范家驊，祁 偉，戴 清

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，北京 100048）

上一篇回顧了異重流潛入現(xiàn)象研究中前人的水槽實(shí)驗(yàn)情況與各家理論分析成果［1］，本篇分析異重流潛入現(xiàn)象在天然工程環(huán)境中和實(shí)驗(yàn)室水槽實(shí)驗(yàn)中所觀測(cè)的成果，并利用水力學(xué)能量方程和動(dòng)量方程，分析水庫(kù)進(jìn)口和引航道口門(mén)處異重流潛入點(diǎn)上下游斷面的水沙因子關(guān)系；另外還將前人理論研究結(jié)果略作推演后與本文理論分析公式相比較；最后對(duì)結(jié)論和異重流研究中若干問(wèn)題進(jìn)行討論，并對(duì)今后需要開(kāi)展的研究工作提出了自己的看法。

1 水庫(kù)中渾水異重流潛入點(diǎn)的觀測(cè)

河流渾水水流進(jìn)入水庫(kù)壅水區(qū)，在渾水異重流潛入點(diǎn)附近可觀察到清渾水明顯的分界線，水舌潛入時(shí)伴隨著水舌下游出現(xiàn)的向上泛起的渾水旋渦，以及潛入點(diǎn)下游和兩側(cè)存在于表面的回流，并積集著漂浮物。

隨著渾水在潛入過(guò)程中泥沙的落淤，潛入點(diǎn)的底部高程上抬；潛入點(diǎn)水深變淺時(shí)，潛入點(diǎn)的位置將向下游推進(jìn)；當(dāng)流量增加時(shí)，潛入點(diǎn)的位置也會(huì)向下游移動(dòng)。潛入的渾水如負(fù)浮射流潛入庫(kù)底，并向下游擴(kuò)展運(yùn)動(dòng)。

天然水庫(kù)中進(jìn)行潛入點(diǎn)的水流流速和含沙量分布的觀測(cè)比較困難（潛入點(diǎn)水面流速與含沙量值均為零）。這是由于水流隨洪峰迅速改變，不易測(cè)量到正位于潛入點(diǎn)的流速和含沙量的垂線分布。官?gòu)d水庫(kù)、三門(mén)峽水庫(kù)的幾次較典型的潛入點(diǎn)流速和含沙量分布，參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

2 渾水實(shí)驗(yàn)

2.1 渾水異重流潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模涸谒蹆?nèi)觀測(cè)渾水進(jìn)入壅水區(qū)沿縱向的流速和渾水濃度的變化。實(shí)驗(yàn)之初，首先將槽內(nèi)充滿清水，槽內(nèi)首部段的槽底比降為0.03，槽寬0.15 m，直段總長(zhǎng)20.6 m；然后接以90°的彎道和4.5 m的直段，最后與擴(kuò)大段相聯(lián)結(jié)。擴(kuò)大段水深較深，使異重流流入擴(kuò)大段前端跌坎后形成臨界水深，以避免回水影響。進(jìn)槽流量用體積法測(cè)定。進(jìn)入槽內(nèi)渾水首先與槽內(nèi)清水相混，渾水在前進(jìn)過(guò)程中與清水相遇，在一定地點(diǎn)潛入底部形成異重流。

實(shí)驗(yàn)中測(cè)量潛入點(diǎn)上游、潛入點(diǎn)及其下游各斷面流速和含沙量分布。流速用旋漿流速儀測(cè)量，含沙量則虹吸出各點(diǎn)水樣，采用烘干稱(chēng)重法得出。此外還通過(guò)玻璃窗記錄沿程清渾水交界面高程；為了觀察渾水潛入點(diǎn)處的水流泥沙特征，還專(zhuān)門(mén)進(jìn)行潛入點(diǎn)的水力泥沙因子的測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)中觀察到：將一定泥沙含量的渾水引入水槽中，渾水將在一定水深處潛入，當(dāng)改變清水水位時(shí)，潛入點(diǎn)位置也隨之改變，但潛入水深并不改變。槽內(nèi)清水水位增加時(shí)，潛入點(diǎn)位置上移；清水水位下降時(shí)，潛入點(diǎn)位置下移。當(dāng)在一定的清水水位、渾水泥沙含量和底部比降等條件下，如將流量增大，則潛入點(diǎn)位置下移；將流量減小，則潛入點(diǎn)位置上移。

