程 金 石， 孔 祥 沅

( 大連工業(yè)大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

非圓齒輪是對滾節(jié)曲線不再為圓或圓弧形，而是按給定傳動比變化規(guī)律設計的一種實現(xiàn)非線性傳動的異形齒輪[1]。它主要在儀器儀表[2-3]和自動裝置[4]中實現(xiàn)特殊的運動和函數(shù)運算[5]，如擺動[6]、分度[7]、變速[8]等。一對非圓齒輪節(jié)曲線的純滾動是靠主動輪齒廓推動與之共軛的從動輪齒廓進行的，并且非圓齒輪每個齒的齒廓都不同，因此，針對不同的應用場合如何準確高效地找到更合適的共軛齒廓及其設計方法尤為重要。非圓齒輪齒廓求解方法主要有解析法、折算齒形法[1]、齒廓的漸屈線法[9]、包絡加工法和齒廓法線法[10]等。其中求解非圓齒輪共軛齒廓常用的已知條件為加工刀具和共軛齒廓，如可利用齒輪刀[11]或非圓齒輪主動輪做刀具[12]，并結合凸包算法中的Jarvis步進法來優(yōu)化刀具包絡生成非圓齒輪齒廓的方法[13]。此外，文獻[14-15]提出定嚙合角原理求解非圓齒輪共軛齒廓。Lozzi[16]通過推導橢圓齒輪漸開線齒廓的4種可能的基曲線類型求解橢圓齒輪共軛齒廓。而設計非圓齒輪共軛齒廓方法是設定和表達已知條件的方法。文獻[17-18]基于Roulette理論，通過建立瞬心線、旋輪線和接觸跡之間的數(shù)學模型來設計非圓齒輪共軛齒廓。林菁[19]提出構造嚙合角函數(shù)直接設計非圓齒輪齒廓的嚙合角函數(shù)法。文獻[20-21]通過建立任意形式的齒條刀齒廓或嚙合軌跡模型，設計自由形式非圓齒輪共軛齒廓。

上述方法均以幾何條件作為初始設計條件，傳動特性被動得到。本研究基于齒廓主動設計理念，提出一種直接將傳動特性作為設計條件，通過構造傳動特性函數(shù)并幾何化，進而求得齒廓曲線。這樣得到的非圓齒輪齒廓曲線既滿足Willis定理，又能實現(xiàn)預期的傳動特性。

1 齒廓曲線的設計條件

一對非圓齒輪的傳動過程可以看作是兩條節(jié)曲線相切地做純滾動。此間，至少有一對共軛齒廓處于嚙合狀態(tài)。節(jié)曲線上不同點成為瞬心時，齒廓曲線上有相應的點成為嚙合點。因此，齒廓曲線可以看作是節(jié)曲線的伴隨曲線。根據(jù)Willis定理，齒廓曲線可以表示為

(1)

式中：θ為瞬心線上點的相位角，作為運動瞬時參數(shù)；r(θ)和R(θ)分別為瞬心線上和齒廓曲線上對應θ瞬時的點；n(θ)為R(θ)的法矢，始終指向R(θ) 外側；l(θ)為沿n(θ)方向r(θ)到R(θ)的位移。

由式(1)中R(θ)得

R′(θ)=r′(θ)+l′(θ)·n(θ)+l(θ)·n′(θ)

(2)

式(2)代入式(1)R′(θ)得

(3)

式中：θc為齒廓曲線與節(jié)曲線相交時對應的運動瞬時參數(shù)?？梢姡琹(θ)不是獨立的參數(shù)。在給定節(jié)曲線r(θ)條件下，齒廓曲線R(θ)完全決定于n(θ)，齒廓曲線的設計條件就是設計n(θ)函數(shù)。當按與r′(θ)的夾角為常數(shù)設計n(θ)時，即為齒條法；當按與r(θ)垂線的夾角α設計n(θ)時，即為嚙合角函數(shù)法。本文通過反映傳動特性的力臂函數(shù)設計n(θ)求解齒廓曲線。

2 力臂函數(shù)

