陳志英，李建福，周 平，劉 勇

（北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京100191）

0 引言

篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)憑借著結(jié)構(gòu)簡單以及在高溫和高轉(zhuǎn)速下具有高可靠性等優(yōu)點(diǎn)在航空發(fā)動機(jī)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。其封嚴(yán)質(zhì)量直接影響發(fā)動機(jī)的效率及可靠性，眾多學(xué)者對影響其封嚴(yán)質(zhì)量的影響因素進(jìn)行了大量的研究。紀(jì)國劍[2]針對幾種典型篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)，研究了結(jié)構(gòu)尺寸、壓比及轉(zhuǎn)速等參數(shù)對篦齒封嚴(yán)特性的影響規(guī)律。胡旭東等[3]對篦齒進(jìn)行了泄漏性實(shí)驗(yàn)研究并得出篦齒的封嚴(yán)間隙是影響其密封效果的因素之一。張勃等[4]研究了篦齒幾何參數(shù)對對流換熱系數(shù)的影響，得出篦齒封嚴(yán)間隙是影響其變化的主要因素。杜發(fā)青等[5]通過研究篦齒幾何參數(shù)對泄漏特性的影響，發(fā)現(xiàn)封嚴(yán)間隙對泄漏特性影響顯著。而對于航空發(fā)動機(jī)渦輪篦齒結(jié)構(gòu)而言，轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時在外載荷的作用下產(chǎn)生的徑向變形會導(dǎo)致封嚴(yán)間隙變化，進(jìn)而影響封嚴(yán)效果[6-7]。以上文獻(xiàn)研究表明封嚴(yán)間隙變化對封嚴(yán)特性有重要的影響，而篦齒徑向變形又是導(dǎo)致封嚴(yán)間隙變化的主要原因，因此對篦齒在動態(tài)下的徑向變形進(jìn)行準(zhǔn)確估計有助于更加合理地控制封嚴(yán)間隙。由于在工程實(shí)踐中篦齒結(jié)構(gòu)尺寸、材料以及載荷等參數(shù)具有不確定性，因此使得動態(tài)下的篦齒徑向變形會呈現(xiàn)不確定性，從而影響封嚴(yán)間隙的估計。因此在進(jìn)行篦齒徑向變形計算時必須考慮參數(shù)不確定性的影響才更加符合工程實(shí)際。

穩(wěn)健性設(shè)計可以有效降低參數(shù)變化對目標(biāo)響應(yīng)的影響程度[8-9]，其在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[10-12]，優(yōu)化結(jié)果表明優(yōu)化后的目標(biāo)響應(yīng)對參數(shù)變化的敏感性降低。因此對篦齒結(jié)構(gòu)徑向變形進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計將有效降低參數(shù)變化對篦齒徑向變形的影響程度，從而準(zhǔn)確評估運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下的封嚴(yán)間隙變化。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性優(yōu)化而言，直接利用有限元方法進(jìn)行優(yōu)化求解將非常耗時，不能很好地滿足工程應(yīng)用的需要。而近似模型方法如Kriging、支持向量機(jī)以及多項(xiàng)式響應(yīng)面的出現(xiàn)，很好地解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化效率問題，并在工程計算中得到了廣泛應(yīng)用[13-15]。對于高度非線性復(fù)雜函數(shù)關(guān)系的擬合，支持向量機(jī)與其他近似模型相比具有小樣本、預(yù)測精度高等特點(diǎn)[16]，更加適合復(fù)雜模型的工程應(yīng)用計算。

本文提出一種基于最小二乘支持向量機(jī)模型的穩(wěn)健性優(yōu)化方法，對篦齒結(jié)構(gòu)徑向變形進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。首先利用LS-SVM模型建立參數(shù)與篦齒徑向變形之間的近似函數(shù)模型，并進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析?？紤]到輸入?yún)?shù)中尺寸變量為區(qū)間變量，而其他參數(shù)為隨機(jī)型變量的情況，選擇分位數(shù)區(qū)間法[17]建立穩(wěn)健性優(yōu)化模型，然后對建立好的穩(wěn)健性優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化求解。