觀測(cè)表明：在15 cm寬、槽底比降為0.03的水槽中，當(dāng)渾水流量為300～3800 cm3/s、進(jìn)口含沙量為3～19 kg/m3，泥沙d50粒徑為0.002～0.003 mm范圍內(nèi)時(shí)，得到如式（1）的平均關(guān)系［3］，同時(shí)水槽實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與三門(mén)峽、官?gòu)d水庫(kù)的實(shí)測(cè)資料點(diǎn)繪于圖1中。

式中：Fp為潛入點(diǎn)處的密度Froude數(shù)；hp為潛入點(diǎn)水深；up為潛入點(diǎn)平均流速；g′=?ρ/ρ，?ρ為渾水與清水的密度差。

另外實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)渾水潛入點(diǎn)至異重流沿程各斷面的流速分布，并計(jì)算單寬流量（異重流交界面至底部）的沿程變化。多次測(cè)量表明潛入點(diǎn)以及其下游異重流流量沿縱向減?。ㄒ?jiàn)圖2）。圖2中底部以上3 cm以?xún)?nèi)的流速未能觀測(cè)，因旋漿流速儀的直徑為3 cm，且臨近底層流速過(guò)低難于觀測(cè)。計(jì)算潛入點(diǎn)上游、潛入點(diǎn)及其下游各斷面流量，可得潛入點(diǎn)流量約為進(jìn)槽流量的0.9，下游異重流流量約為潛入點(diǎn)流量的0.9。

圖2 異重流潛入實(shí)驗(yàn)流速分布沿程變化

圖1 渾水潛入點(diǎn)up與 g′hp的關(guān)系

2.2 潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象 水槽實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)進(jìn)口斷面水深、潛入點(diǎn)水深以及潛入點(diǎn)下游穩(wěn)定段的異重流水深。實(shí)驗(yàn)中進(jìn)槽流量在進(jìn)入壅水區(qū)的流態(tài)分為兩種情況：（1）渾水進(jìn)入壅水區(qū)時(shí)產(chǎn)生水躍，在潛入?yún)^(qū)渾水水深逐漸加大，至潛入點(diǎn)處水深為最大，此處渾水潛入槽底形成底部異重流，其后渾水水深逐漸變小，直至穩(wěn)定段水深保持基本不變；（2）渾水進(jìn)入壅水區(qū)時(shí)未產(chǎn)生水躍，進(jìn)入壅水區(qū)時(shí)水深逐漸增大，直至潛入點(diǎn)處水深為最大，潛入后渾水水深逐漸變小，至異重流穩(wěn)定段時(shí)水深基本保持不變。

比較兩種進(jìn)水流態(tài)，不論存在水躍或不存在水躍，渾水水流均在進(jìn)入壅水區(qū)后水深沿程增加，流速沿程減小，勢(shì)能與動(dòng)能兩者處在前者增加、后者遞減的變化中，直至潛入點(diǎn)處渾水開(kāi)始潛入，此時(shí)勢(shì)能趨于減小、動(dòng)能趨于增加，直至趨于穩(wěn)定段時(shí)勢(shì)能與動(dòng)能兩者之比基本保持不變，見(jiàn)圖3。

圖3 潛入點(diǎn)上下流態(tài)示意圖

由此可見(jiàn)：實(shí)驗(yàn)的進(jìn)槽流量、含沙量為一定時(shí)，渾水水流進(jìn)入壅水區(qū)時(shí)會(huì)調(diào)整其水流的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，至潛入點(diǎn)處潛入時(shí)并不因水流進(jìn)口流態(tài)的不同而發(fā)生改變。點(diǎn)繪進(jìn)口斷面處的密度Froude數(shù)F0與潛入點(diǎn)Fp兩者的關(guān)系如圖4所示，由圖中可見(jiàn)F0對(duì)Fp幾乎沒(méi)影響。Stefan和Johnson［4］點(diǎn)繪Akiyama和Stefan［5］用冷水進(jìn)行的潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)的F0和Fp關(guān)系，也同樣說(shuō)明兩者無(wú)大關(guān)系。

