摘 要：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成是學(xué)生發(fā)展的長遠(yuǎn)之道，關(guān)聯(lián)與化歸是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表象. 數(shù)學(xué)教學(xué)中引入部分是一堂課的開端，也是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的開始階段. 在課堂引入部分設(shè)計(jì)中關(guān)聯(lián)與化歸的有機(jī)統(tǒng)一，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展起著重要的作用.

關(guān)鍵詞：圓；概念；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；關(guān)聯(lián)；化歸

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，除去數(shù)學(xué)知識(shí)之外所應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)能力和解決問題的數(shù)學(xué)態(tài)度.數(shù)學(xué)教學(xué)并非是一味地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成才是學(xué)生發(fā)展的長遠(yuǎn)之道.

一堂有深度的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該有思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生擁有思考問題的方法和解決問題的能力，使學(xué)生在遇到問題時(shí)，能夠關(guān)聯(lián)已有的知識(shí)、方法或思想，將其融會(huì)貫通.一旦找到問題之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，問題就會(huì)隨之解決.

一、關(guān)聯(lián)與化歸

劉堤仿教授在指導(dǎo)省名師工作室活動(dòng)時(shí)指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人的數(shù)學(xué)學(xué)科潛能，其核心表象是關(guān)聯(lián)與化歸.化歸好比是心臟的收縮功能，關(guān)聯(lián)好比心臟的舒張功能.因此，我們所追求的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生全面終身發(fā)展打下基礎(chǔ).

宇宙萬物都存在內(nèi)在的聯(lián)系，不是孤立的.當(dāng)然數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)也是如此，數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)容也不是孤立存在的，有著一定的關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)中的關(guān)聯(lián)是指能夠?qū)⑴龅降男轮R(shí)與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系相聯(lián)系，達(dá)到知識(shí)的遷移與構(gòu)建.從心理學(xué)上來講，關(guān)聯(lián)是一種“學(xué)習(xí)遷移”，是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響和關(guān)聯(lián).

教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)著整堂課的教學(xué)，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)主要使用 “了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等表述[1]4.但是不管哪種水平實(shí)際核心是理解.了解是最初步的理解水平，掌握、應(yīng)用則是進(jìn)一步的理解.而理解就需要對(duì)整個(gè)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)產(chǎn)生關(guān)聯(lián).

對(duì)于理解水平的分類，比格斯提出了SOLO分類理論，主要分為五個(gè)層次，一是前結(jié)構(gòu)層次，二是單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次， 三是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，四是關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次， 最后是拓展抽象結(jié)構(gòu)層次[2].關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)是五個(gè)層次中最主要的，也就是在多元結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上學(xué)生能夠?qū)⒕€索和知識(shí)有機(jī)聯(lián)系在一起，從整體來分析問題.形成一個(gè)有機(jī)的、相互聯(lián)系的整體框架，從整體上來把握，并且拓展抽象層次是在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步理解和應(yīng)用[3].

數(shù)學(xué)中的化歸是將數(shù)學(xué)問題由未知化已知，由煩瑣化簡潔，由困難化容易.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾曾提出：宇宙間所有的問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.匈牙利著名數(shù)學(xué)家Pozsa Peter指出：數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問題進(jìn)行正面解決，而是不斷將它進(jìn)行變形，最后直到把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問題[4].數(shù)學(xué)化歸思想是在解決數(shù)學(xué)問題過程中一種重要的思想方法，幾乎所有的解題都離不開數(shù)學(xué)的化歸.

化歸從字面意思上理解可分為轉(zhuǎn)化和歸納，就是將比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將未知的問題歸納為已知的、已經(jīng)解決了的問題.化歸能有效地幫助學(xué)生進(jìn)行思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，為將來終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)教學(xué)中引入部分是一堂課的開端，也是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的開始階段，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的前提.一個(gè)好的開端猶如比賽時(shí)跑好第一步，對(duì)學(xué)生理解概念非常重要.因此，筆者針對(duì)浙教版九年級(jí)上冊(cè)3.1圓這堂課的概念引入部分進(jìn)行分析， 探討如何引入才能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、典型案例

圓這堂課是圓的基本性質(zhì)這一章的起始課，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)積累了有關(guān)圓的一些經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課主要是讓學(xué)生能夠理解圓的相關(guān)概念，了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.圓是一種特殊的圖形，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有著重要的價(jià)值.而一堂課好的引入也是學(xué)生思維發(fā)展的開始，因此下文主要針對(duì)圓的概念引入部分進(jìn)行分析.

（一）單一關(guān)聯(lián)引入

單一或單點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，即一種線性的關(guān)聯(lián).根據(jù)SOLO分類理論，這種層次在理解問題時(shí)不能融會(huì)貫通，只能是單方面或從一個(gè)角度來分析問題.只是理解了其中一個(gè)方面或只看到了表面現(xiàn)象，不能將各個(gè)信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)，過于片面或單一，沒有關(guān)注信息本身的內(nèi)部聯(lián)系.單一關(guān)聯(lián)的引入，指教師在概念的建立過程中是直接開門見山地告知，沒有在學(xué)生已有的知識(shí)體系的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)系.