如圖1所示，當非圓齒輪節(jié)曲線上r(θ)為瞬心時，齒廓上R(θ)為嚙合點。若忽略摩擦，該嚙合點所受接觸力F必沿內法線方向，即沿n(θ)的反方向。過回轉中心O作n(θ)的垂線，垂足為B，設O到B的距離為b?？梢钥闯?，b就是接觸力驅動齒輪繞O點回轉的力臂。顯然，b是θ的函數(shù)，即b=b(θ)。對于具體機構，由機構負載條件可以得出驅動力矩函數(shù)M(θ)。而M(θ)=F(θ)·b(θ)，所以可以通過調整b(θ)的大小來控制F(θ)，以滿足一定受力準則。相反，在已知M(θ) 條件下，為獲得按受力準則確定的F(θ)，b(θ) 必須滿足一定條件，即b(θ)=M(θ)/F(θ)，由此得到b(θ)函數(shù)稱為力臂函數(shù)。由力臂函數(shù)確定的B點的軌跡稱為力臂曲線，記為B(θ)，見圖1。設B(θ)到r(θ)的轉角為α，則有

(4)

式中：|r(θ)|是r(θ)的模。故B(θ)的方程為

B(θ)=b(θ)·e(θ+α)

(5)

式中：e(θ+α)為圓矢量函數(shù)。

對于給定的非圓齒輪機構，運動規(guī)律決定了節(jié)曲線形狀，負載規(guī)律和受力條件決定了力臂曲線形狀。所以，節(jié)曲線可以看作是機構運動信息的幾何表征，力臂曲線可以看作是機構驅動信息的幾何表征。通過這兩條曲線設計的齒廓，既可以滿足運動條件，又可以滿足驅動條件。

圖1 力臂曲線與齒廓法矢

此外，圖1中的α角和文獻[19]中嚙合角在數(shù)值上完全相等，這給本文設計齒廓的幾何分析帶來便利。

3 力臂函數(shù)法的原理

齒廓曲線的設計在本質上就是設計齒廓曲線的外法矢n(θ)。該法矢既要過瞬心r(θ)，又要過力臂端點B(θ)，以實現(xiàn)要求的力臂b(θ)。其方向應與嚙合點受力方向相反，即由B(θ)指向r(θ)。所以齒廓外法矢n(θ)為

(6)

式中，B(θ)≠r(θ)。對于非圓齒輪來說，齒廓曲線有左右兩側之分，嚙合時分別驅動齒輪逆時針回轉(正齒廓)和順時針回轉(負齒廓)。針對具體齒輪的不同回轉方向，力臂函數(shù)可根據(jù)負載條件和力學準則設計為相同函數(shù)或不同函數(shù)。力臂函數(shù)確定之后，對于正齒廓曲線，力臂曲線方程B(θ)可由公式(5)得出；而對于負齒廓曲線，力臂曲線方程則變?yōu)?/p>

B(θ)=b(θ)·e(θ-α)

(7)

在已知節(jié)曲線條件下，運用力臂函數(shù)及力臂曲線，確定齒廓曲線法矢n(θ)，進而得到齒廓曲線的方法稱為齒廓曲線設計的力臂函數(shù)法。

力臂函數(shù)法設計齒廓曲線的優(yōu)點在于所有同側齒廓的設計基于一個力臂函數(shù)，而這個力臂函數(shù)的得出是基于一定的接觸力條件和接觸強度準則等傳動特性。故所得齒廓可使非圓齒輪副傳動時能實現(xiàn)預期的傳動特性，達到提高接觸強度、降低振動和噪音等目的。而基于單個齒廓的設計方法，由于節(jié)曲線的非圓特性及齒廓的離散特性，不同齒廓的力臂曲線可能不同。這將導致不同齒廓嚙合時驅動力臂跳躍式變化，進而導致接觸力突變，由此帶來振動沖擊、噪音等不利影響。

4 齒廓曲線的等距特性

在公式(3)中，當θ=θc時，l(θ)=0，此時R(θ)=r(θ)，即齒廓曲線上的點R(θc)與節(jié)曲線上的對應點r(θc)重合。在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下，θc取不同值時，由公式(3)及公式(1)將得到不同的齒廓曲線，這些齒廓曲線分別與節(jié)曲線交于不同的r(θc)點，這些交點稱為節(jié)曲線的分齒點?？梢姡^節(jié)曲線上不同的分齒點可以得到不同的齒廓曲線，可以用分齒點的位置參數(shù)θc表征齒廓曲線。

設同一對節(jié)曲線和力臂曲線條件下，有兩條齒廓曲線R1(θ)和R2(θ)，見圖2。由于在同一坐標系下，不同齒廓曲線對應同一θ的r(θ)和n(θ) 均相同，所以這兩條齒廓曲線的方程為

(8)

(9)

由式(8)、式(9)得

(10)

令

(11)