圖4 渾水潛入試驗(yàn)F0和Fp的關(guān)系

此前筆者進(jìn)行根據(jù)異重流漸變流運(yùn)動(dòng)方程的水深變化分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)交界面水面線延伸到潛入點(diǎn)之間，存在一水流臨界點(diǎn)，因潛入點(diǎn)位于臨界點(diǎn)上游，因此可以斷定潛入點(diǎn)的密度Froude數(shù)Fp應(yīng)小于臨界密度Froude數(shù)Fc（=1）；而從渾水水槽實(shí)驗(yàn)資料得Fp=0.63～0.91，平均值為0.78（見(jiàn)圖1）；還有在長(zhǎng)50 m、寬0.5 m的水槽中進(jìn)行渾水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)得到Fp=0.62。

此外還觀察到潛入點(diǎn)下游潛入?yún)^(qū)的交界面水面線的形狀：自潛入點(diǎn)起交界面曲線呈微凸形與微凹形線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)位于潛入?yún)^(qū)的中間一半距離。實(shí)測(cè)各測(cè)次的潛入?yún)^(qū)長(zhǎng)度大部分在300～400 cm之間，潛入點(diǎn)水深在5～17 cm之間，異重流水深在3～12 cm之間。

以上異重流潛入點(diǎn)Fp實(shí)驗(yàn)成果發(fā)表后，陸續(xù)有專(zhuān)著［6-8］、設(shè)計(jì)手冊(cè)［9-10］、論文以及研究報(bào)告引用以上公式，并用于各水庫(kù)異重流潛入點(diǎn)的實(shí)際分析中，同時(shí)還擴(kuò)展運(yùn)用于其它的工程之中；若干異重流潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)研究者發(fā)表論文多引用本文作者Fp實(shí)驗(yàn)成果（如曹如軒［11］、焦恩澤［12］等），還有的對(duì)潛入點(diǎn)進(jìn)行分析并修正Fp表達(dá)式［13-15］，也有的在綜合討論水庫(kù)淤積問(wèn)題中予以引用［16-20］。

3 理論分析

圖5 異重流潛入概化圖

3.1 水庫(kù)異重流潛入 分析潛入點(diǎn)現(xiàn)象可利用流體力學(xué)的能量方程和動(dòng)量方程。這里擬根據(jù)實(shí)驗(yàn)中以及天然水庫(kù)中所觀察到的現(xiàn)象，考慮潛入?yún)^(qū)上下層水體的摻混來(lái)推求潛入點(diǎn)以及穩(wěn)定段異重流的水流參數(shù)。

（1）利用動(dòng)量方程進(jìn)行分析計(jì)算?？紤]試驗(yàn)中觀察到潛入混合區(qū)內(nèi)存在上下層水體的交換，即上層進(jìn)入下層（正摻混）或下層進(jìn)入上層（負(fù)摻混）的水量摻混，分析方法類(lèi)似先前所作的異重流水躍的方法［21］。

概化圖形參見(jiàn)圖5，圖中ρp、hp和up分別為潛入點(diǎn)處異重流的密度、水深和流速；、ρd、hd和ud分別為潛入點(diǎn)下游穩(wěn)定區(qū)異重流的密度、水深和流速；ρ和ua為上層水流的密度和流速。設(shè)qE為上層進(jìn)入下層的水量，有：qE=E(hpup)=Eqp，此處E為摻混比值。由異重流水量平衡方程得：

其中：且KQ＞1時(shí)為正摻混（上層水體進(jìn)入下層水體）；KQ=1時(shí)為無(wú)摻混；KQ＜1時(shí)為負(fù)摻混（若干試驗(yàn)表明，鹽水潛入實(shí)驗(yàn)和冷熱水實(shí)驗(yàn)時(shí)KQ＞1；而渾水潛入實(shí)驗(yàn)時(shí)KQ＜1）。

異重流的密度通量與不可壓縮的連續(xù)方程分別為：

當(dāng)考慮摻混因素的動(dòng)量方程為：

式中：ha=hp-hd。由于為小項(xiàng)，與其他多項(xiàng)比較可以忽略，故得：

式中ρp≈ρd，此假定即忽略了潛入點(diǎn)含沙量與其下游異重流含沙量的變化。因此近似地有下式：

式中：當(dāng)忽略摻混即KQ=1時(shí)，則有

（2）利用能量方程分析。渾水異重流進(jìn)入水庫(kù)壅水區(qū)時(shí)，在一定水深處潛入庫(kù)底形成異重流向前運(yùn)動(dòng)。按照von Karman［22］分析方法，寫(xiě)出交界面上A和B兩點(diǎn)的Bernoulli方程（圖6），則得：

