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一個(gè)六元分式不等式的證明
——兼擂題(114)的解答

2018-06-21 07:07:08重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué)
關(guān)鍵詞:分式情形中學(xué)數(shù)學(xué)

重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué)

吳 波 (郵編:401249)

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2017年第6期擂題(114)是萬惠華先生提供的一個(gè)優(yōu)美的六元分式不等式:

我們將證明這個(gè)擂題.先給出一個(gè)引理.

其中36x4-168x3+253x2-169x+96=1-x36x21-x+96x2-121x+48+48>48>0.

擂題114的證明原不等式?

≥3a+b+c.

(1)當(dāng)a、b、c能構(gòu)成三角形(包括一邊等于另兩邊之和這種退化情形)時(shí),設(shè)2p=a+b+c,則p-a,p-b,p-c非負(fù),而ax+by+cz=p-ay+z+p-bz+x+p-cx+y.而由Cauchy不等式知:

令a=y+z,b=x+z,c=x+y(此處的x、y、z不是擂題中的x、y、z),因?yàn)閍、b、c能構(gòu)成三角形(包括退化的),則x、y、z為非負(fù)數(shù)且其中至多有一個(gè)為0.

結(jié)合引理知,只需證:∑-36x4+96x3-61x2+35x≥24即可.

因∑x=1,將上式齊次化,即證:-36∑x4+96∑x3∑x-61∑x2∑x2+11∑x4≥0.

將其配方得:10∑x2x-yx-z+28∑xyx-y2≥0.

結(jié)合Schur不等式可知:上式顯然成立!因此此時(shí)原不等式成立.

(2)當(dāng)a、b、c不能構(gòu)成三角形時(shí),不妨設(shè)c>a+b.

令c′=a+b,因此存在k>0使得:c=c′+k.此時(shí)

結(jié)合②式知:①式左邊

現(xiàn)在我們要證明③式中的后兩項(xiàng)之和大于3k.事實(shí)上,我們有(注意c′=a+b):

由③式并結(jié)合④、⑤兩式知:

①式左邊>3a+b+c′+3k=3a+b+c.因此此時(shí)原不等式成立.

綜合(1)、(2)可知擂題(114)的結(jié)論成立.證畢.

另外,在情形(1)的證明中我們還得到了如下結(jié)論:

注對(duì)一邊等于另兩邊之和這種退化情形仍成立.

1 萬惠華.有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(114)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2017(6):封底.

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