成 樞，郭祥琳，馮東恒

(山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590)

用于變形預(yù)測的方法很多，例如，時間序列、灰色系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和卡爾曼濾波等。每種預(yù)測方法都有自己的特點[1-3]，如：時間序列分析法可以較好地擬合出序列中的趨勢項；灰色模型能通過小樣本數(shù)據(jù)實現(xiàn)對系統(tǒng)運行規(guī)律的正確描述。但是，每一種單一方法也有自身的局限性[1,3-4]，如：時間序列模型難以適應(yīng)隨時間和環(huán)境而變化的影響因素，進而影響預(yù)測的精度；灰色模型對起伏較大的數(shù)據(jù)擬合精度較低且隨著建模序列長度的增加使模型不穩(wěn)定。在工程實踐中，通常選擇兩種及以上的模型進行組合。國內(nèi)外學者對組合模型進行了深入的研究，格雷特等[5]把組合方法分為兩水平組合方法和通過“合奏”方式進行的組合方法，兩種形式的組合方法都相應(yīng)的提高了預(yù)測的精度，但通過“合奏”方式并沒有真正避免單一模型所具有的局限性。通過對灰色系統(tǒng)和時間序列組合[6-7]，證明了灰色-時序模型較單一模型的預(yù)測精度有了很大提高；通過對灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合[8]，證明了組合模型能兼顧二者的優(yōu)點。但這些與灰色模型組成的組合模型都未能避免灰色模型自身因預(yù)測長度的增加而使預(yù)測精度逐漸降低的弊端。

本文針對灰色系統(tǒng)隨著預(yù)測的進行，因序列過長使模型不穩(wěn)定的問題，改進了灰色模型，使得進行建模的序列達到了一個動態(tài)平衡的目的。通過灰色系統(tǒng)與時間序列進行模型組合，對地鐵沉降作預(yù)測，并給出本模型的評價指標。利用已有監(jiān)測數(shù)據(jù)建立組合模型，同時對組合模型的效果進行檢驗與分析。

1 GM-AR組合模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色系統(tǒng)[9]由鄧聚龍教授于1982年提出，根據(jù)灰色系統(tǒng)建立灰色預(yù)測模型，對數(shù)據(jù)下一階段的變化趨勢進行預(yù)測。在灰色預(yù)測模型中，其核心內(nèi)容是GM(1,1)預(yù)測模型的建立[10]。

(1)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

隨著時間的推進，地表沉降的因素會發(fā)生變化[11]，原有預(yù)測模型難以適應(yīng)新變化。由灰色系統(tǒng)的理論可知，倘若在這種情況下仍使用原預(yù)測模型，很難保證預(yù)測模型的精度和可靠性，為此可用改進的GM(1,1)預(yù)測模型進行地鐵沉降的預(yù)測。

1.2 改進的GM(1,1)模型

在此基礎(chǔ)上再進行預(yù)測。

1.3 AR模型

常見的時間序列模型有三種[14]，即AR(自回歸)模型、MA(移動平均)模型和ARMA(自回歸移動平均)模型，其中AR模型和MA模型是ARMA模型的特殊形式。研究表明，高階的ARMA模型可由高階的AR模型來代替[15]，因此本文采用AR模型。AR模型在時刻t的響應(yīng)Xt僅與其以前時刻的響應(yīng)Xt-1，Xt-2，…，Xt-n有關(guān)，其數(shù)學表達式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φnXt-n+wt.

(2)

式中：ω(i=1,2,…,n)為模型自回歸系數(shù)；wt為白噪聲。

1.4 GM-AR組合預(yù)測模型

本文采用灰色GM(1,1)預(yù)測模型處理監(jiān)測數(shù)據(jù)序列中的趨勢項，以此來反應(yīng)數(shù)據(jù)序列的發(fā)展動向；采用AR預(yù)測模型處理監(jiān)測數(shù)據(jù)序列中的波動項即對殘差序列進行預(yù)測；將兩者相加作為最終的預(yù)測結(jié)果。

1)趨勢項的確定。對灰色GM(1,1)模型求解可得

(3)

(4)

2)波動項的確定。在采用AR模型對殘差序列進行預(yù)測時，首先要對殘差序列的平穩(wěn)性進行檢驗，最常用的檢驗法為逆序檢驗法。

設(shè)殘差序列為e，即

e={e1,e2,…,eM}.

統(tǒng)計量Z為

(5)

若|Z|<1.96，說明殘差序列是平穩(wěn)的，否則殘差序列是非平穩(wěn)的，需對殘差序列進行差分處理，直至殘差序列平穩(wěn)。

其次要為AR模型定階。本文采用AICC準則對模型的階數(shù)進行判定，即

(6)

由上式計算AR模型對應(yīng)的AICC值，最終取極小值所對應(yīng)的p值，此時p值即為AR模型的階數(shù)，進而可得最優(yōu)模型。

通過對AR(p)模型的計算，可得波動項的值為

(7)

確定趨勢項和波動項之后，可根據(jù)式(4)和式(7)對地鐵站的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)建立GM-AR組合預(yù)測模型，求得t時刻的預(yù)測值xt，即

(8)

2 精度評定

2.1 GM(1,1)預(yù)測模型的精度評定

計算后驗差比值c和小概率p為

若c和p符合精度要求則說明模型適合監(jiān)測點的預(yù)測，否則修正殘差，再一次建模，直至符合要求。其精度指標如表1所示。

表1 灰色預(yù)測模型精度等級

2.2 GM-AR預(yù)測模型的精度評定

根據(jù)建立的組合預(yù)測模型，將得到的預(yù)測值與實際觀測值進行對比，從而確定組合預(yù)測模型的精度。評價組合預(yù)測模型精度的指標主要有殘差、相對誤差等。

