摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識是新課標(biāo)的要求.平方差公式是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.在平方差公式教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力與心理發(fā)展規(guī)律，有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識.

關(guān)鍵詞：平方差公式；創(chuàng)新意識；幾何直觀；符號意識

伴隨經(jīng)濟(jì)全球化、信息網(wǎng)絡(luò)化、科技現(xiàn)代化、人工智能化的不斷深入，知識經(jīng)濟(jì)時代的來臨，世界人才競爭異常激烈，人才競爭的本質(zhì)是教育的競爭，誰贏得教育，就意味著贏得世界的未來.為此世界各國都在創(chuàng)新發(fā)展本國的教育，以順應(yīng)知識爆炸時代社會發(fā)展與個人發(fā)展的需要.我國的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》 （以下簡稱 《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.”[1]5平方差公式是特殊多項(xiàng)式相乘的重要規(guī)律，是后續(xù)學(xué)習(xí)的公式法因式分解的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在代數(shù)式的恒等變形中有廣泛的應(yīng)用.平方差公式形成教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)，才能實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？本文就此結(jié)合平方差公式教學(xué)，談?wù)劰P者的思考.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

【A設(shè)計(jì)】

首先，創(chuàng)設(shè)情境，給出符合運(yùn)用平方差公式計(jì)算的兩個多項(xiàng)式相乘問題.（1）（a +4）（ a-4）、（2）（2-a）（2+a）、（3）（x+5y）（x-5y）、（4）（2x+y ）（2x-y ）四個問題讓學(xué)生隨意指定一題，教師立即報(bào)出答案，激發(fā)學(xué)生的求知欲.并且指出，老師有什么法寶嗎？學(xué)完本節(jié)課，每個同學(xué)都能達(dá)到這個水平.其次，學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，驗(yàn)證教師的答案.再次，探究為什么教師能直接說出結(jié)果，學(xué)生交流探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.最后，學(xué)生總結(jié)探究結(jié)果，得到平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]，并同時用自然語言與符號語言兩種方式表述平方差公式，并運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則證明公式，運(yùn)用如下圖形面積問題驗(yàn)證公式.

如圖1，將邊長為 a 的大正方形剪去一個邊長為 b 的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖2. 你能用這兩個圖來說明平方差公式嗎？

【B設(shè)計(jì)】

首先，要求學(xué)生做一個小小設(shè)計(jì)師，探究設(shè)計(jì)如下：如圖1，有一塊邊長為a的正方形草坪，一角損壞，邊長為b的正方形損壞，無法使用，請你設(shè)計(jì)一下，剪拼成一個長方形，并把面積表示出來.其次，學(xué)生運(yùn)用準(zhǔn)備好的正方形紙片，分組操作，并請同學(xué)展示操作結(jié)果.（如圖2）通過計(jì)算得出圖2面積為[（a+b）（a-b）]，圖1面積為[a2-b2]，因?yàn)閳D1與圖2的面積相等，所以[（a+b）（a-b）=a2-b2].最后，運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘推理得到平方差公式.

【C設(shè)計(jì)】

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)[a+bm+n].其次，指出具有某種特征的兩個多項(xiàng)式相乘時，它們的乘積會有怎樣的特點(diǎn)，即此式中的[m=a、n=-b]時，則原式化為[a+ba-b].再次，運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘推導(dǎo)公式[a+ba-b]=[a2-b2].最后，運(yùn)用幾何圖形圖1與圖2加以驗(yàn)證說明.

