武 濤, 薛 紅

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

隨著期權定價的深入研究, 股票價格遵循 Ornstein-Uhlenbeck(簡稱 O-U)過程也被逐漸引入金融市場模型中.O-U過程是一類重要的移動平均過程, 最早由Sato和Yamazato[13]在1982年提出. 許多學者也對股票價格遵從O-U過程的期權實行了定價[14-16].冪型期權是奇異期權的一種, 它在到期日的價值不是用股價與執(zhí)行價格的差值,而是股票價格在到期日的某個指數(shù)冪與執(zhí)行價格之間的差值. 與傳統(tǒng)期權所不同的是, 冪型期權有能夠增強期權風險的效果, 同時也有很大的變通性, 可以滿足各樣風險喜好的投資者的需求. 近幾年不少學者研究冪型期權[17-19]，并把O-U過程引入到模型中[20-24].本文借助雙分數(shù)Brown運動相關理論, 引入Ornstein-Uhlenbeck過程,假設股票價格服從雙分數(shù)布朗運動和Ornstein-Uhlenbeck過程下驅(qū)動的隨機微分方程,借助雙分數(shù)布朗運動和Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學模型,運用保險精算方法,推導出歐式冪型期權定價公式和歐式上封頂及下保底冪型期權定價公式, 豐富了期權定價的理論.

1 雙分數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學模型

假定股票價格{St,t≥0}遵循雙分數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程

(1)

定理1 隨機微分方程(1)的解為

(2)

兩邊積分有

可得

得證.

注:當α=0時,可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下股票價格過程:

定義2[16]價格過程{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]定義為

(3)

定理2 股票價格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]滿足

(4)

當α=0時,雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下股票價格期望回報率為β(u)=μ,u∈[0,t]

證明由定理1知

由于

ξ

得證.

2 歐式冪型期權定價

定義3[13]歐式冪期權在T時刻的價值定義為:股票到期日價格按期望回報率折現(xiàn)值的冪與執(zhí)行價(看作是無風險資產(chǎn)債券)按無風險利率折現(xiàn)值的差在股票價格實際分布的概率測度下的數(shù)學期望, 這一定價稱為期權的保險精算定價. 用C(K,T)和P(K,T)分別表示執(zhí)行價格為K, 到期日為T的歐式看漲冪期權和看跌冪期權在t=0時刻的價格, 則根據(jù)精算定價方法知歐式冪型期權的保險精算價值

(5)

(6)

其中

定理3 執(zhí)行價格為K, 到期日為T的歐式看漲和看跌期權在t=0時刻的保險精算價值

(7)

(8)

且

則

從而B={η>d1}.

由于

(9)

其中

由此可得

同理可得

推論1 當K=1時, 可得分數(shù)O-U過程下的歐式看漲和看跌冪型期權定價公式為

推論2 當α→0時, 可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式冪型期權定價公式；當α→0,K=1時, 可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式冪型期權定價公式(見文獻[21]).

3 歐式上封頂及下保底冪型期權定價

定理4 設L為給定的期權上限, 則歐式看漲和看跌上封頂冪型期權在0時刻保險精算價格為

其中

證明歐式上封頂看漲冪型期權的損益為

(14)

利用定理3可得結(jié)果.

定理5 設R為給定的期權下限, 則歐式下保底看漲和看跌冪型期權0時刻保險精算價格為

證明歐式下保底看漲冪型期權的損益為

(17)

利用定理3可得結(jié)果.

注1 當L→+∞, 或L=0時, 可得雙分數(shù)O-U過程下歐式看漲冪型期權定價公式.

推論3 當K=1時, 可得分數(shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底n次冪型期權定價公式.

推論4 當n=1時, 可得雙分數(shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底冪型期權定價公式.

推論5 當α→0,K=1時, 可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式上封頂及下保底冪型期權定價公式[25].

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