圖6 水庫(kù)異重流潛入概化圖

式中：PA和PB為A、B兩點(diǎn)上的壓力，ua為上層流流速。由于水流潛入時(shí)形成的初始異重流流動(dòng)為非恒定流，流速為ud，今疊加一個(gè)向上游的流速u(mài)=-ud，可使流動(dòng)變?yōu)楹愣ㄟ\(yùn)動(dòng)，有：

以上兩式相減，得：

觀察水庫(kù)異重流潛入點(diǎn)附近，渾水水流潛入時(shí)導(dǎo)致水庫(kù)水面出現(xiàn)回流，并伴隨有漂浮物，渾水水流在水庫(kù)之中潛入，帶動(dòng)部分水庫(kù)水體，流速大時(shí)還會(huì)捲吸部分水量進(jìn)入異重流（正摻混）；但同時(shí)異重流在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，泥沙會(huì)沿程減少，導(dǎo)致異重流部分水量也會(huì)進(jìn)入水庫(kù)水體之中（負(fù)摻混）。渾水水槽實(shí)驗(yàn)中曾觀測(cè)到潛入點(diǎn)流量略大于異重流流量，存在負(fù)摻混現(xiàn)象?，F(xiàn)忽略此負(fù)摻混，設(shè)水庫(kù)中上層水流流速u(mài)a=0，并設(shè)可得：

式（7）中Fd為潛入點(diǎn)下游異重流穩(wěn)定段的密度Froude數(shù)；式（8）為潛入點(diǎn)的密度Froude數(shù)與穩(wěn)定段異重流水深同潛入點(diǎn)水深之比值hd/hp的關(guān)系式。

另一種用能量方程求解方法是根據(jù)概化圖形圖5，第一斷面為潛入點(diǎn)斷面，第二斷面為潛入?yún)^(qū)下游穩(wěn)定異重流斷面，忽略能量損失并忽略水量摻混，可寫(xiě)出下式：

與連續(xù)方程uphp=udhd聯(lián)解，令得：

圖7 水庫(kù)渾水異重流潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)

圖7中點(diǎn)繪本文作者以及姚鵬和王興奎［23-24］渾水異重流潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)的潛入點(diǎn)Fp和hd/hp各實(shí)測(cè)點(diǎn)，還有本文理論分析（動(dòng)量方程和能量方程）兩條關(guān)系線式（5）與式（9）。從圖中可見(jiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論分析計(jì)算值兩者較接近，但第三條線式（8）偏差較大。

3.2 船閘交換水流的異重流潛入 上節(jié)是渾水進(jìn)入水庫(kù)壅水區(qū)潛入形成異重流的情況，本節(jié)要討論的是船閘交換水流的潛入情況，或者是在河渠或與支流交叉處河道渾水潛入支流的情況。

前人進(jìn)行鹽水實(shí)驗(yàn)時(shí)，在水槽內(nèi)用隔板隔開(kāi)，一邊盛鹽水，另一邊盛清水，水位相同。當(dāng)隔板抽去后，可見(jiàn)鹽水下層以某種初速向前運(yùn)動(dòng)，而上層清水向反方向運(yùn)動(dòng)，且下層鹽水層的流速因槽壁、槽底以及交界的阻力小于上層清水層流速。我們進(jìn)行的渾水實(shí)驗(yàn)，布置河道渾水水流與引航道成某種角度，引航道內(nèi)灌滿清水，也采用隔板隔開(kāi)。當(dāng)抽去隔板后，河道渾水潛入引航道形成異重流，而引航道內(nèi)的清水則在上層向反方向運(yùn)動(dòng)，流至河渠交界處，并流出渠口進(jìn)入河道。

（1）利用能量方程分析。根據(jù)上述流態(tài)以及實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到上下層水流運(yùn)動(dòng)速度比較接近的情況，可設(shè)式（6）中ua=ud，故可得：

利用流量連續(xù)方程，可得：

式（11）是在忽略渾水從河道潛入引航道時(shí)兩層水流之間的摻混，以及忽略能量損失等條件下，根據(jù)能量平衡方程獲得的潛入點(diǎn)Fp與hd/hp比值的關(guān)系式。有一點(diǎn)需要說(shuō)明，上式中的up值，是用連續(xù)方程求得的計(jì)算值，并非實(shí)驗(yàn)中的實(shí)測(cè)值。（本文水庫(kù)壅水區(qū)潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)中up為實(shí)驗(yàn)值。）