【D設(shè)計(jì)】

首先，教師給出兩道題目，[79×81]、[103×97]，讓學(xué)生搶答.要求學(xué)生不能用筆算.學(xué)生如果能夠快速答出，教師詢問其方法，如果學(xué)生不能答出，教師脫口說出“同學(xué)們，你知道是如何計(jì)算的嗎？”引入新課.其次，給出如下問題串，學(xué)生解答.一是現(xiàn)有兩個數(shù)，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數(shù).二是請把這兩個數(shù)的和與差分別表示出來.三是將所得的和與差相乘并化簡.四是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積等于什么？（讓學(xué)生用自己的語言描述出來）再次，把學(xué)生的答案進(jìn)行歸納總結(jié)，抽象歸納出一般情況，獲得平方差公式，如：[a+ba-b=a2-b2]或[m+n][m-n][=m2-n2]或者[x+yx-y=][x2-y2]等雖然形式不同，但本質(zhì)是一樣的，是兩個特殊多項(xiàng)式相乘，得出平方差公式. 最后，運(yùn)用幾何圖形圖1與圖2加以驗(yàn)證說明.

二、教學(xué)思考

（一）創(chuàng)新意識

首先，《國家創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略綱要》明確我國創(chuàng)新型國家建設(shè)分三步走.第一步，到2020年進(jìn)入創(chuàng)新型國家行列.第二步，到2030年躋身創(chuàng)新型國家前列.第三步，到2050年建成世界科技創(chuàng)新強(qiáng)國.為實(shí)現(xiàn)這個宏偉的目標(biāo)，教育要為現(xiàn)代社會的發(fā)展培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，而創(chuàng)新人才的培養(yǎng)要從娃娃抓起.數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識方面具有不可替代的作用，《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.”[1]5其次，以上四種教學(xué)設(shè)計(jì)，分別運(yùn)用了不同的方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

A設(shè)計(jì)是讓學(xué)生在總結(jié)歸納中發(fā)現(xiàn)平方差公式，學(xué)生通過總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律.這個過程，學(xué)生要經(jīng)過分析、比較、抽象概括等思維活動，把一些特殊問題一般化，總結(jié)出兩個特殊多項(xiàng)式[（a+b）（a-b）=a2-b2]的一般規(guī)律.這個過程，具有一定的創(chuàng)新成分，既能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，又能夠使學(xué)生在獨(dú)立思考中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、總結(jié)規(guī)律.

B設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生在設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)平方差公式.通過設(shè)計(jì)，學(xué)生很自然地發(fā)現(xiàn)[（a+b）（a-b）=a2-b2].問題的探究過程，是學(xué)生對問題充分思考的過程.在此過程中，學(xué)生獨(dú)立思考問題，發(fā)現(xiàn)問題，并提出問題，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新意識.此外，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史也充分說明，在問題的探究過程中，是發(fā)現(xiàn)問題并提出問題創(chuàng)新思維的過程.歷史上費(fèi)馬大定理的證明過程，也充分說明了在問題的探究過程中，能夠發(fā)現(xiàn)問題這一點(diǎn).希爾伯特說：費(fèi)馬大定理是“一只會下蛋的雞”.數(shù)學(xué)家在研究費(fèi)馬大定理的過程中，發(fā)現(xiàn)很多新的數(shù)學(xué)規(guī)律.可見在探究過程中，發(fā)現(xiàn)問題是科學(xué)向前發(fā)展的重要途徑之一.

C設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)過的知識，推理獲得平方差公式.推理論證是科學(xué)向前發(fā)展的非常重要的方法之一，平面幾何的發(fā)展歷程充分說明這一點(diǎn).學(xué)生在推理的過程中，獨(dú)立思考的能力會得到充分的發(fā)展，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識具有不可替代的作用.學(xué)生在學(xué)習(xí)平方差公式前，掌握了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，因此具備了運(yùn)用推理獲得平方差公式的基礎(chǔ)，充分發(fā)揮個體的認(rèn)知能力，通過推理獲得創(chuàng)新.

D設(shè)計(jì)中，運(yùn)用問題串，讓學(xué)生通過問題的不斷深化，遞進(jìn)式地獲得平方差公式.在此過程中，首先要求學(xué)生運(yùn)用字母代替數(shù)，充分體現(xiàn)代數(shù)的思想.其次學(xué)生通過推理獲得表現(xiàn)形式不同的平方差公式，最后通過把不同的表現(xiàn)形式一般化，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，總結(jié)出公式.學(xué)生的思維活動一步一步深入，最后通過歸納總結(jié)獲得創(chuàng)新的體驗(yàn).

