動情況下，觀測時間減少，快拍數(shù)不足引起的RCB算法性能下降的問題，提出了改進的RCB算法。改進的RCB算法直接對接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值分解，此過程避免了求取協(xié)方差矩陣，且在奇異值分解時只需要求出左奇異矢量，減少了計算量，然后對RCB算法進行修正，最后得到改進的RCB的功率估計。改進的RCB算法的計算量大于MVDR和CBF算法，但在快速運動目標(biāo)的情況下改進RCB算法檢測性能優(yōu)于這兩種算法。仿真和海試結(jié)果表明：改進RCB算法提高了目標(biāo)分辨率和估計精度，可以滿足目標(biāo)快速移動情況下，快拍數(shù)不足引起的欠采樣問題。

[1]Fabrizio G,Colone F,Lombardo P,Farina A.Adaptive beamforming for high-frequency over the horizon passive radar[J].IET Radar Sonar Navigation,2009,3(4):384-405.

[2]Liu Gang,Sun Hui,Jin Dawei.Experimental research of vector hydrophone MVDR algorithm[J].Journal of Information and Computational Science,2015,12(4):1329-1336.

[3]翟昌宇,袁紅剛.基于波束形成的OFDM水聲通信技術(shù)[J].聲學(xué)技術(shù),2015,34(4):70-73.Zhai Changyu,Yuan Honggang.OFDM underwater acoustic communication technology based on beamforming[J].Technical Acoustics,2015,34(4):70-73.

[4]龐 宇,劉志偉,林嘉宇.基于波束形成器輸出比的自適應(yīng)語音分離方法[J].微處理機,2016,37(02):37-40.Pang Yu,Liu Zhiwei,Lin Jiayu.Automatic adaptive speech seperation method based on beamformer output ratio[J].Microprocessors,2016,37(02):37-40.

[5]許 光,周勝增.MVDR自適應(yīng)波束形成技術(shù)在水聲中的研究進展[J].聲學(xué)技術(shù),2014,33(6):554-558.Xu Guang,Zhou Shengzeng.Research progress of MVDR adaptive beamforming technology in underwater acoustics[J].Technical Acoustics,2014,33(6):554-558.

[6]李洪濤,陳 誠,曾文浩,朱曉華.基于導(dǎo)向矢量估計的魯棒自適應(yīng)波束形成算法[J].電波科學(xué)學(xué)報,2015,31(1):188-193.Li Hongtao,Chen Cheng,Zeng Wenhao,Zhu Xiaohua.Robust adaptive beamforming algorithm based on steering vector estimation[J].The Chinese Journal of Radio Science,2015,31(1):188-193.

[7]Li J,Stoica P,Wang Z Z.On robust Capon beamforming and diagonal loading[J].IEEE Trans.Signal Processing,2003,51(7):1702-1715.

[8]戴凌燕,王永良,李榮峰,等.基于不確定集的穩(wěn)健Capon波束形成算法性能分析[J].電子與信息學(xué)報,2009,31(12):2931-2936.Dai Lingyan,Wang Yongliang,Li Rongfeng,Bao Zheng.Performance analysis of robust capon beamforming based on uncertainty set[J].Journal of Electronics&Information Technology,2009,31(12):2931-2936.

[9]Nai SE,Ser W,Yu Z L,Chen H.Iterative robsut mnimum variance beamforming[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(4):1601-1611.

[10]孫貴情,張春華,黃海寧,李啟虎.聲矢量傳感器線陣的左右舷分辨[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報,2010,31(7):848-885.Sun Guiqing,Zhang Chunhua,Huang Hai ning,Li Qihu.Left-right resolution of acoustic vector sensor line arrays[J].Journal of Harbin Engineering University,2010,31(7):848-885.