本文上一篇［1］的表4中列出了許多學(xué)者進(jìn)行鹽水交換水流的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［1］，以及有學(xué)者如O’Brien［25］用能量方程、Abraham［26］以及Yih（易家訓(xùn)）［27］運(yùn)用能量方程進(jìn)行了理論分析工作，得同一公式，如下：

利用水流連續(xù)方程，可得：

以上用能量方程分析得引航道口門(mén)潛入點(diǎn)還引用各家理論分析（能量方程或動(dòng)量方程）得Fp=k/2。

（2）利用動(dòng)量方程分析。按照?qǐng)D6所示交換水流的概化圖，用動(dòng)量方程來(lái)分析引航道口門(mén)渾水潛入開(kāi)始形成異重流時(shí)刻的異重流前鋒流速和潛入點(diǎn)處的Fp值。即在實(shí)驗(yàn)中插板兩邊分注渾（鹽）水和清水，當(dāng)提起插板后，上層清水會(huì)向出口方向運(yùn)動(dòng)，下層渾水會(huì)向引航道內(nèi)運(yùn)動(dòng)。我們重點(diǎn)關(guān)注當(dāng)插板提起后很短時(shí)間內(nèi)的異重流前鋒流速及其水深等值。

為使運(yùn)動(dòng)為恒定，在右邊疊加一個(gè)等于異重流流速u(mài)d的流速；其次忽略?xún)蓪铀w之間的摻混，可寫(xiě)出潛入點(diǎn)斷面與異重流前鋒斷面之間的動(dòng)量方程：

式中：

連續(xù)方程為：

可導(dǎo)得：

上式與實(shí)際資料所得的k=0.6～0.3，F(xiàn)p=0.3～0.1相吻合。如對(duì)上式中略去小項(xiàng)k2，則上式變?yōu)镕p=k2。

點(diǎn)繪的運(yùn)河平交穿黃（河）渾水實(shí)驗(yàn)的相關(guān)圖見(jiàn)圖8；圖中還點(diǎn)繪Kersey和Hsü［28］的鹽水交換水流實(shí)驗(yàn)的的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，他們用3種不同的底坡（平底、正坡和負(fù)坡）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；圖中還點(diǎn)繪本文所導(dǎo)得的（自能量方程）、（自動(dòng)量方程）以及Fp=k2的關(guān)系線，可見(jiàn)在k＜0.6實(shí)測(cè)資料范圍內(nèi)，理論線與實(shí)測(cè)值較為符合。

為了清晰地了解分析結(jié)果，將上述結(jié)果列于表1中，以便對(duì)比。

圖8 引航道異重流潛入點(diǎn)渾水和鹽水實(shí)驗(yàn)

表1 異重流潛入實(shí)驗(yàn)與理論分析結(jié)果

3.3 本文渾水異重流潛入點(diǎn)理論公式與前人理論公式的對(duì)比 根據(jù)本文渾水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及進(jìn)行理論分析求得的表達(dá)式，有必要對(duì)前人潛入點(diǎn)水流理論分析的各種表達(dá)式進(jìn)行分析對(duì)比，以判斷是否符合水槽渾水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此本節(jié)將對(duì)各家研究結(jié)果逐一作推演和比較。

von Karman［22］的研究中得到渾水潛入點(diǎn)的關(guān)系式：

如用于水庫(kù)異重流潛入時(shí)，可設(shè)總水深為hp，令uphp=udhd=q，設(shè)可得：

此式與渾水實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差較大。

Benjamin［29］的研究工作，應(yīng)用于異重流則有［1］：

當(dāng)k=0.5時(shí)Fp=0.5。在k=0.3～0.6之間時(shí)，此式與渾水實(shí)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)比較，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fp值偏大0.1～0.15?？紤]到水槽實(shí)驗(yàn)受槽寬影響，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的Fp值可能偏大，此點(diǎn)在分析對(duì)比時(shí)應(yīng)予以注意。