【案例1】

師：同學(xué)們，小學(xué)里我們對(duì)圓已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，那什么是圓呢？（PPT展示圓如圖1）來看一下屏幕，這是什么圖形？

生：圓.

師：你會(huì)畫圓嗎？我們可以借助什么工具？

生：可以用圓規(guī)畫圖.

師：很好，那請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)畫出一個(gè)圓.

（接下來學(xué)生動(dòng)手作圖）

師：那什么樣的圖形可以稱之為圓呢？（緊接著教師邊畫邊講）以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的點(diǎn)組成的圖形叫作圓.或是在同一平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)組成的圖形.

【分析】本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)是理解圓的概念，對(duì)圓的概念是處于理解層次水平.這位教師對(duì)于圓的概念的引入是開門見山，直接給出.學(xué)生最多也只是停留在了解的層次.此時(shí)學(xué)生處于一種被動(dòng)狀態(tài)，如果長期如此，就會(huì)養(yǎng)成等待著老師來告知和灌輸?shù)牧?xí)慣.在今后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在提取信息時(shí)也只能純粹靠記憶來進(jìn)行回憶，沒有真正理解知識(shí)內(nèi)在的關(guān)聯(lián).

（二）多元關(guān)聯(lián)引入

多元或多向關(guān)聯(lián)，即是一種多方面的關(guān)聯(lián).對(duì)于某個(gè)問題學(xué)生能找到多方面的線索之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有機(jī)地整合，將一些零散的珠子串聯(lián)在一起.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能把已知的數(shù)學(xué)內(nèi)容與已有的知識(shí)體系及生活經(jīng)驗(yàn)建立起一定的聯(lián)系.當(dāng)碰到新問題產(chǎn)生認(rèn)知沖突時(shí)，能夠從原有知識(shí)庫中提取相關(guān)聯(lián)的信息幫助理解新的內(nèi)容.

【案例2】

師：在網(wǎng)上幫父母購買過火車票的同學(xué)，想必都碰到過圖2中的圖像驗(yàn)證題.

師：同學(xué)們能找找哪些圖像與圓相關(guān)嗎？

生：圖片（3）、圖片（4）、圖片（5）、圖片（6）、圖片（8）.

師：很好，這些圖像都與圓有關(guān)，小學(xué)里我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓，會(huì)用圓規(guī)畫一個(gè)適當(dāng)?shù)男A.那如果我們想在操場(chǎng)上畫出半徑為5m的圓，你會(huì)畫嗎？（接著引出圓的概念）

【案例3】

師：班會(huì)課上班主任組織同學(xué)們?cè)诓賵?chǎng)上玩套圈的游戲，有5位同學(xué)呈一字排開（如圖3）.你覺得這樣的套圈游戲?qū)γ總€(gè)學(xué)生公平嗎？

生：不公平.

師：為什么？

生：因?yàn)檫@5個(gè)同學(xué)到物體的距離不相等，因此每個(gè)同學(xué)套中的概率也不一樣.

師：那你能幫助這位班主任老師設(shè)計(jì)出合理的套圈方案嗎？

生：可以讓這5個(gè)同學(xué)站成一個(gè)圓形.

師：如何畫出這樣的一個(gè)圓？

生：可以用一根棍子固定在放置物體的位置，量取3m長的繩子繞著棍子旋轉(zhuǎn)一周就可以確定一個(gè)圓.（接著引出圓的概念）

【分析】兩位教師都是從實(shí)實(shí)在在的生活中的問題引入新課，讓學(xué)生體驗(yàn)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.許多生活中的問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決.課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在數(shù)學(xué)課程中要注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，即學(xué)生能將數(shù)學(xué)和外部世界進(jìn)行聯(lián)系[1]7.這兩位教師都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，采用具體圖像利用數(shù)形結(jié)合抽象出本質(zhì).案例2的教師利用外沿是圓形的實(shí)例，讓學(xué)生直接體驗(yàn)圓這個(gè)圖形的形象，增加對(duì)圓的感性認(rèn)識(shí)，為抽象出圓的定義做好準(zhǔn)備.這樣的引入設(shè)計(jì)讓學(xué)生的直覺思維、形象思維得以提升.案例3的教師通過游戲的設(shè)計(jì)，慢慢引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公平的游戲設(shè)計(jì)應(yīng)該是每個(gè)學(xué)生到套圈物體的距離相等. 通過關(guān)聯(lián)圓的知識(shí)，將游戲公平性問題化歸為圓的概念問題，從而為抽象出“平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓”的概念做鋪墊.

（三）拓展關(guān)聯(lián)引入

拓展層次的關(guān)聯(lián)是要求的最高層次，是在知識(shí)、方法上更深層次的，是超越教學(xué)跨越數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)聯(lián).學(xué)生能綜合各種信息來分析問題，能根據(jù)事物的特點(diǎn)抽象出問題的本質(zhì).此種關(guān)聯(lián)的引入能很好地激發(fā)學(xué)生的抽象思維.