1 穩(wěn)健性優(yōu)化模型

1.1 最小二乘支持向量機(jī)

最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM）是一種針對非線性函數(shù)擬合的高精確度近似模型方法[18]，假定一個樣本訓(xùn)練集{xi,yi}（i=1,2,…,N），其中xi∈Rn為樣本輸入，yi∈Rn為樣本輸出。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論通過把支持向量機(jī)的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，并用平方損失函數(shù)代替不敏感損失函數(shù)，可得到最小二乘支持向量回歸機(jī)的數(shù)學(xué)模型[19]

式中：e=[e1,…,eN]，為預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差；c∈R+，為用來控制模型復(fù)雜度和訓(xùn)練誤差的正則化參數(shù)；φ（xi）為把輸入空間中的非線性擬合問題轉(zhuǎn)化為線性擬合問題的變換函數(shù)。

求解式（1）之前需要構(gòu)造一個Lagrange函數(shù)

式中：a=[a1,…,aN]T，為 Lagrange 乘子。

式（2）的最優(yōu)化條件即 Kuhn-Tucker（KT）條件[20]為求解得

對式（3）中的線性方程組進(jìn)行求解可得LS-SVM近似模型

式中：k（x,xi）=φ（x）T·φ（xi），為核函數(shù)。

1.2 穩(wěn)健性優(yōu)化模型的建立

穩(wěn)健性優(yōu)化通過選擇合適水平的設(shè)計參數(shù)使得所有參數(shù)變化對目標(biāo)響應(yīng)影響程度降低，提出的基于LS-SVM與概率分位數(shù)區(qū)間方法的穩(wěn)健性優(yōu)化技術(shù)流程如圖1所示。

圖1 基于LS-SVM與概率分位數(shù)區(qū)間法的穩(wěn)健性優(yōu)化過程

圖1描述了穩(wěn)健性優(yōu)化模型建立的過程，其核心點(diǎn)包括：用有限元方法對篦齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行徑向變形確定性分析，在考慮各參數(shù)不確定性分布的情況下利用拉丁抽樣法抽取若干樣本，利用抽取的樣本建立參數(shù)與目標(biāo)響應(yīng)之間的LS-SVM近似模型。近似模型與有限元方法相比，在保證一定的計算精度的情況下，可以大大減少優(yōu)化迭代時間，提高計算效率。

考慮到近似模型預(yù)測誤差以及各參數(shù)具有不同的分布特性，選用分位數(shù)區(qū)間模型[17]建立穩(wěn)健性優(yōu)化模型。分位數(shù)區(qū)間模型的使用可降低由于參數(shù)分布不同以及近似模型計算誤差對目標(biāo)響應(yīng)統(tǒng)計結(jié)果的影響，提高計算結(jié)果的可信度。

2 篦齒徑向變形的穩(wěn)健性優(yōu)化

選取某發(fā)動機(jī)渦輪轉(zhuǎn)子篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)，篦齒環(huán)與轉(zhuǎn)子左側(cè)套筒之間為面-面接觸式連接，具體結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示。圖2（a）左側(cè)為篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)局部示意圖，從圖中可以看出篦齒封嚴(yán)間隙c隨著篦齒徑向變形而發(fā)生變化。

2.1 有限元模型與參數(shù)

首先利用UG軟件對選取的某發(fā)動機(jī)渦輪轉(zhuǎn)子與篦齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，然后導(dǎo)入有限元軟件ANSYS中進(jìn)行熱-機(jī)械耦合徑向變形分析，建立的有限元計算模型如圖2（b）所示。其中渦輪盤材料牌號為GH4033，渦輪葉片材料牌號為K419，篦齒材料牌號為GH742。接觸問題采用面-面接觸并用罰函數(shù)法求解，接觸摩擦系數(shù)取0.3。有限元分析過程中溫度載荷通過給定盤心以及葉尖溫度以函數(shù)插值方式加入到渦輪轉(zhuǎn)子。

圖2 直通型篦齒結(jié)構(gòu)