Singh和Shah［30］導(dǎo)得：

可導(dǎo)得即KQ=1時(shí)（無(wú)摻混）的式（5）。

Savage［31］利用Bernoulli方程得：

從而導(dǎo)得

式（17）當(dāng)k=0.5時(shí)Fp=0.5，其曲線與Benjamin公式的曲線基本相同。

Jain［32］用動(dòng)量方程得：

Jain設(shè)可得：

Jain曾點(diǎn)繪Fp與（1-k）的關(guān)系線，指出Savage分析得k=0.5時(shí)Fp=0.5是上式的一個(gè)解。

當(dāng)β=0時(shí)

當(dāng)β=0.5時(shí)

同本文實(shí)驗(yàn)值比較，β=0的公式接近水庫(kù)潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)的實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)。β=0.5的公式，k=0.5、Fp=0.5曲線與Benjamin公式曲線相同，其理論計(jì)算值較水槽實(shí)驗(yàn)值為小。因此β=0和β=0.5表示不考慮能量損失與考慮一定能量損失兩種情況，似均可用于水庫(kù)壅水區(qū)異重流潛入點(diǎn)Fp的估算。

Jain用能量方程得：

如令得：

當(dāng)α=0，β=0時(shí)有：

此式與式（19）很接近。

當(dāng)α=0，β=0.5時(shí)可得式（17）：

此式k=0.5時(shí)Fp=0.5，其曲線與Savage公式相同。式（22）和式（17）同式（19）和式（20）一樣，可用于水庫(kù)壅水區(qū)異重流潛入點(diǎn)Fp的計(jì)算。

另外還有其他學(xué)者所求得的Fp表達(dá)式可推導(dǎo)得同一公式Egashira和Ashida［33］推導(dǎo)得Fd表達(dá)式：朱鵬程［34］和曹如軒［35］分別推導(dǎo)得：姚鵬［24］論文中得到以及姚鵬推得：以上4式均可推導(dǎo)得到KQ=1時(shí)的式（5）。

方春明等［36］用動(dòng)量公式推導(dǎo)得他們還用能量方程得：

若令?E=0，?h=0，可得與Jain相同的結(jié)果式（22）：

Akiyama和Stefan［37-38］與Parker［39］用他們的潛入點(diǎn)CVI動(dòng)量方程，可導(dǎo)得不同方程。Akiyama文中式（16）：

式中混合系數(shù)：

可得：

令γ=0，亦即令ua=0，可得：

Parker根據(jù)與Akiyama相同的圖形推導(dǎo)CVI動(dòng)量方程，導(dǎo)得：

當(dāng)γ=0，亦即ua=0，表示水庫(kù)上層水流速度為零，則有

當(dāng)γ=1，即ua=ud，表示引航道口門(mén)下游的水流情況，則有：

Parker的γ=0和γ=1理論線與本文水庫(kù)潛入點(diǎn)和引航道口門(mén)潛入點(diǎn)兩類(lèi)實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均接近。

此外，根據(jù)Parker文中式（28）所導(dǎo)得Fd在γ=0時(shí)：

則有：與連續(xù)方程聯(lián)解可得：

Fp=k與兩式曲線較接近，而更接近于水槽實(shí)驗(yàn)的實(shí)測(cè)值。

表2分類(lèi)列出了水庫(kù)異重流潛入點(diǎn)和引航道口門(mén)潛入點(diǎn)兩大類(lèi)，兩類(lèi)中又分應(yīng)用能量方程或動(dòng)量方程兩種分析方法，共導(dǎo)得4類(lèi)Fp公式，如圖9—圖11所示。表2中，除去水庫(kù)壅水區(qū)潛入點(diǎn)關(guān)系式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差較大外（未點(diǎn)繪在圖9上），所列公式均基本符合兩種水槽實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從表2比較中可看出：

（1）表2中異重流在水庫(kù)壅水區(qū)潛入，應(yīng)用能量方程情況下，Benjamin的Savage的和方春明等的（令?E=0，?h=0）同 本 文 研 究 的相比較，前兩公式與本文研究接近，后一公式與本文研究相同。

（2）表2中異重流在水庫(kù)壅水區(qū)潛入，應(yīng)用動(dòng)量方程情況下，Jain的與本文理論分析接近。Singh和Shah、Egashira和Ashida、朱鵬程、曹如軒、方春明、Akiyama和Stefan、Parker和Toniolo的均與本文理論分析結(jié)果相同。

（3）表2中異重流在引航道口門(mén)潛入，本文理論研究利用動(dòng)量方程、能量方程得和O’Brien、von Karman、Abraham的與本文研究公式相同，Parker的與本文公式中在實(shí)驗(yàn)資料范圍內(nèi)接近。