總之，創(chuàng)設(shè)的情境要有利于激活學(xué)生創(chuàng)新積極性.數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新是在原生態(tài)的創(chuàng)新環(huán)境下進(jìn)行的，學(xué)生的創(chuàng)新與數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新有本質(zhì)的區(qū)別，學(xué)生是在教師創(chuàng)設(shè)的情境下進(jìn)行，因此情境的創(chuàng)設(shè)要有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平方差公式.四種設(shè)計(jì)中，分別運(yùn)用了歸納創(chuàng)新、推理創(chuàng)新、實(shí)驗(yàn)操作創(chuàng)新情境，從教學(xué)效果上可以看出，分別達(dá)到目的.最后，對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，要充分考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)，要求不宜過高.我國教育家劉佛年教授指出：“只要有點(diǎn)新意思、新思想、新觀念、新設(shè)計(jì)、新意圖、新做法、新方法，就稱得上創(chuàng)造.我們要把創(chuàng)造的范圍看得廣一點(diǎn)，不要把它看得太神秘，非要有新的科學(xué)理論（不可）才叫創(chuàng)造，那就高不可攀了.”[2]因此，教學(xué)中要結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒?，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

（二）幾何直觀

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]7《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何直觀的內(nèi)涵進(jìn)行了描述性說明，運(yùn)用幾何直觀可以使學(xué)生充分地理解數(shù)學(xué).弗萊登塔爾認(rèn)為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”[3]數(shù)學(xué)家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中談到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果，這就是幾何直觀帶給我們的好處.”[4]首都師范大學(xué)劉曉玫教授認(rèn)為：“幾何直觀就是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識事物的能力.”[5]東北師范大學(xué)孔凡哲教授認(rèn)為：幾何直觀是指借助于見到的 （或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象 （空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力[6]. 從以上的描述性定義不難發(fā)現(xiàn)，幾何直觀的本質(zhì)是問題與幾何圖形之間建立聯(lián)系，并運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題從而使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，有利于問題解決.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程充分說明這一點(diǎn).因而運(yùn)用幾何直觀包含三個要素：問題、圖形、聯(lián)系.如果沒有問題與圖形之間的聯(lián)系，就不可能運(yùn)用圖形描述問題與分析問題.圖形為觀察到的圖形、表象表征的圖形、想象的圖形.教學(xué)中要提高學(xué)生運(yùn)用幾何直觀解決問題的能力.

第一，培養(yǎng)學(xué)生問題圖形轉(zhuǎn)化的意識.一是要學(xué)生有這方面的經(jīng)歷，如在列方程解應(yīng)用題中，可運(yùn)用線段圖描述問題，從而使抽象問題直觀形象化，幫助學(xué)生分析問題解決問題.二是幾何問題解決過程中，引導(dǎo)學(xué)生把已知條件圖形化，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀中的直觀解決問題，久而久之，學(xué)生自然會形成一種意識，運(yùn)用幾何圖形可幫助理解數(shù)學(xué)問題.例如：如圖3，已知點(diǎn)B，E，C三點(diǎn)在一條直線上，AB=DC，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，AE=DE，求證：AD∥BC.如圖3、4所示，把已知條件圖形化，運(yùn)用幾何直觀分析問題解決問題.三是幾何命題證明過程中，要學(xué)生學(xué)會依據(jù)自然語言，正確畫出幾何圖形，進(jìn)而培養(yǎng)畫圖意識.

第二，培養(yǎng)學(xué)生理解問題的能力.顯然學(xué)生要理解數(shù)學(xué)問題，這樣才能夠把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀問題，否則也就無從談幾何直觀了.

第三，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力.對學(xué)生的畫圖能力（包括畫函數(shù)圖象能力）的培養(yǎng)要高度重視，從而提高學(xué)生運(yùn)用幾何直觀解決數(shù)學(xué)問題的能力.

