華東師范大學數(shù)學系

孫 浩 (郵編：200241)

1 研究背景

2014年3月30日，教育部頒布了《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本意見》.這是教育部在黨的十八大后，關于立德樹人根本任務的部署，也是社會發(fā)展的必然要求.同時也標志了新一輪基礎教育改革的開始.作為數(shù)學教育的研究生，對本次的數(shù)學課程改革格外關注.其中最為重要的一個環(huán)節(jié)便是高中課程標準的修訂，而此次《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》的一個亮點便是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.

這兩年隨著數(shù)學核心素養(yǎng)的興起，國內(nèi)關于數(shù)學核心素養(yǎng)的研究也是百花齊放，異常豐富.鄭毓信(2016)、蔡金法，徐斌艷(2016)、史寧中(2017)等專家也對數(shù)學核心素養(yǎng)進行了深入的研究，并給出了具有建設性的建議和看法[2～4].目前國際上關于學習評價模型主要有布魯姆模型、PISA模型、SOLO模型.

國內(nèi)關于課程難度的經(jīng)典模型也有不少，具有代表性的一種是由鮑建生(2002)[5]建立的習題綜合難度模型，難度因素分別是推理、運算、背景、知識含量和探究；另一種是由史寧中(2005)[6]提出的從課程時間、課程廣度和課程深度三個方面來描述數(shù)學課程難度的模型，相比于這類模型如此之豐富，目前國內(nèi)關于數(shù)學核心素養(yǎng)的評分標準模型卻很少見.

2 數(shù)學核心素養(yǎng)測試卷編制的標準

我們想要嘗試著提出數(shù)學核心素養(yǎng)的評分標準模型，而這里有個前提，我們必須有一份科學合理的測試卷.通過這張測試卷，我們希望能夠最大限度反映出學生數(shù)學核心素養(yǎng)水平，所以我們希望測試卷的構成能夠以解答題為主，之所以希望以解答題為主，是為了能夠觀測出學生的解題過程，避免了客觀題(如選擇題，填空題.只有正確和錯誤這兩種情況.而同時測試卷的選題也需要具有一定的標準，必須科學地包含六大數(shù)學核心素養(yǎng).因此我們依據(jù)的選題標準如表1：

表1 測試題制定標準依據(jù)

3 測試題數(shù)學核心素養(yǎng)水平劃分的標準

根據(jù)高中數(shù)學核心素養(yǎng)水平劃分，我們要將測試題所包含的數(shù)學核心素養(yǎng)水平作出如下的梳理：(1代表水平一、2代表水平二、3代表水平三)詳見[7].例如表2：

表2 測試題數(shù)學核心素養(yǎng)水平

通過這樣的梳理，我們可以很清晰地觀測出測試卷的構成，以及每道測試題所包含的相關數(shù)學核心素養(yǎng)(一般情況下，我們認為是測試題所包含的最重要的兩個數(shù)學核心素養(yǎng))，通過這樣的梳理我們很自然地發(fā)現(xiàn)測試卷里同樣分值的兩道題目，如1和5，都是8分，它們所對應的數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)分別為1、3.如果只是用考生的卷面得分去代表他們的數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的得分，這顯然是不科學的，因此這就需要我們?nèi)ブ贫ㄒ粋€相對科學的數(shù)學核心素養(yǎng)評分標準模型.

4 數(shù)學核心素養(yǎng)評分標準模型

由于不同的數(shù)學題里包含的數(shù)學核心素養(yǎng)的層次有所差異，因此這就需要我們制定一個評判數(shù)學題的數(shù)學核心素養(yǎng)評分標準模型.當然，如何做出一個客觀的評分標準模型也絕非易事，在此提出幾種關于數(shù)學核心素養(yǎng)評分標準模型，希望能夠拋磚引玉.

4.1 學生數(shù)學核心素養(yǎng)表現(xiàn)層次的劃分模型

我們以數(shù)學抽象核心素養(yǎng)為例，首先我們篩選出所有包含數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的測試題，并根據(jù)這些測試題的分值，計算出總值p,

為A層次.顯然這樣的劃分適用于按模塊分類，將一張測試卷依照6個數(shù)學核心素養(yǎng)分為6個部分，通過這個模型可以量化學生在各個核心素養(yǎng)上的表現(xiàn)層次的比重；也可以運用于不同的對象(學校與學校，地區(qū)與地區(qū)等)之間的比較.

4.2 測試題學生數(shù)學核心素養(yǎng)評分標準模型

5 案例分析

例如測試題中有一道題目如下：

在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點到達不在同一條街道上的另一點，常常不能僅僅沿直線方向行走, 而只能沿街走(轉直角彎).因此可以引入直角坐標系，對給定的兩點A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下的方式定義距離：d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|(注：下述問題中提到的距離都是指上述距離).

(1)證明：對任意的三點A、B、C，滿足d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)；

(2)畫出到定點O(0,0)距離為1的點P(x,y)構成的圖形，并表述圖形的特征；

(3)設A(-1,0)、B(1,0),畫出到A、B兩點距離之和為4的點P(x,y)構成的圖形，并表述圖形的特征.

這道題目反映出了現(xiàn)實生活中的一種特殊的距離.這與學生們平常所學的歐氏距離有所區(qū)別.這需要學生能夠理解“街道”距離的定義，規(guī)則，并通過這種規(guī)則去證明和討論一些基本的數(shù)學問題，著重考查了學生的邏輯推理數(shù)學核心素養(yǎng)，(2)、(3)兩問同時也考查了學生的直觀想象核心素養(yǎng).在這里我們以(3)為例.

以下是部分測試者的答案：

A同學：

B同學：

C同學：

D同學：

顯然這四種答案的數(shù)學核心素養(yǎng)的層次是不一樣的，這就需要我們制定較為科學合理的答案，我們可以將其答案分為四個步驟：

1空白或完全錯誤0″………………………………2能夠列出代數(shù)式,但是化簡錯誤,導致畫圖錯誤2″………………………………………………3畫出正確的圖形,但沒有相應的代數(shù)證明;代數(shù)證明完全正確,但沒有畫出正確的圖象4″………4圖形正確,代數(shù)證明正確6″………………………

1 核心素養(yǎng)研究課題組.中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J].中國教育學刊,2016,(10):1-3

2 鄭毓信.數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學教育學報,2016,25(3)

3 蔡金法,徐斌艷.也論數(shù)學核心素養(yǎng)及其構建[J].全球教育展望,2016,(11):3-12

4 史寧中,林玉慈,陶劍,等.關于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法[J],2017.37(4):8-14

5 鮑建生.中英兩國初中數(shù)學期望課程綜合難度的比較[D].華東師范大學,2002

6 史寧中.課程難度模型:我國義務教育幾何課程難度的比較[J].東北師大學報(哲學社會科學版),2005,(6):151-155

7 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017