表2 本文分析研究與各家表達(dá)式推導(dǎo)所得公式的對(duì)比

圖9 水庫(kù)異重流潛入理論分析（能量方程）

圖10 水庫(kù)異重流潛入理論分析（動(dòng)量方程）

圖11 引航道口門(mén)潛入點(diǎn)理論分析Fp表達(dá)式

4 結(jié)論與討論

4.1 異重流潛入點(diǎn)Fp的研究

（1）水庫(kù)中現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)和渾水水槽實(shí)驗(yàn)得到Fp=0.5～0.8；鹽水、冷熱水實(shí)驗(yàn)得到Fp=0.3～0.8，或用參數(shù)hp表示為：引航道口門(mén)渾水潛入Fp在0.1～0.3范圍內(nèi)變化；見(jiàn)文獻(xiàn)［1］表1～表3。k-ε數(shù)學(xué)模型和水沙模型的數(shù)值計(jì)算亦顯示計(jì)算值Fp與實(shí)驗(yàn)值Fp接近。

（2）有學(xué)者利用水力計(jì)算方法求取Fp值，其中Fp為底坡、阻力（底部和交界面）、摻混系數(shù)等因子的函數(shù)，雖得出不同關(guān)系式，但未能獲得可供計(jì)算的公式，筆者在簡(jiǎn)化條件（無(wú)摻混、不考慮阻力的影響條件下）后求得Fp和hp，并與實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行了比較。如Savage和Akiyama等所推導(dǎo)的hp關(guān)系式同Singh的鹽水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行了比較，見(jiàn)文獻(xiàn)［1］的表2和表3。

（3）本文研究利用能量方程和動(dòng)量方程分析水庫(kù)壅水區(qū)以及引航道口門(mén)的渾水異重流潛入點(diǎn)Fp和hdhp的關(guān)系式，并將各家研究的不同形式表達(dá)式作進(jìn)一步推導(dǎo)得表達(dá)式，經(jīng)過(guò)同本文研究所得公式進(jìn)行對(duì)比，可見(jiàn)除去之外，各家公式與本文公式有的相同，有的是形式不同但均與本文渾水實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，見(jiàn)表2。

4.2 有關(guān)摻混（混合）系數(shù)物理意義的討論 Akiyama和Parker在分析中雖定義一混合系數(shù)其物理意義是上層流體單寬流量與潛入點(diǎn)斷面單寬流量的比值，但并不意味著兩層水體的混合。筆者認(rèn)為γ代表上層水體流量與下層異重流流量的比值，當(dāng)上層水體無(wú)流量（如水庫(kù)中異重流潛入的流態(tài)），分析中可假定上層清水層ua很小可忽略不計(jì)，即假定γ=0；當(dāng)上層流量與下層流量相同（如引航道口門(mén)異重流潛入的情況）時(shí)γ=1。筆者根據(jù)上述理解將Akiyama和Parker分析結(jié)果中令γ=0、γ=0.5用于推導(dǎo)水庫(kù)壅水區(qū)異重流潛入點(diǎn)Fp=f()k的表達(dá)式；令γ=1用于推導(dǎo)引航道口門(mén)異重流潛入的Fp表達(dá)式。關(guān)于摻混，它應(yīng)為上下層流體在交界面相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生剪力并引起兩層水體的交換。從這個(gè)意義上講利用γ來(lái)表示混合可以理解。但摻混現(xiàn)象在渾水異重流的實(shí)驗(yàn)中，不僅是上下兩層在交界面上剪力引起兩層之間水量的交換，同時(shí)存在由于異重流含沙量的變化、泥沙沉淀導(dǎo)致異重流有清水進(jìn)入上層水體的另一種摻混。對(duì)于水槽渾水異重流運(yùn)動(dòng)中交界面水體摻混系數(shù)，筆者曾分析實(shí)驗(yàn)資料得到在緩坡時(shí)摻混系數(shù)為負(fù)值、在陡坡時(shí)為正值的結(jié)論［40］。

筆者曾在潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)中用旋槳流速儀沿縱向施測(cè)異重流垂向流速分布，并計(jì)算各斷面交界面以下的單寬流量，發(fā)現(xiàn)單寬流量沿程減?。黄浯维F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)引航道潛入點(diǎn)至異重流沿程流量也減小。但是俞維升的渾水異重流實(shí)驗(yàn)中［41］，測(cè)量各斷面流速分布、自底部至流速為零的水平線之間的流量，沿程顯示流量增加（有個(gè)別流量減小，未采用）。