由于篦齒環(huán)與渦輪盤套筒的面-面連接特點(diǎn)，渦輪盤套筒的徑向變形與篦齒環(huán)的徑向變形相互影響。在不影響渦輪轉(zhuǎn)子徑向尺寸鏈初始設(shè)計的情況下，選取渦輪盤部件5個位置的尺寸作為設(shè)計參數(shù)，具體選取位置如圖2（a）所示。其中X1為輪盤輻板中間位置的軸向尺寸，X2和X3分別為輪盤左側(cè)和右側(cè)套筒邊緣到輪盤中心線的軸向尺寸。綜合考慮渦輪部件許用強(qiáng)度以及部件質(zhì)量，以設(shè)計參數(shù)的初始設(shè)計值為優(yōu)化區(qū)間上限進(jìn)行質(zhì)量約束，以輪盤強(qiáng)度為約束設(shè)定設(shè)計參數(shù)優(yōu)化區(qū)間下限，具體數(shù)值見表1，表中的上限和下限表示設(shè)計參數(shù)設(shè)計點(diǎn)的優(yōu)化區(qū)間，所有尺寸設(shè)計點(diǎn)的不確定性區(qū)間均為[-0.001 mm,+0.001 mm]。

表1 設(shè)計參數(shù)的優(yōu)化區(qū)間

考慮到運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速以及溫度不確定性對篦齒徑向變形的影響，將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2也作為隨機(jī)變量，具體數(shù)值見表2[21]。而渦輪盤、渦輪葉片以及篦齒的材料參數(shù)也具有不確定性,因此選擇彈性模量E、密度ρ、熱傳導(dǎo)率λ、線性膨脹系數(shù)α作為材料的隨機(jī)參數(shù)，具體數(shù)值見表3[22]。

表2 隨機(jī)參數(shù)溫度以及轉(zhuǎn)速均值及標(biāo)準(zhǔn)差

表3 渦輪葉片、渦輪盤、篦齒材料的隨機(jī)參數(shù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差

2.2 LS-SVM模型的建立

首先利用有限元方法對篦齒徑向變形進(jìn)行計算抽取150組訓(xùn)練樣本，然后采用LS-SVM模型建立參數(shù)與變形之間的近似函數(shù)。利用有限元方法隨機(jī)抽取10組樣本對建立的LS-SVM近似模型進(jìn)行預(yù)測精度驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如圖3所示。通過計算得到預(yù)測值與驗(yàn)證樣本均方根的誤差為4.5×10-3，其最大相對誤差小于1%。

2.3 參數(shù)靈敏度分析

考慮到LS-SVM近似模型難以求導(dǎo)，文中選用Morris方法求解參數(shù)對變形的靈敏度[23]，并假設(shè)各參數(shù)之間相互獨(dú)立。求解的參數(shù)靈敏度如圖4所示。

圖4中1～3依次為設(shè)計參數(shù)Xi（i=1,2,3），可以看出設(shè)計參數(shù)中X1靈敏度最大；其次為X2和X3。4～6分別為轉(zhuǎn)速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2的靈敏度；7～18依次為渦輪葉片、渦輪盤、篦齒的密度ρ，以及線性膨脹系數(shù)α、彈性模量Ε、熱導(dǎo)率λ的靈敏度。

圖3 LS-SVM預(yù)測值與驗(yàn)證樣本

圖4 參數(shù)靈敏度分析結(jié)果

從圖4中可見，渦輪盤線膨脹系數(shù)的影響最大，篦齒環(huán)的線性膨脹系數(shù)的影響次之，這是由于在運(yùn)轉(zhuǎn)情況下，渦輪盤與篦齒環(huán)裝配處的渦輪盤左側(cè)套筒的徑向變形量小于篦齒環(huán)的徑向變形量，因此輪盤左側(cè)套筒的徑向變形對篦齒徑向變形起主導(dǎo)作用；其次，渦輪盤和篦齒彈性模量以及熱傳導(dǎo)率的影響也較為明顯，而其余參數(shù)對變形影響相對于以上參數(shù)都較小。

