于寶興，李仲勤

(1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

隨著我國高速鐵路的快速發(fā)展，無砟軌道路基的工后沉降變形預(yù)報問題成為國內(nèi)外學(xué)者重點研究的對象，而過渡段問題的預(yù)測分析又是其中的重點和難點。目前路基沉降預(yù)測方法一般可分為三類:第一類,根據(jù)現(xiàn)有規(guī)范中推薦的或利用分層總和法來計算最終沉降量,即為理論公式法。第二類也是根據(jù)固結(jié)理論,采用不同的本構(gòu)模型,通過有限差分、有限元和邊界元等方法計算沉降量,判斷其發(fā)展規(guī)律,此類即為數(shù)值計算方法。第三類是觀測資料的回歸分析法,這種方法是以實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),通過回歸分析來預(yù)測沉降。

本文主要以回歸分析方法對路隧和路橋過渡段進行沉降曲線擬合，預(yù)測最終沉降量，并進行對比分析以及優(yōu)化改進。主要對常用的回歸曲線方法雙曲線法、指數(shù)法、三點法、Asaoka法進行分析和優(yōu)化，總結(jié)分析各種方法在過渡段中的適用性，并結(jié)合二次自適應(yīng)最小二乘迭代的思想對其中的Asaoka法、三點法、指數(shù)法進行優(yōu)化改進，并進行對比分析，為高速鐵路路基過渡段沉降預(yù)測分析提供依據(jù)。

1 曲線擬合法簡介及優(yōu)化改進

1.1 雙曲線法

雙曲線方法的基本表達式為

(1)

式中：S0為初期沉降量(即t=1時的值);St為t時刻沉降量；t0為起點時間；α，β為實測數(shù)據(jù)經(jīng)過曲線回歸求得的系數(shù)。轉(zhuǎn)換為

(2)

由實測數(shù)據(jù)得(t-t0)/(St-S0)與(t-t0)，通過最小二乘擬合直線，求得直線的截距α和斜率β即可求得任意時間的沉降量St和最終沉降量S∞:

(3)

雙曲線法是一種純經(jīng)驗的曲線配合方法，是假定下沉平均速率以雙曲線形式減少的經(jīng)驗推導(dǎo)法，該方法適用于恒載條件下的沉降預(yù)測。

1.2 Asaoka法

1)Asaoka法基本表達式為

St=S∞-(S∞-S0)e-a1t.

(4)

式中：最終沉降量S∞和系數(shù)a1。Asaoka法基本思想：利用沉降觀測資料求出未知數(shù),預(yù)估最終沉降。以體積應(yīng)變表示的一維固結(jié)方程可近似地用一個以級數(shù)形式的微分方程表示沉降過程，在預(yù)測沉降量時，一般僅取一階方程，當(dāng)觀測時間等距時，對上式離散化，可得到相鄰時間段間的變化關(guān)系：

St=β0+β1St-1(t≥1).

(5)

當(dāng)t趨于無窮大時St≈St-1，聯(lián)立式(4)和式(5)兩式可得到本級荷載下的最終沉降S∞和系數(shù)a1為

(6)

2)方法優(yōu)化改進。當(dāng)已知最終沉降量以后，對于系數(shù)a1的求解提出新的方法，通過對式(4)的變換，利用最小二乘思想求解系數(shù)a1，保證了系數(shù)的真實可靠性。

(7)

通過最小二乘進行擬合得出a1和Δ，理論上Δ=0，由于擬合曲線不可能完全與實測值重合，所以會有誤差Δ，最小二乘法保證了誤差最小。優(yōu)化改進后的計算系數(shù)的方法，減少了對時間間距Δt的依賴，而且提高了a1的擬合精度。理論上提高了擬合曲線的精度。

1.3 三點法

1)三點法的基本表達式為

St=S∞(1-Ae-Bt)+SdAe-Bt.

(8)

式中：Sd為瞬間沉降；S∞為最終沉降量；B為系數(shù)。A=8/π2。從實測沉降時間曲線上取3個點，要求：Δt=t3-t2=t2-t1(時間間隔盡可能的大)，S2-S1>S3-S2。將選的三點帶入式(8)聯(lián)立解得

(9)

該法計算簡單，但一般要求觀測資料持續(xù)時間較長，實測沉降曲線要在收斂階段才可以使用。缺點是選取的沉降點不同，計算結(jié)果迥異，使結(jié)果的準(zhǔn)確性大打折扣，長期觀測數(shù)據(jù)選點比較復(fù)雜。

2)方法優(yōu)化改進。根據(jù)式(9)可以看出所有參數(shù)的計算都是根據(jù)所選三個點進行計算的，由于直接對原式(8)進行最小二乘計算過于復(fù)雜，求出參數(shù)B。

(10)