筆者認(rèn)為異重流交界面的流速并不等于零而是有一定值，因此俞維升的流量測(cè)量應(yīng)計(jì)算底部以上至交界面，而不是至流速為零的點(diǎn)之間的流量。筆者在推導(dǎo)潛入點(diǎn)Fp表達(dá)式引進(jìn)KQ摻混系數(shù)，未能作KQ對(duì)Fp的影響的計(jì)算［42］。這是由于各家實(shí)驗(yàn)結(jié)果不同（鹽水或冷熱水實(shí)驗(yàn)與俞維升渾水實(shí)驗(yàn)相同結(jié)果），加之我們以前所用的旋槳式流速儀不能測(cè)3 cm/s以下的流速，姚鵬所用測(cè)速儀可能精度較高，但未見(jiàn)流速分布數(shù)據(jù)發(fā)表，故摻混系數(shù)問(wèn)題有待今后繼續(xù)研究。

4.3 水流模型數(shù)值計(jì)算 利用水流模型數(shù)值計(jì)算，可獲得水流進(jìn)入水庫(kù)壅水區(qū)流速隨水深增加、流速逐漸降低至潛入點(diǎn)處流速平均為最小、水面處流速為零、潛入?yún)^(qū)流速逐漸加大直至異重流流速基本保持不變，能清晰地顯示水流改變的連續(xù)過(guò)程。

Farrell和Stefan、Bourner等利用k-ε模型（溫度方程）、方春明等利用水流垂向二維模型（懸沙方程）計(jì)算潛入水流；Farrell和Bourner等計(jì)算的潛入點(diǎn)水深較實(shí)驗(yàn)值大20%，而方春明等的計(jì)算潛入點(diǎn)Fp與曹如軒實(shí)驗(yàn)值基本符合。

方春明等、Farrell等和Bourner等計(jì)算水流流速垂線分布的沿程變化和密度（渾水、冷水）垂線分布的沿程變化，可了解到沿程流速和密度的二維分布情況，以及水流從上游至潛入點(diǎn)乃至沿庫(kù)底形成異重流的過(guò)程。水流紊動(dòng)二維模型數(shù)值計(jì)算相比一維水力計(jì)算，可得到潛入點(diǎn)斷面水面和底部流速為零及水面含沙量為零的判別細(xì)節(jié)，但在數(shù)值計(jì)算中須選取符合實(shí)際的紊流和泥沙運(yùn)動(dòng)的參數(shù)值。

4.4 今后工作管見(jiàn)

（1）渾水與鹽水潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)的各值，在工程設(shè)計(jì)中可預(yù)估水庫(kù)壅水區(qū)潛入點(diǎn)大致位置。對(duì)于引航道淤積量的估算，因異重流潛入點(diǎn)在口門(mén)處附近，故有了Fp中各水力泥沙因子各值即可計(jì)算一定時(shí)間內(nèi)的引航道內(nèi)淤積量，能滿足設(shè)計(jì)要求；其次水槽渾水實(shí)驗(yàn)所得的潛入點(diǎn)Fp值受到槽寬的影響，還需要進(jìn)行分析研究。

（2）雖然已有數(shù)學(xué)模型計(jì)算了從進(jìn)口至潛入點(diǎn)乃至底部異重流沿程的水流流速分布和含鹽（沙）量分布，但仍需要得到渾水水槽實(shí)測(cè)資料的驗(yàn)證，希望以后能看到這方面的二維數(shù)模研究工作。另外為了研究水庫(kù)壅水區(qū)異重流潛入與異重流沿程懸沙淤積（或沖刷），有必要在數(shù)學(xué)模型中包含泥沙沖淤方程以計(jì)算明渠段以及潛入段下游異重流含沙量分布的沿程變化，此種模型可應(yīng)用于計(jì)算水庫(kù)淤積分布和淤積量，還可應(yīng)用于引航道、引潮溝或河口入海段航道的鹽水和泥水入侵長(zhǎng)度及泥沙沿程淤積分布的計(jì)算（即鹽水楔和渾水楔長(zhǎng)度及楔長(zhǎng)沿程泥沙淤積的計(jì)算）。

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