郭海峰，魯寧波

(沈陽理工大學 自動化與電氣工程學院，沈陽 110159)

由于移動機器人在深空探測、安全與搜救、采礦、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、物流以及軍事等領域有著廣闊的應用前景，近年來已經(jīng)發(fā)展成為研究的熱點[1-7]。在移動機器人軌跡跟蹤的理論研究中，一般假設輪子與地面間只發(fā)生純滾動無側向和縱向滑動運動，這種理想假設使輪式移動機器人成為一種典型的多輸入多輸出的非完整約束動力學系統(tǒng)。另外在工程實踐中，移動機器人軌跡跟蹤控制問題存在大量的不確定性，如由于負載變化導致機器人平臺的質(zhì)量及慣性參數(shù)的不確定、因磨損等導致機器人結構參數(shù)的不確定以及外部干擾的不確定性等，這使得非完整機器人系統(tǒng)是一類高度非線性、強耦合、欠驅動、時變的動力學不確定系統(tǒng)，難以找到一種通用的、效果較好的控制方法實現(xiàn)其運動軌跡跟蹤控制。目前的研究主要有自適應控制、滑模變結構控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡等智能控制方法[1-7]，雖然在特定情況下取得較好的控制效果，但各種方法都有其局限性，如自適應控制具有固定的結構和可變的參數(shù)，對結構不確定性有較好的適應能力,但卻無法解決非結構不確定性問題[1]。處理這種具有外部干擾條件和內(nèi)部參數(shù)攝動的復雜不確定非線性的非完整機器人系統(tǒng)，魯棒H∞控制理論具有一定的優(yōu)勢。而非線性系統(tǒng)的控制問題很多時候可以轉化為變增益控制問題，這種方法在航空航天領域已經(jīng)得到應用[8-9]。此方法首先設計局部控制器,然后在已有局部控制器的基礎上綜合得到全局控制器。近年來，由于魯棒控制的不斷發(fā)展，變增益控制也得到一定的發(fā)展，其中線性變參數(shù)(Linear parameter varying,LPV)方法已經(jīng)得到實際應用[9]。

本文針對非完整機器人非線性動力學模型，在外部擾動和內(nèi)部參數(shù)攝動情況下進行魯棒H∞控制設計，使得機器人軌跡跟隨理想軌跡。本文的主要工作：1)根據(jù)Euler- Lagrange方程建立非完整移動機器人的動力學模型；2) 確定非完整機器人的運動范圍，利用變增益LPV凸分解技術，將這一動態(tài)模型轉化為具有凸多面體結構的LPV模型；3) 根據(jù)魯棒控制理論和線性矩陣不等式理論，在凸多面體的各個頂點設計變增益控制器，然后利用各個頂點控制器綜合得到全局變增益控制器； 4) 最后給出一個仿真算例。結果表明,對于非完整機器人軌跡跟蹤問題，這種算法得到的控制器具有較好的跟蹤性能。

1 非完整移動機器人的模型

圖1為非完整機器人結構。

圖1 非完整移動機器人的結構

圖1所示非完整移動機器人包含一個前面的隨動輪和后面兩個安裝在同一個軸上的差速驅動輪，分別由兩個直流電機驅動。使得移動平臺直行或轉彎。機器人關注點的廣義位置坐標q=[x,y,θ]T,兩個輪子有相同的半徑r，兩個驅動輪的距離為2L；F為移動平臺的關注點，其坐標為(xF,yF)，G為兩輪軸線的重點，G點的坐標為(xG,yG)；左右輪的力矩分別為τl、τr， G點與F點的之間的距離為d。

1.1 移動機器人的運動學模型

根據(jù)圖1，可知F、G兩點的位置存在如下關系

(1)

根據(jù)(1)可以得到兩點的速度關系

(2)

假設移動平臺在低速狀態(tài)下運行，且驅動輪與地面之間僅有滾動無滑動。那么F點的速度滿足以下約束方程

(3)

寫成矩陣形式

(4)

式中，AT(q)=[sinθ-cosθd]，

根據(jù)文獻[2]，推導出移動平臺關注點速度以及平臺轉動角度與左右輪速度之間的運動方程。

(5)

式中vl、vr分別為左輪和右輪的速度。

通過(5)式，可得到關注點F的速度與左右輪速度的關系及其雅克比矩陣。

(6)

將(6)式寫成如下形式

(7)

J是左右輪轉速到移動平臺關注點速度的雅克比矩陣，反映了輪子轉速與關注點速度之間的關系。

1.2 移動機器人的動力學模型

直接應用拉格朗日方程不能得到關于非完整約束的機器人動力學方程。通常，非完整移動機器人有n個廣義坐標，且服從m維約束，通過修正后的拉格朗日方程可以得到機器人的動力學模型[3]

(8)

式中：M(q)∈Rn×n是正定的對稱慣量矩陣，

B(q)∈Rn×r是輸入轉換矩陣，

τ∈Rr×1是輸入向量；A(q)∈Rn×m是與約束相關的矩陣；λ∈Rm×1是約束力項。

(9)

矩陣S(q)包含了AT(q)零空間的基向量，基向量的選擇很重要，這里令速度矢量有實際意義，分別取左輪和右輪的速度，所以S(q)選取如下

(10)

對式(9)兩邊取微分得

(11)

將式(11)帶入到式(8)，兩邊同時左乘ST(q)得到下式

(12)

式中：

所以式(12)簡化為下式

(13)