利用最小二乘進行擬合求得Sd為瞬間沉降；S∞為最終沉降量。優(yōu)化后的求解方法使得最終沉降量和瞬間沉降量預(yù)測不僅由3點數(shù)據(jù)來決定，而是由所有觀測數(shù)據(jù)來預(yù)測，更具可靠性，理論上提高預(yù)測精度。

1.4 指數(shù)法

1)指數(shù)法的基本表達式為

(11)

式中：未知量為最終沉降量S∞和常數(shù)η。對上式進行變換后得到

(12)

(13)

所有改進的方法都是通過二次自適應(yīng)最小二乘迭代的思想進行修正，通過二次重構(gòu)方法將以得到參數(shù)重新迭代到式中，并使用最小二乘方法再次求解未求得的各參數(shù)或最終沉降量，達到使擬合更加貼近真實情況，使最終預(yù)測值更加真實可靠的目的。

2 技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)

《客運專線無砟軌道鐵路設(shè)計指南》及《新建時速200～250 km客運專線鐵路設(shè)計暫行規(guī)定》中對我國軌道路基的工后沉降進行了如下規(guī)定：當(dāng)設(shè)計時速為200

《客運專線鐵路無碴軌道鋪設(shè)條件評估技術(shù)指南》規(guī)定：曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不得<0.92，因此，本文以相關(guān)系數(shù)是否達到0.92作為評價預(yù)測方法適用性的主要標(biāo)準(zhǔn)。文中相關(guān)系數(shù)采用數(shù)理統(tǒng)計中的定義計算：

(14)

相關(guān)系數(shù)表示預(yù)測值與實測值走勢、趨勢是否相符，并不能夠估計誤差的大小，所以引進誤差平方和進行評定預(yù)測值擬合精度。

3 曲線擬合的應(yīng)用研究

3.1 工程實例

蘭新高鐵全線鋪設(shè)防開裂的雙向預(yù)應(yīng)力CRTSⅠ型雙塊式無砟軌道，設(shè)計時速250 km。過渡段重點變形監(jiān)測范圍為過渡地段前后10 m的路基，本文分析了路隧過渡段K219+547、K219+552、K219+557三個斷面18個月的監(jiān)測數(shù)據(jù)；路橋過渡段K235+430、K235+420兩個斷面6個月的監(jiān)測數(shù)據(jù)。以兩組不同過渡段的現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)對曲線擬合方法以及優(yōu)化方法就適用性、可靠性及穩(wěn)定性進行分析研究。

分兩處研究其主要目的是分析各種方法在不同構(gòu)筑物過渡段之間沉降預(yù)測的適用性，各種方法是否具有普遍性。

3.2 路隧過渡段數(shù)據(jù)分析研究

路隧過渡段選取隧道進口前重點監(jiān)測的10 m范圍內(nèi)的三個斷面進行研究分析。由于特殊原因，第5—10月份高鐵進行全封閉調(diào)試，無法進場監(jiān)測，到第10月份才得已恢復(fù)監(jiān)測，所以中間有一段間斷期。

間斷期并沒有對數(shù)據(jù)擬合分析產(chǎn)生較大影響(見圖1)。在第10月、第11月份預(yù)測值偏差較大，整體分析并沒有受到影響。由于18個月的時間比較長，而且是按月為周期進行監(jiān)測的，如果按天計算的話，計算量大、周期難以把握等因素可能使得擬合偏差較大，本文以月為計算單位進行擬合。為了驗證長期監(jiān)測數(shù)據(jù)按月進行擬合更方便、更可靠，進行了數(shù)據(jù)對比分析。

從斷面K219+552可以看出(見表1)所有改進的算法在不降低算法的相關(guān)系數(shù)的前提下，使得各自的誤差平方和大幅降低，使得預(yù)測曲線更接近真實情況，預(yù)測精度更高。而且可以看出改進后的最終沉降量范圍為17.891～19.832 mm相差1.941 mm，而未改進的方法最終沉降量范圍15.958～19.731 mm相差3.773 mm，改進后的方法最終沉降量預(yù)測范圍比未改進的預(yù)測范圍縮小了一倍。

從三個斷面的擬合預(yù)測數(shù)據(jù)分析中可以看出(見表2—表4)，按天進行曲線擬合相關(guān)系數(shù)有一些曲線不足0.92，而按月進行預(yù)測其相關(guān)系數(shù)都大于0.92；按月進行擬合的曲線預(yù)測值誤差平方和(除了指數(shù)法)都小于按天進行預(yù)測的誤差平方和；按月進行預(yù)測的最終沉降量范圍較小，波動性小。雙曲線法、Asaoka法、三點法和指數(shù)法都適用于路隧過渡段的預(yù)測，按月進行預(yù)測分析的數(shù)據(jù)明顯優(yōu)于按天進行預(yù)測，而且改進的擬合方法都優(yōu)于原擬合方法，在路隧過渡段的預(yù)測中改進的指數(shù)法是最優(yōu)的。