第四，要為學(xué)生運(yùn)用幾何圖形理解數(shù)學(xué)問題搭建必要的平臺.眾所周之，學(xué)生要積累用幾何圖形理解非直觀數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn).經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過內(nèi)化也是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分，可以成為同化新知識的固著點(diǎn)，這樣才能提高學(xué)生的問題圖形轉(zhuǎn)化能力.

第五，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題的能力.函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的典范，一是要學(xué)生深刻理解平面直角坐標(biāo)系.平面直角坐標(biāo)系是數(shù)形結(jié)合的橋梁，只有理解，才能在數(shù)與形之間建構(gòu)起自然的聯(lián)系.二是要學(xué)生理解函數(shù)圖象.初中生理解圖象的能力不強(qiáng)，很多同學(xué)觀察圖象時，觀察不出函數(shù)性質(zhì)，要靠教師歸納的形象語言來死記，不能通過觀察理解圖象得到函數(shù)性質(zhì).當(dāng)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合時，不理解幾何直觀與代數(shù)問題的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而不會運(yùn)用幾何與代數(shù)的聯(lián)系解決問題.因此學(xué)生觀察理解圖象能力要加以培養(yǎng).把平方差公式與幾何圖形的面積聯(lián)系起來，運(yùn)用幾何圖形的面積問題說明平方差公式，本節(jié)課設(shè)計(jì)A、B、C、D分別運(yùn)用幾何直觀，說明或推導(dǎo)平方差公式，充分培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識與能力.

（三）符號意識

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.”[1]5數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，由具體實(shí)物抽象出數(shù)，是數(shù)學(xué)的第一次抽象.用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)的第二次抽象，學(xué)生要經(jīng)歷由字母表示數(shù)，再到用字母表示代數(shù)式的過程，對初中生來說，要經(jīng)歷這一過程，才能體會代數(shù)的基本思想.本節(jié)平方差公式具有一般性的規(guī)律，是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言與符號語言來表達(dá)的，在公式的獲得過程中，要充分培養(yǎng)學(xué)生的符號意識.設(shè)計(jì)A由學(xué)生通過四個具體的例子，分析、比較、抽象、歸納、概括得到平方差公式，而這個公式如何表達(dá)，可以運(yùn)用自然語言表達(dá)，可以運(yùn)用字母表達(dá)，這個過程就是培養(yǎng)學(xué)生符號意識的過程.D設(shè)計(jì)，首先提出問題，須用字母表示數(shù)，然后不同的學(xué)生運(yùn)用的字母可能是不同的，因此得到的式子表面上是有區(qū)別的，如：[a+ba-b][=a2-b2]，[x+yx-y=x2-y2]，[m+nm-n][=m2-n2]，最后進(jìn)行歸納總結(jié)，得出平方差公式.這個過程，要求學(xué)生對代數(shù)的思想有深刻理解，才能形成統(tǒng)一的符號化表示.總之，要求學(xué)生通過歸納概括抽象出公式的一般形式，這個過程就是一個符號化的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號意識以及提高學(xué)生的抽象能力.

綜上，一是四種教學(xué)設(shè)計(jì)各具特色，雖然獲得平方差公式的過程略有不同，但都能從提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識視角進(jìn)行設(shè)計(jì).二是四種設(shè)計(jì)都從學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，讓學(xué)生同化新知識.三是學(xué)生創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)工程，不是一朝一夕就可以完成的，需要長期運(yùn)用各種方法、多角度對學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]劉海濤.當(dāng)前初中數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)須關(guān)注的兩大問題[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2016（2）：61-65.

[3]劉海濤.基于數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)的相似三角形教學(xué)思考[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2017（7/8）：32-35.

[4]劉海濤.初中數(shù)學(xué)綜合題的教學(xué)難點(diǎn)分析及對策[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（9）：81.

[5]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識與分析[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（1/2）：23-25.

[6]孔凡哲，史寧中. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識[J].課程·教材·教法，2012（7）：92-97.