史露娜 蘭蓉

摘 要： 針對圖像模糊集模型的構(gòu)造問題，提出一種基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法。該算法選取有代表性的幾種隸屬度函數(shù)在給定灰度處的中值作為新的隸屬度值，即提取多個隸屬度值的一維統(tǒng)計特征，將灰度圖像轉(zhuǎn)化為一個模糊集合，再以[α]?型模糊散度為目標函數(shù)尋找最佳閾值。仿真結(jié)果顯示了該算法的有效性。

關(guān)鍵詞： 閾值分割； 隸屬度函數(shù)； 模糊集； 中值； 模糊散度； 圖像分割

中圖分類號： TN911.73?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）11?0040?06

Threshold segmentation algorithm based on median of fuzzy membership degree

SHI Luna， LAN Rong

（Xian University of Posts and Telecommunications， Xian 710061， China）

Abstract： A threshold segmentation algorithm based on median of fuzzy membership degree is proposed to construct a fuzzy set model for an image. The median （at a preset gray level） of several representative membership?degree functions is selected in the algorithm as the new membership degree value， that is， the one?dimensional statistical characteristic of multiple membership degree values is extracted to convert the gray image into a fuzzy set， and then search the optimum threshold by taking α?type fuzzy divergence as the objective function. The simulation results show that the algorithm is effective.

Keywords： threshold segmentation； membership degree function； fuzzy set； median； fuzzy divergence； image segmentation

0 引 言

圖像分割是一種重要的圖像處理技術(shù)，其目的是根據(jù)實際需求把圖像分成具有各自特征信息的子圖像，從而將感興趣或有價值的目標提取出來，進行識別和分析[1]。它是由圖像預(yù)處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟[2?3]。

由于具備原理簡單、性能穩(wěn)定的特點，基于閾值的圖像分割方法成為一種最基本、應(yīng)用最為廣泛的分割方法，因此受到廣泛關(guān)注[4?5]。閾值分割的基本原理是根據(jù)圖像像素灰度值的差異性，選取一個或者多個灰度值作為閾值，對圖像中的目標或區(qū)域進行分割。由于圖像是對客觀存在物體的一種相似性的生動模仿與描述，是對物體的一種不完全、不精確的描述。因此，模糊集理論作為處理不精確信息的有力工具，被廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，其中基于模糊理論及其推廣概念的閾值分割算法成為研究熱點之一[6?7]，也是本文的主要研究內(nèi)容。

在基于模糊集理論的圖像分割算法中，采用合適的方式將圖像轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的模糊集，即獲得圖像的隸屬度函數(shù)是關(guān)鍵環(huán)節(jié)[8]。目前，研究者根據(jù)自身的偏好選擇常用的圖像隸屬度函數(shù)，具有不可避免的主觀色彩。因此，如何在現(xiàn)有的多種模糊隸屬度函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過模糊信息集結(jié)的思想構(gòu)造圖像的模糊集模型是解決此問題的新思路[9]。

文獻[9]中提出一種基于隸屬度值算術(shù)平均值的分割算法（以下稱其為算術(shù)平均算法）對多種信息進行均衡化處理，達到了較好的分割效果，但這種均衡始終依賴于所選的隸屬度函數(shù)，隸屬度值偏大或偏小也將影響該算法的分割效果。受到算數(shù)平均算子的啟發(fā)，同時作為算術(shù)平均算法的一種必要補充，本文提出一種新的隸屬度函數(shù)構(gòu)造方法，即基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法。該方法在現(xiàn)有的具有代表性的幾種隸屬度函數(shù)基礎(chǔ)上，選取其中值作為新的隸屬度值將灰度圖像轉(zhuǎn)化為模糊集合，再以[α]?型模糊散度為目標函數(shù)尋找最佳閾值實現(xiàn)分割。因此，該算法依靠圖像模糊隸屬度值的中值，一種常用的一維統(tǒng)計特征獲得圖像的隸屬度。由于將多種隸屬度函數(shù)在給定灰度處的中值作為新的隸屬度值，改善了單一隸屬度函數(shù)對不同特征圖像的低匹配性，同時，在一定程度上避免了算術(shù)平均算法的極端值帶來的影響。