式(6)帶入到式(13)，可得到關注點F的加速度與力矩之間的關系

(14)

式(14)中M2、V2依賴于參數(shù)θ。所以處理后的系統(tǒng)是一個參數(shù)依賴系統(tǒng)，這為后面的控制器設計提供了極大方便。

1.3 移動機器人的LPV模型

本文控制目標是移動平臺的關注點的軌跡能夠跟蹤參考軌跡，對系統(tǒng)(14)設計如下控制器

(15)

式(15)帶入到式(14)，有

(16)

狀態(tài)方程為

(17)

考慮文獻[9]的方法，由于矩陣A、B都依賴于參數(shù)θ，其范圍是：0≤θ≤2π，所以取0和2π作為頂點，利用LPV方法對式(17)進行處理得到

(18)

2 變增益LPV魯棒H∞控制器設計

首先給出LMI區(qū)域的定義。

定義1[10]對復平面區(qū)域D，如果存在矩陣LT=L∈Rm×m和矩陣M∈Rm×m滿足以下條件

D={s∈C∶fD(z)<0}

則稱D是一個以fD(z)為特征函數(shù)的線性矩陣不等式區(qū)域(LMI區(qū)域)。其中，fD(z)是埃爾米特矩陣。實際上LMI區(qū)域就是一個線性矩陣不等式的可行解區(qū)域。

下面對于任意的LMI區(qū)域D，將移動機器人的LPV模型在頂點處設計滿足極點配置的控制器。對于式(18)分別在θ=0和θ=2π設計滿足極點配置和H∞性能要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K1、K2，則對于任意的θ，可利用以下方法得到相應的控制器：

K=ρ1(θ)K1+ρ2(θ)K2

(19)

在每個頂點的位置，LPV模型退化為LTI模型

(20)

式中：w為機器人的外部擾動，這里令其為參考軌跡；z為誤差輸出，要求機器人能夠準確跟蹤參考軌跡，既要求在w輸入下，z具有H∞性能。

對于系統(tǒng)(20)，設計一個狀態(tài)反饋控制器

u=Kx

(21)

將式(9)帶入到式(8)中，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)

(22)

則系統(tǒng)(10)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

Twz=(sI-A-B2K)-1B1

(23)

本文的目的是設計狀態(tài)反饋控制器(21)滿足以下兩個條件：

1) 閉環(huán)極點配置到一定的LMI區(qū)域；

2) 保證閉環(huán)系統(tǒng)H∞性能‖Twz‖∞<γ，γ為給定常數(shù)。

為取得滿意的性能，這里將閉環(huán)極點配置要求α=2(在復平面-2的左邊)，這樣可以保證衰減速率。XD是正定矩陣，根據(jù)特征函數(shù)可以得到描述該區(qū)域的線性矩陣不等式

(A+B2K)XD+XD(A+B2K)T+2αXD<0

(24)

有界實引理[10]：假設γ>0，設計的控制器(21)要求滿足以下性質(zhì)：

1)閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定并且

‖TwZ‖∞=‖(SI-A-B2K)-1B1‖∞<γ。

(25)

成立。

定理：對于系統(tǒng)(20)，給定γ>0，?XT=X>0，和矩陣W=KX，滿足以下不等式約束

(A+B2K)XD+XD(A+B2K)T+2αXD<0

如果X*和W*為上述不等式的可行解，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為u=W*(X*)-1x，該控制器不僅可保證H∞性能，且可以保證把閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到相應的區(qū)域。

用LMI中的feasp來求解該線性矩陣不等式。

根據(jù)以上所述，在頂點處綜合局部控制器，根據(jù)式(19)可得到任意θ的控制器。

3 仿真算例

圖2 主仿真界面

圖3 子系統(tǒng)界面

相關參數(shù)如表1所示。

表1 移動機器人的參數(shù)

K2=

以及與定點相對應的閉環(huán)極點

(-3.8535±3.5438i),(-2.8004±0.8134i)

由以上兩個反饋增益矩陣，通過式(19)得到整個LPV變增益反饋矩陣，通過在線計算ρi(i=1,2)，可得到具體位置的增益反饋矩陣

K=ρ1(q)K1+ρ2(q)K2，且ρ1+ρ2=1

據(jù)以上所述，得到系統(tǒng)的變增益控制器u=Kx。

在仿真中，移動機器人末端理想軌跡方程為xd=cos(t)和yd=sin(t)，根據(jù)本文所提出的方法設計控制器，機器人在x、y方向的運動軌跡如圖4所示。

圖4是機器人在參考輸入下，分別在x、y方向的運動軌跡方程。圖5給出兩關節(jié)控制器輸出控制力矩的響應曲線。圖6顯示移動機器人軌跡跟蹤曲線，關注點軌跡的相應曲線基本與參考軌跡重合，圖6中實線為實際運動軌跡，虛線為參考軌跡。結果表明，采用這種控制方法，移動機器人關注點的位置變化具有良好的跟蹤性能。

圖4 機器人在x、y方向的運動軌跡

圖5 兩關節(jié)控制力矩響應曲線

圖6 機器人軌跡跟蹤曲線

4 結論

移動機器人軌跡跟蹤模型中存在動態(tài)不確定性和外部干擾的不確定性，使得模型具有時變、強耦合、非線性等復雜的動力學特性。本文引入變增益LPV魯棒H∞控制方法，設計了移動機器人軌跡跟蹤控制器。仿真結果表明：機器人手臂關節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

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