(9)

(10)

通過式(9)和式(10)計算相應(yīng)精度指標，即可對GM-AR組合模型的精度進行評定，從而比較模型之間的精度。

3 實例分析與應(yīng)用

為驗證各模型間的預(yù)測效果，以某城市地鐵建設(shè)中地鐵站的二等水準精度的觀測數(shù)據(jù)進行實例驗證。所選地鐵站為地下兩層島式車站，車站主體基坑采用地下連續(xù)墻維護結(jié)構(gòu)。車站一側(cè)為居民區(qū)；另一側(cè)地面為電力電纜，地下分布著城市供水管道、城市燃氣管道和國家電纜等。

本文選取該地鐵站J1號45期的觀測數(shù)據(jù)進行應(yīng)用與分析。通過對所選取觀測數(shù)據(jù)進行建模，研究GM(1，1)模型、GM-AR模型和改進后GM-AR模型的預(yù)測精度，討論何種模型對地鐵施工引起的沉降預(yù)測更加精確。

3.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

受施工場地地質(zhì)、周圍環(huán)境、天氣等因素的影響，每期觀測數(shù)據(jù)的時間間隔不同，而預(yù)測模型一般要求觀測數(shù)據(jù)組成的時間序列是等間隔的。因此，首先對觀測數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。根據(jù)該地鐵站所處地質(zhì)條件，并結(jié)合相同地質(zhì)條件下地鐵站沉降觀測方案，本文采用線性內(nèi)插法將實際觀測到的高程值轉(zhuǎn)化為等間隔的高程觀測值數(shù)據(jù)，預(yù)處理后結(jié)果見表2。

3.2 模型的建立

1)對J1號選取前30期數(shù)據(jù)進行GM(1,1)建模，驗差評定精度?？傻肑1號點GM(1,1)模型參數(shù)：aJ1=2.794 2×10-6，bJ1=72.965 5，后驗差cJ1=0.238 2<0.35，pJ1=1>0.95，根據(jù)表1可知該預(yù)測模型擬合精度能達到一級。

2)建立模型進行預(yù)測，可得殘差序列，對殘差序列建立AR模型。

對殘差序列進行平穩(wěn)性檢驗，|ZJ1|=0.785<1.96，說明殘差序列是穩(wěn)定，對該序列建立AR模型；

利用AICC準則對J1號點殘差值定階，由式(6)得J1號點殘差值階數(shù)p=8；

對AR模型求參，可得預(yù)測值的模型為

eJ1(t)=-0.818 4eJ1(t-1)-0.193 7eJ1(t-2)+

0.305 5eJ1(t-3)+0.006 5eJ1(t-4)+

0.153 8eJ1(t-5)-0.161 3eJ1(t-6)-

0.095 1eJ1(t-7)+0.156 3eJ1(t-8).

3.3 實驗分析

分別采用三種方案對原始高程值進行分析求得預(yù)測高程值：

方案一：由前30期數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，進而預(yù)測出后15期高程值；

方案二：用GM(1,1)模型預(yù)測出監(jiān)測點的大致沉降趨勢，用AR模型預(yù)測出殘差的變化趨勢，最終通過二者相加求得GM-AR模型的預(yù)測值；

方案三：用改進后GM(1,1)模型預(yù)測出監(jiān)測點的大致沉降趨勢，即先預(yù)測出31～35期高程值，然后利用6～35期數(shù)據(jù)再次用GM(1,1)模型預(yù)測出36～40期數(shù)據(jù)，以此每預(yù)測5期數(shù)據(jù)更新一下預(yù)測模型，最終通過和AR模型預(yù)測出的殘差值相加求得改進的GM-AR模型的預(yù)測值。

通過三種方案的實施，利用式(9)和式(10)可得J1號點各模型的殘差值和相對誤差。各模型殘差和相對誤差對比如表2所示；各模型預(yù)測結(jié)果與原始值對比如圖1所示。

表2 J1號點各模型預(yù)測結(jié)果數(shù)據(jù)對比表

圖1 各模型預(yù)測結(jié)果與原始值對比圖

由表2和圖1可知，GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果的相對誤差保持在0.22%～0.88%，說明該模型對地鐵沉降的預(yù)測符合精度要求，但其預(yù)測值總體要高于實測值，即該模型能預(yù)測出地鐵沉降的總體趨勢而不能預(yù)測出具有隨機性的波動項；GM-AR組合模型較好地解決了GM(1,1)模型不能預(yù)測波動項的問題，總體誤差較GM(1,1)模型提升30%～50%，但對較長期數(shù)的預(yù)計會產(chǎn)生數(shù)據(jù)冗余，影響預(yù)測的精度；通過改進的GM-AR組合模型，使之成為一個動態(tài)的等維GM-AR組合模型，在GM-AR組合模型的基礎(chǔ)上使精度再度提升10%～30%，預(yù)測效果較好。

4 結(jié)束語

本文研究傳統(tǒng)GM(1,1)模型、GM-AR組合模型和改進的GM-AR模型在地鐵沉降監(jiān)測中的應(yīng)用，對地鐵站觀測站J1號前30期數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，并采用后15期數(shù)據(jù)進行檢驗，驗證三種模型在地鐵沉降預(yù)測中的可行性。最終，GM(1,1)模型可以對地鐵沉降做整體預(yù)測，但無法對波動性的殘差進行修正；通過用AR模型對殘差值進行修正預(yù)測，與GM(1,1)組合模型，使得預(yù)測值得到一定程度的改善；在此基礎(chǔ)上進行組合模型的改進，避免預(yù)測產(chǎn)生冗余數(shù)據(jù)，使得預(yù)測精度得到進一步地提高。

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