1 灰度圖像的模糊集表示

所謂模糊性，是指概念或?qū)ο蠹嬖谕庋硬幻鞔_性，即這些集合具有“亦此亦彼”的過渡性質(zhì)[10]。模糊集合突破了經(jīng)典集合理論的局限，更符合客觀實際。模糊集合采用隸屬函數(shù)描述模糊性、不精確性信息。因此，隸屬函數(shù)是表示模糊集合的基本手段，也是模糊集合應(yīng)用的基礎(chǔ)。根據(jù)對象的特點，合理地確定隸屬函數(shù)成為模糊集應(yīng)用的關(guān)鍵之一。然而，如何建立隸屬函數(shù)至今仍無統(tǒng)一的方法可循，其確定往往具有一定的主觀色彩。

1.1 模糊集

在模糊集合理論中，一般用隸屬度描述模糊集合[11]，則其相關(guān)概念定義如下：

定義1：設(shè)[X]是論域，則[X]上的模糊集[A]可表示為：

[A=（x，μA（x））：x∈X]

其中，映射：

[μA：X→[0，1]]

稱為模糊集[A]的隸屬度函數(shù)。令[F（X）]表示[X]上的所有模糊集之集。

1.2 灰度圖像的模糊集表示

在建立圖像的模糊集模型時，常用的隸屬度函數(shù)構(gòu)造方法有以下四種。

1.2.1 Gamma型隸屬度函數(shù)

Gamma型隸屬度函數(shù)是由文獻[12]提出的，其是在假設(shè)圖像灰度分布滿足Gamma分布的基礎(chǔ)上，獲得圖像隸屬度函數(shù)的方法。

假設(shè)T為分割閾值，則得到圖像的隸屬度函數(shù)為：

[μGammaI（g，T）=exp（-cg-mB），g≤Texp（-cg-mF），g>T]

式中：[c=1gmax-gmin]，[gmax]為圖像灰度的最大值，[gmin]為圖像灰度的最小值。目標與背景的均值可利用相應(yīng)圖像I的灰度直方圖[hI]分別計算：

[mB=g=0TghI（g）g=0ThI（g）， mF=g=T+1L-1ghI（g）g=T+1L-1hI（g）]

1.2.2 限制等價函數(shù)

使用限制等價函數(shù)的概念建立圖像的隸屬度函數(shù)，實現(xiàn)圖像的閾值分割，是由文獻[13]提出的，并給出如下5種具體的計算公式：

[μREF1I（g，T）=1-cg-mB， g≤T1-cg-mF， g>T]

[μREF2I（g，T）=1-（cg-mB）2， g≤T1-（cg-mF）2， g>T]

[μREF3I（g，T）=1-（cg-mB）0.5， g≤T1-（cg-mF）0.5， g>T][μREF4I（g，T）=（1-cg-mB）2， g≤T（1-cg-mF）2， g>T]

[μREF5I（g，T）=（1-cg-mB）0.5， g≤T（1-cg-mF）0.5， g>T]

式中常值c的取值與[μGammaI（g，T）]中的取值一致。

1.2.3 基于對數(shù)的隸屬度函數(shù)

文獻[14]利用指數(shù)函數(shù)提出基于對數(shù)函數(shù)的隸屬度函數(shù)，其計算公式如下：

[μexpI（g，T）=exp（-log（2）（cg-mB）2）， g≤Texp（-log（2）（cg-mF）2）， g>T]

式中常值[c]的取值與[μGammaI（g，T）]中的取值一致。

1.2.4 基于加權(quán)平均算子的隸屬度函數(shù)

文獻[9]中，算術(shù)平均算法采用算術(shù)平均算子，選取[n]種隸屬度函數(shù)，分別為[μI1（g，T），μI2（g，T），…，μIn（g，T），]得到圖像的算術(shù)平均隸屬度函數(shù)如下：

[μ′I][（g，T）=1nμI1（g，T）+μI2（g，T）+…+μIn（g，T）]

2 基于中值法的隸屬度函數(shù)

每一種隸屬度函數(shù)都有各自的適應(yīng)對象，即對某些圖像能很好地提取圖像特征，但對其他的圖像效果卻很差。因此，選取合適的構(gòu)造函數(shù)得到對應(yīng)的模糊集是其中最關(guān)鍵的步驟。