則對于給定的兩條齒廓曲線l21為常數(shù)。于是有

R2(θ)=r(θ)+l2(θ)·n(θ)=

r(θ)+[l21+l1(θ)]·n(θ)=

R1(θ)+l21·n(θ)

(12)

由于n(θ)為R1(θ)的法矢且l21為常數(shù)，所以公式(12)表明，R2(θ)為R1(θ)的等距曲線?？紤]到θc1和θc2的一般性，可以得出結論：在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下，過節(jié)曲線上不同分齒點的齒廓曲線均為等距曲線。此結論的重要意義在于：利用一條整周期的齒廓曲線即可描述所有同側齒廓的幾何信息，這給非圓齒輪的齒廓設計和分析帶來極大便利，也是本文所述齒廓設計方法的另一個優(yōu)點。

整周期齒廓曲線的起點應位于力臂曲線，假設此時對應的參數(shù)為θ0。對于正齒廓曲線，轉角以逆時針為正，θ0小于θc且滿足

(13)

此時，由公式(1)、(3)、(6)有：R(θ0)=B(θ0)。整周期齒廓曲線終點對應的參數(shù)為

θ1=θ0+2π

(14)

對于負齒廓曲線，轉角以順時針為正，公式(13)及(14)仍然成立。

圖2 齒廓曲線的等距性

5 設計步驟及實例

5.1 設計步驟

基于力臂函數(shù)法原理及齒廓曲線的等距特性，非圓齒輪齒廓設計步驟如下：

(1)由機構運動規(guī)律求出節(jié)曲線r(θ)；

(2)確定節(jié)曲線上各分齒點位置θci；

(3)由負載條件和受力準則求出力臂函數(shù)b(θ) 及力臂曲線B(θ)；

(4)由式(6)確定齒廓法矢n(θ)；

(5)由式(3)及式(1)求出過分齒點θc1的整周期齒廓曲線R1(θ)；

(6)利用等距特性由公式(11)、(12)求出過其他分齒點的齒廓曲線R2(θ)；

(7)以齒頂曲線和齒根曲線截取各齒廓曲線，并作出過渡曲線。

至此，非圓齒輪的一側齒廓設計完成，另一側齒廓設計亦按同樣步驟。與之嚙合的另一個非圓齒輪的齒廓則可按齒廓法線法直接求得，無須單獨設計。

5.2 計算實例

以橢圓節(jié)曲線齒輪為例，取其幾何中心為齒輪回轉中心，橢圓參數(shù)：半長軸a=28，偏心率e=0.6。力臂曲線為圓心與橢圓中心重合的圓，圓半徑為20，即力臂函數(shù)b(θ)=20。利用Matlab編程得到的完整齒廓曲線，如圖3所示。圖中V1為正轉齒廓曲線，V2為反轉齒廓曲線。

圖3 正轉及反轉完整齒廓曲線

設齒輪齒數(shù)z=17，按等極角方式分齒(即各相鄰分齒點弧段對齒輪中心的張角相等)，齒頂高為1.4，齒根高為1.5，得到的各齒廓曲線如圖4所示。圖中所有正轉齒廓均為圖3中V1的等距曲線，可在該曲線上截取并作等距線得到。同樣，所有反轉齒廓均可由圖3中V2上截取并作等距線得到。

圖4 同側齒廓曲線的等距性

需要說明的是，本算例只是表明利用力臂函數(shù)法生成齒廓曲線的可行性，具體參數(shù)的合理性及優(yōu)化求解有待后續(xù)研究。

6 結 論

在給定運動規(guī)律(或節(jié)曲線)條件下，齒廓曲線完全決定于其法矢n(θ)，設計齒廓曲線就是設計其法矢n(θ)。反映負載條件和受力準則的力臂函數(shù)可以作為齒廓曲線法矢設計的有效工具，它建立了齒廓幾何特征和運動副傳動特性的聯(lián)系。選取合適的力臂函數(shù)后，基于本文方法得到的同側齒廓互為等距曲線，一條整周期的齒廓曲線可反映所有同側齒廓的幾何信息，給非圓齒輪的齒廓設計和分析帶來很大便利。

按力臂函數(shù)法所設計的非圓齒輪齒廓不是以齒條齒廓為必要幾何條件，故齒條類刀具的滾齒或插齒不是其通用加工方法。對于直齒非圓齒輪，線切割是其有效加工手段。若需進一步精加工，可在工作臺具有兩個移動坐標和一個回轉坐標的數(shù)控機床上采用蝶形砂輪端面磨削完成。而對于斜齒非圓齒輪的加工則需進行后續(xù)研究和探討。

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