圖1 斷面K219+552實測值與模型預(yù)測曲線

斷面K219+552雙曲線法預(yù)測值A(chǔ)saoka法預(yù)測值改進的Asaoka法預(yù)測值三點法預(yù)測值改進三點法預(yù)測值指數(shù)法預(yù)測值改進指數(shù)法預(yù)測值相關(guān)系數(shù)0.949 0.952 0.959 0.963 0.963 0.964 0.964 誤差平方和/mm232.944 70.491 27.185 22.495 21.888 69.351 21.343 最終沉降量預(yù)測/mm19.731 17.891 17.891 19.525 18.994 15.958 19.832

表2 斷面K219+552曲線計算對比表

表3 斷面K219+547曲線計算對比表

表4 斷面K219+557曲線計算對比表

3.3 路橋過渡段數(shù)據(jù)分析研究

路橋過渡段數(shù)據(jù)監(jiān)測也是按月為周期進行監(jiān)測，進行了5個月的連續(xù)監(jiān)測與實測值進行對比(見圖2)，對于短期數(shù)據(jù)進行分析研究曲線擬合的適用性等其他條件。

圖2 斷面K235+430實測值與模型預(yù)測曲線

從斷面K235+430可以看出(見表5)改進優(yōu)化方法對短期監(jiān)測數(shù)據(jù)也有很好的適用性，相關(guān)系數(shù)都有所提高，誤差平方和基本上有所降低。改進后的方法最終沉降量在4.571～5.229 mm相差0.658 mm，未改進的方法最終沉降量預(yù)測3.310～5.229 mm相差1.919 mm，可見改進后的方法對最終沉降量預(yù)測有明顯提高。

對于短期數(shù)據(jù)分析研究發(fā)現(xiàn)按天或是按月擬合數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)和誤差平方和相差并不大，只是在最終沉降量上，按月進行預(yù)測其波動性、范圍較小，更加具有指導(dǎo)意義。而且對于高速鐵路客運專線沉降觀測數(shù)據(jù)而言，整體變形量較小，觀測數(shù)據(jù)難免出現(xiàn)起伏波動的現(xiàn)象，導(dǎo)致應(yīng)用指數(shù)曲線法進行沉降預(yù)測時，一些斷面無法進行正常計算。因此，指數(shù)曲線法不能直接適應(yīng)高速鐵路客運專線沉降量小、數(shù)據(jù)起伏波動大的監(jiān)測數(shù)據(jù)。

表5 路橋過渡段曲線擬合結(jié)果

4 結(jié) 論

高速鐵路過渡段線下、周圍環(huán)境情況復(fù)雜，其變形情況較普通路基變形有很大不同，研究傳統(tǒng)曲線擬合方法在路隧、路橋過渡段中的適用性對高速鐵路后期運營維護有很重要的意義。通過采用自適應(yīng)二次最小二乘迭代的思想將Asaoka法、三點法、指數(shù)法進行優(yōu)化改進，提高了傳統(tǒng)曲線擬合的精度和預(yù)測最終沉降量的可靠性。通過實測數(shù)據(jù)的分析研究可以歸納幾點：

1)雙曲線法、三點法、Asaoka法、指數(shù)法在路隧、路橋過渡段具有較強的適用性和普遍性，都達到了相關(guān)系數(shù)R≥0.92的要求，而改進的Asaoka 法 ，三點法和指數(shù)法通過數(shù)據(jù)驗證則具有更強的適用性，只是數(shù)據(jù)的波動會造成指數(shù)曲線法無法正常計算。

2)改進的Asaoka法 ，三點法和指數(shù)法不論在長期還是在短期的監(jiān)測數(shù)據(jù)擬合精度上都要優(yōu)于傳統(tǒng)曲線擬合的精度，對于最終沉降量的預(yù)測，優(yōu)化后的預(yù)測值其穩(wěn)定性、可靠性明顯高于傳統(tǒng)預(yù)測方法。

3)曲線擬合長期監(jiān)測數(shù)以月為計算單位預(yù)測精度遠好于按天進行預(yù)測，因為實際監(jiān)測中按天進行監(jiān)測周期波動性較大，并不能完全做到整周期監(jiān)測。短期監(jiān)測按天按月進行曲線擬合，擬合精度相差不大，只是在最終沉降量預(yù)測上按月進行預(yù)測波動性較小。本文建議曲線擬合按觀測周期進行曲線擬合，按月或按周進行擬合，短期監(jiān)測數(shù)據(jù)可以按天進行曲線擬合。

4)根據(jù)路隧、路橋各個斷面最終沉降量預(yù)測值表明，過渡段工后最終沉降量<50 mm，滿足規(guī)范要求，可以判斷路基工后沉降滿足無砟軌道鋪設(shè)條件。

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