算術(shù)平均算法利用多個模糊隸屬度函數(shù)構(gòu)造一個新的隸屬度函數(shù)，實現(xiàn)了信息的均衡化處理，在一定程度上避免了閾值過大或過小的問題。這種算法依賴于單一型隸屬度函數(shù)的選取，隸屬度值偏大或偏小會影響到該算法對圖像的分割效果。為避免算術(shù)平均算法的極端值帶來的不利影響，本文提出采用模糊隸屬度中值獲得圖像的模糊隸屬度函數(shù)。

設(shè)[μ1g，T，μ2g，T，…，μn（g，T）]為[n]個隸屬度函數(shù)，簡記為[μ1（g）， ][μ2（g），…，][ μn（g）]。先對其進行排序，簡記為[μ1（g），μ2（g），…，μn（g）]，再計算它們的中值[Me（g）]，即：

[Me（g）=median{μ1（g），μ2（g），…，μn（g）}]

則，隸屬度中值定義為：

[Me（g）=μi+12（g）， i為奇數(shù)μi2（g）+μi+22（g）2， i為偶數(shù)]

式中[i]表示位數(shù)，取正整數(shù)。

選取如下有代表性的5種隸屬度函數(shù)[μGammaIg，T，μREF1I（g，T），μREF2I（g，T），μREF3I（g，T），][μexpI（g，T）]作為構(gòu)建模糊隸屬度中值法所需的隸屬度函數(shù)。先對這5種隸屬度函數(shù)值進行排序，依次順序簡記為：

[μ1I（g），μ2I（g），μ3I（g），μ4I（g），μ5I（g）]

然后對這5種隸屬度函數(shù)在特定灰度處的隸屬度值取中值：

[Me（g）=medianμ1I（g），μ2I（g），…，μ5I（g）] （1）

其中，[μ1I（g），μ2I（g），…，μ5I（g）]為相應(yīng)的隸屬度值。再根據(jù)：

[Me（g）=μ3I（g）] （2）

計算并得到圖像灰度值[g]的隸屬度函數(shù)值。

3 基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法

閾值化分割算法通過構(gòu)造隸屬度函數(shù)，將圖像轉(zhuǎn)化為一個模糊集合，需要采用目標函數(shù)優(yōu)化的方法確定最佳閾值，然后通過二值化實現(xiàn)圖像分割，將目標與背景分離。本文中目標函數(shù)采用[α]?型模糊散度公式[15]，具體計算如下所示。

定義2：設(shè)[X]為有限論域，則模糊集[A，B∈F（X）]之間的模糊散度：

[ D（A，B）=1α-1i=1n2α-1μαA（xi）（μA（xi）+μB（xi））α-1+ 2α-1（1-μA（xi））α（2-μA（xi）-μB（xi））α-1-1+ 2α-1μαB（xi）（μA（xi）+μB（xi））α-1+2α-1（1-μB（xi））α（2-μA（xi）-μB（xi））-1]

其中[α>0]且[α≠1]。

本文采用基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法，選取模糊散度[D（A，B）]作為目標函數(shù)。比較不同T時模糊散度的取值，模糊散度最小時對應(yīng)的T值作為最佳閾值。[α]取經(jīng)驗值0.5。

下面是基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法的具體步驟：

步驟1：選擇構(gòu)建模糊隸屬度中值法所需的隸屬度函數(shù)：

[μGammaIg，T，μREF1Ig，T，μREF2Ig，T，μREF3Ig，T，μexpIg，T]

步驟2：對選取的隸屬度函數(shù)在特定灰度處的隸屬度值進行排序，再結(jié)合式（1）和式（2）計算得到圖像灰度值[g]的隸屬度函數(shù)值。

步驟3：計算[D（I，B）]，取散度最小時的[T]值為最佳分割閾值。

對于理想分割圖像[B]，其隸屬度函數(shù)為：

[μB（g）=1， g∈0，1，2，…，L-1]

因此，模糊散度公式可簡化為：

[D（I，B）=1α-1i=1n2α-1μαI（xi）（μI（xi）+1）α-1+2α-11-μI（xi）+2α-1（μI（xi）+1）α-1-2]

則選取最佳閾值的目標函數(shù)為：

[Topt=argminTD（I，B；T）]

其中[T∈{0，1，2，…，L-1}]。

4 仿真實驗

為了驗證本文提出的基于模糊隸屬度中值的閾值分割算法的有效性，進行了仿真實驗。實驗是在配置為intel core i5處理器，4 GB內(nèi)存的計算機上運行的，仿真環(huán)境為Matlab。選取標準測試圖像cameraman.jpg，number.tif，image1.bmp，image2.bmp， image3.bmp，image4.bmp分別進行仿真實驗，比較閾值分割的效果。所選圖像均為灰度圖像，且均為單閾值分割。