2.4 篦齒徑向變形的穩(wěn)健性優(yōu)化模型

對于工程實(shí)際而言，雖然數(shù)據(jù)呈現(xiàn)某種分部特性，但其不確定性區(qū)間也是有界的，并不是隨著分布特性一直延伸。因此選用工程常用的[μ-3σ,μ+3σ]區(qū)間來描述其不確定性波動范圍，對于正太分布而言，將其轉(zhuǎn)換為分位數(shù)區(qū)間，其模型為[W0.0013,W0.9987]。因此，對建立好的LS-SVM近似模型進(jìn)行蒙特卡洛法進(jìn)行104次抽樣分別計算W0.0013和W0.9987分位數(shù)進(jìn)而計算分位數(shù)區(qū)間值，建立好的優(yōu)化模型為

式中：X為設(shè)計參數(shù)向量，其優(yōu)化區(qū)間見表1；z為隨機(jī)參數(shù)向量，見表為分位數(shù)區(qū)間；函數(shù) g（X，z）與g*分別為轉(zhuǎn)子應(yīng)力與許用應(yīng)力值。

2.5 結(jié)果與分析

建立好穩(wěn)健性優(yōu)化模型后，采用果蠅優(yōu)化算法[24]對優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化迭代求解，優(yōu)化前后蒙特卡洛抽樣后的篦齒徑向變形直方圖如圖5所示，其中圖5（a）為優(yōu)化前，圖5（b）為優(yōu)化后。優(yōu)化前后參數(shù)與概率分位數(shù)區(qū)間數(shù)值見表4。從圖5中可見，優(yōu)化前后的直方圖中間部分基本服從正態(tài)分布，而邊緣數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的離散隨機(jī)性，如果直接采用概率標(biāo)準(zhǔn)差作為優(yōu)化目標(biāo)結(jié)果將隨著邊緣數(shù)據(jù)離散隨機(jī)程度呈現(xiàn)一定的隨機(jī)性。而概率分位數(shù)區(qū)間的方法可以剔除邊緣數(shù)據(jù)影響，因此統(tǒng)計結(jié)果將更為穩(wěn)定和精確。

圖5 蓖齒徑向變形

表4 穩(wěn)健性優(yōu)化前后的結(jié)果

從表4中可見，優(yōu)化后的徑向變形分位數(shù)區(qū)間比優(yōu)化前減少了6%，有效降低了篦齒徑向變形對參數(shù)變化的敏感性，可以更為精確地估計發(fā)動機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下封嚴(yán)間隙變化的情況，并為合理控制封嚴(yán)間隙提供一定的參考。

為了更直觀地反映穩(wěn)健性優(yōu)化后參數(shù)對篦齒徑向變形的影響程度，根據(jù)圖4選取篦齒徑向變形相對較大的參數(shù)，對其優(yōu)化后的參數(shù)靈敏度進(jìn)行求解并與優(yōu)化前進(jìn)行對比，具體數(shù)值見表5。

表5 優(yōu)化前后參數(shù)靈敏度的分析結(jié)果

表5中材料參數(shù)下標(biāo)d和l分別表示渦輪盤和篦齒，從優(yōu)化前后靈敏度數(shù)據(jù)來看，對篦齒變形影響較大的參數(shù)的靈敏度值都有不同程度的減小。優(yōu)化前后靈敏度分析的結(jié)果也驗(yàn)證了基于概率分位數(shù)區(qū)間的穩(wěn)健性優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)論

（1）本文針對篦齒結(jié)構(gòu)，在考慮參數(shù)不確定性的情況下，對篦齒轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)徑向變形進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化，優(yōu)化后的分位數(shù)區(qū)間比優(yōu)化前減少了6%，有效降低了參數(shù)變化對篦齒徑向變形的影響程度，為合理設(shè)計以及控制篦齒封嚴(yán)間隙提供了一定參考。

（2）提出的基于LS-SVM模型的穩(wěn)健性優(yōu)化方法可有效地解決篦齒等復(fù)雜結(jié)構(gòu)在進(jìn)行優(yōu)化分析時迭代時間較長的問題，在保證計算精度的情況下可提高計算效率。

（3）在后續(xù)計算中還需對篦齒封嚴(yán)靜子結(jié)構(gòu)徑向變形進(jìn)行分析，以便對篦齒封嚴(yán)間隙進(jìn)行精確估計。

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