【案例4】

師：今天，老師帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下老子的《道德經(jīng)》，在第十一章中講到：“三十輻共一轂，當(dāng)其無，有車之用.埏埴以為器，當(dāng)其無，有器之用.鑿戶牖以為室，當(dāng)其無，有室之用. ”

師：意思是三十根輻條湊到一個(gè)車轂上，正因?yàn)橹虚g是空的，所以才有車的作用.黏土做成器具，正因?yàn)橹虚g是空的，器具才有作用.鑿了門窗蓋成一個(gè)房子，正因?yàn)橹虚g是空的，房子才有作用.此句話中也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，如我們所見的車輪都是什么樣子的？

生：圓形的.

師：為什么是圓形的？方形的可以嗎？

生：當(dāng)然不可以了.

師：為什么不可以呢？今天我們繼續(xù)來探討有關(guān)圓的相關(guān)知識(shí).（引出圓的相關(guān)概念，同時(shí)利用輻條以及車轂引出圓心和半徑的概念）

【分析】案例4的教師是通過老子的《道德經(jīng)》文化背景的引入，超越了數(shù)學(xué)學(xué)科到語文學(xué)科領(lǐng)域.學(xué)生通過文字語言形成圖形語言，又從具體的形象抽象出圓的本質(zhì)特征，讓學(xué)生體驗(yàn)了更高層次的關(guān)聯(lián)，最終化歸為解決圓的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

三、教學(xué)反思

（一）實(shí)例和具體形象的選取及設(shè)計(jì)要注重關(guān)聯(lián)

案例2中教師為了讓學(xué)生對(duì)圓有一個(gè)初步的感知，設(shè)計(jì)了一系列的圖像.如自行車車輪、鐵環(huán)、水滴形成的圓、樹的年輪、靶，這些圖像都有圓的形象.設(shè)計(jì)的圖像中水滴、年輪、飛鏢的靶這些形象其實(shí)就是同心圓.這為后面學(xué)習(xí)同心圓的概念以及圓心角定理強(qiáng)調(diào)要在同圓或等圓中的反例做好了鋪墊.在自行車這個(gè)圖像中其實(shí)也關(guān)聯(lián)了很多圓相關(guān)的知識(shí).如圖4，每一條輻條可以看成是圓的半徑，車轂是圓的圓心，只有這些輻條都相等，即同一平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)組成的車輪在行進(jìn)過程中才不會(huì)出現(xiàn)顛簸.另外鏈條與鏈輪之間的關(guān)系可以抽象成是直線與圓相切的問題.在滾鐵環(huán)的游戲中也有著切線的相關(guān)問題.如圖5樹木年輪呈現(xiàn)是通過工人在鋸樹木的過程中慢慢出現(xiàn)的.隨著這一運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，圓中相關(guān)弦、弧的概念以及直線與圓的位置關(guān)系也就可以順理成章地引出.這是一種運(yùn)動(dòng)辯證發(fā)展的關(guān)聯(lián)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生辯證思維以及了解知識(shí)的發(fā)生過程和知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系有一定的促進(jìn)作用.

因此，在教學(xué)引入部分的設(shè)計(jì)中要注重關(guān)聯(lián).這種關(guān)聯(lián)可以涉及文化、科學(xué)、技術(shù)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維以及解決問題的能力.設(shè)計(jì)的內(nèi)容不能讓學(xué)生被動(dòng)地等待著教師的灌輸，而是要能夠讓學(xué)生在課堂上體會(huì)到多方面的關(guān)聯(lián)，化歸為某一類型的問題，之后能夠內(nèi)化為自身的素養(yǎng).使學(xué)生產(chǎn)生思考和質(zhì)疑，在潛意識(shí)中滲透關(guān)聯(lián)和化歸思想，來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（二）讓關(guān)聯(lián)與化歸形成血液循環(huán)系統(tǒng)

關(guān)聯(lián)與化歸的有機(jī)統(tǒng)一，讓整個(gè)血液循環(huán)系統(tǒng)能夠運(yùn)轉(zhuǎn)起來，才能使心臟跳動(dòng)，血液流動(dòng).在解決某個(gè)問題時(shí)，通過關(guān)聯(lián)能找到多方面的線索，能夠發(fā)現(xiàn)各線索之間的聯(lián)系，對(duì)線索進(jìn)行有機(jī)地整合，把這些血脈連接到心臟.心臟在處理中使用一種手段，通過變化的方式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，從未知領(lǐng)域轉(zhuǎn)到已知領(lǐng)域，最終得以有效解決問題.關(guān)聯(lián)和化歸是難舍難分的，心臟沒有血液將難以跳動(dòng)，血液沒有心臟將無法流動(dòng)，兩者是相輔相成的.

有深度的課堂應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，用數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)頭腦去解決問題和看待世界.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生全面發(fā)展的根本目標(biāo)和基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和靈魂.因此如何進(jìn)行有深度的課堂教學(xué)，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)是我們值得探索的.

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