圖1～圖6為選擇不同隸屬度函數(shù)對圖像進行分割的效果對比圖。

圖像采用的原圖如圖1～圖6中的圖a）所示，圖b）為相應(yīng)原圖對應(yīng)的灰度直方圖。圖1，圖2中，圖c）～圖i）為選擇不同隸屬度函數(shù)所對應(yīng)的圖像分割效果圖；圖3～圖6中，圖c）為理想分割圖，圖d）～圖j）為選擇不同隸屬度函數(shù)所對應(yīng)的圖像分割效果圖。

由圖1可知，所有參與對比的算法均能獲得較為完整的目標，圖1c）與圖1e）結(jié)果一致，圖1d）與圖1f）結(jié)果一致，都含有大量的噪聲，效果不是很理想，算術(shù)平均法將部分背景像素錯誤地歸為目標，REF3算法將少量的背景像素錯誤地歸為目標，而本文算法能得到圖1a）較為理想的分割效果。由圖2c），d），e），f），h）可知，基于Gamma分布，限制等價函數(shù)REF1，REF2，指數(shù)型的對數(shù)函數(shù)及算術(shù)平均算法構(gòu)造圖像模糊集模型的方法完全失效，無法識別目標；圖2g）顯示：限制等價函數(shù)REF3算法將部分目標像素錯誤地歸為背景；相比這些算法，本文算法能較好地分割出number原圖。

圖1， 圖2是直觀分析，圖3[～]圖6中由于有理想分割圖，可以定量去分析，其實驗結(jié)果如下所示。

在圖3～圖6中，將各個算法的分割圖像與理想分割圖像進行對比，可得每種具體算法的分割準確率[16]，其中圖像分割準確率可以用來評估算法的性能，表1是7種不同算法分割效果的準確率。

在圖3～圖5中，將每種算法結(jié)果圖與其對應(yīng)的理想分割圖相比較，可以看出，前6種算法不能將目標完整地分割出來，本文算法較這6種算法，完整地分割出了目標圖像。再結(jié)合表1可得：針對同一幅圖像的分割實驗，本文算法的準確率比其他6種算法的準確率高，可驗證本文算法的有效性。圖6中，雖然不能直觀地看出本文算法分割效果的優(yōu)勢，但通過表1可以看出image4圖像中本文算法的分割準確率比其他算法的分割準確率高，驗證了本文算法的有效性。本文算法采用隸屬度函數(shù)中值法，選取有代表性的5種隸屬度函數(shù)在特定灰度處的中值作為新的隸屬度值，即提取多個隸屬度值的一維統(tǒng)計特征，改善了單一隸屬度函數(shù)對不同特征圖像的低匹配性，同時避免了算術(shù)平均算法極端值的影響，在一定程度上改進了算術(shù)平均算法的分割效果，得到了更好的分割效果。

5 結(jié) 語

本文針對基于模糊集理論的灰度圖像閾值分割算法進行研究，由于常用的圖像隸屬度函數(shù)均由研究者根據(jù)自身的偏好選擇而來，具有不可避免的主觀色彩，因此，采用模糊集理論與信息集結(jié)的思想提出基于隸屬度函數(shù)中值法的閾值分割算法。該算法首先采用5種隸屬度函數(shù)在給定灰度處的中值作為新的隸屬度值，即提取多個隸屬度值的一維統(tǒng)計特征，將灰度圖像轉(zhuǎn)化為一個模糊集合，再以[α]?型模糊散度為目標函數(shù)尋找最佳閾值，通過二值化實現(xiàn)圖像分割。與單一型隸屬度函數(shù)的算法進行對比，本文算法在一定程度上避免了主觀因素的影響。與文獻[9]中同樣基本信息集結(jié)思想所給出的算術(shù)平均值法對比，可以看到，本文算法可以較為有效地分割出算術(shù)平均算法所不能處理的一部分圖像。本文算法采用多種隸屬度函數(shù)在特定灰度處的中值作為新的隸屬度值，一方面改善了單一隸屬度函數(shù)對不同特征圖像的低匹配性，另一方面，在一定程度上避免了算術(shù)平均算法的極端值帶來的影響，因此得到了較好的分割效果。

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