上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)

范莉花 (郵編：638400)

2018年1月，上海市青浦區(qū)一模數(shù)學(xué)壓軸題如下：

如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)，點(diǎn)Q是邊CD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ.

(1)當(dāng)QD=QC時(shí)，求∠ABP的正切值；

(2)設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)聯(lián)結(jié)BQ，在△PBQ中是否存在度數(shù)不變的角，若存在，指出這個(gè)角，并求出它的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(第一小題是第二小題的特殊情況，解法相同，第二小題解法如下)

解法一(標(biāo)準(zhǔn)答案)過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)BQ.

易證Rt△ABP≌Rt△HBP和Rt△HBQ≌Rt△CBQ，AP=PH=x，QH=CQ=y，

則PQ=x+y，在Rt△PDQ中，PD2+DQ2=PQ2,

解法二(BH是高,用等積法)過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)BQ.

易證Rt△ABP≌Rt△HBP和Rt△HBQ≌Rt△CBQ，AP=PH=x，QH=CQ=y，則PQ=x+y，

因∠A=∠C=∠D=90°，BH⊥PQ，故S△ABP+S△PBQ+S△BCQ+S△PDQ=S正ABCD.即

解法三(構(gòu)造基本型)

本題的實(shí)測(cè)結(jié)果不盡如人意，14分的壓軸題區(qū)平均得分只有2.4分，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？壓軸題到底有多難？是不是只有優(yōu)等生才能做？面對(duì)壓軸題，教師究竟該如何有效教學(xué)？

其實(shí)，看到此題，不難聯(lián)想到下面兩道題：

1 2010年黃浦區(qū)二模壓軸題

如圖，一把“T型”尺(右下圖)，其中MN⊥OP，將這把“T型”尺放置于矩形ABCD中(其中AB=4,AD=5)，使邊OP始終經(jīng)過點(diǎn)A，且保持OA=AB，“T型”尺在繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，直線MN交邊BC、CD于E、F兩點(diǎn).(如上圖)

(1)試問線段BE與OE長(zhǎng)度關(guān)系如何？說明理由；

(2)當(dāng)△CEF是等腰直角三角形時(shí),求線段BE的長(zhǎng)；

(3)設(shè)BE=x,CF=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域.

第三小題解法一(標(biāo)準(zhǔn)答案)

在BC上取點(diǎn)H，使BH=BA=4，過點(diǎn)H作AB的平行線，交EF、AD于點(diǎn)K、L(如圖)易知四邊形ABHL為正方形，EH=4-x,

易證Rt△ABE≌Rt△AOE和Rt△AOK≌Rt△ALK得BE=OE=x，KL=KO.

令HK=a,KL=KO=4-a，EK=x+4-a,在Rt△EHK中，EH2+HK2=EK2,

因?yàn)?-x2+a2=x+4-a2,

解法二(AO是高：用等積法)

聯(lián)結(jié)AE、AF,得EC=5-x，DF=4-y，在Rt△ECF中，

因∠C=∠B=∠D=90°，AO⊥EF

故S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=S矩ABCD,

(較多學(xué)生想到這種方法，但由于整理的過程較為復(fù)雜，成為這種解法的“坎”，部分學(xué)生最終得不出答案.)

解法三(構(gòu)造基本型)

延長(zhǎng)EF、AD交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AE，垂足為點(diǎn)H，由∠B=90°.

解法四(構(gòu)造基本型)

過E作EG∥AB，交AO于點(diǎn)G,

由于∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠2，AG=EG=a，則OG=4-a，∠EOG=90°.

由勾股得x2+(4-a)2=a2

易證∠4=∠5，

所以tan∠4=tan∠5

2 2013年上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題

在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)QP(如圖)．已知AD=13，AB=5，設(shè)AP=x，BQ=y,

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(2)當(dāng)以AP長(zhǎng)為半徑的⊙P和以QC長(zhǎng)為半徑的⊙Q外切時(shí)，求x的值；

(3)點(diǎn)E在邊CD上，過E作直線QP的垂線，垂足為F，若EF=EC=4，求x的值．

第一小題解法(找出基本型)

因?yàn)锳D∥BC，所以∠APB=∠PBQ

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形.

第三小題解法一(標(biāo)準(zhǔn)答案)聯(lián)接EQ,

因?yàn)镋C=EF=4，易證△ECQ≌△EFQ

所以∠EQC=∠EQF可得 2(∠DQF+∠PQM)=180°,所以∠EQM=90°,

可得∠EQC=∠PBC=∠APB，

又因?yàn)椤螦=∠C=90°,所以△APB∽△CQE

解法二(EF是高：用等積法)

聯(lián)結(jié)PE、EQ,易證BQ=PQ=y，EF=EC=4，DE=1，PD=13-x,

而∠D=∠C=∠EFP=90°，得S△PQE=S梯PQCD-S△PDE-S△ECQ.

解法三(構(gòu)造基本型)

聯(lián)接EQ，延長(zhǎng)QE和AD和交于點(diǎn)G.

因?yàn)镋C=EF=4，所以△ECQ≌△EFQ

故∠EQC=∠EQF,又AD∥BC,

故∠EQC=∠G=∠EQF，

故PQ=PG,又EC=4，DE=1，QC=13-y,AD∥BC,

三個(gè)壓軸題的比較分析：三個(gè)壓軸題，時(shí)隔8年，雖然有著不同的動(dòng)態(tài)幾何背景，但都考查了相似的函數(shù)問題，都融合了相似的知識(shí)點(diǎn)，都蘊(yùn)涵著相似的數(shù)學(xué)思想方法，因此，這三個(gè)壓軸題有著相似的解題方法.

3 對(duì)教學(xué)的啟示

3.1 按命題背景或解題策略分專題研究壓軸題，提高教師“理解壓軸題”的能力

數(shù)學(xué)教育理論界在研究教學(xué)問題時(shí)有一個(gè)潛在假設(shè)：凡數(shù)學(xué)教師，對(duì)所教的知識(shí)都是了如指掌的，都已具備“理解數(shù)學(xué)”的能力.然而，大量課堂觀察表明，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數(shù)學(xué)理解不到位.在日常工作中，確實(shí)有教師參考標(biāo)準(zhǔn)答案分析壓軸題的現(xiàn)象；更多的是按照備課組教學(xué)安排，一題一題認(rèn)真做題，用多種方法分析壓軸題，可往往只是以題論題，缺少分析題與題之間的區(qū)別和聯(lián)系，做不到以題論法；偶爾也會(huì)有“考過的壓軸題，絕對(duì)不會(huì)再考，不做也沒關(guān)系”的僥幸心理.

因此，教師想要有效教學(xué)壓軸題，必須自身對(duì)壓軸題理解到位，需要把2008年以來(即二期課改以來)的所有一模、二模和中考的壓軸題都認(rèn)真研究一遍，并按命題背景或解題策略進(jìn)行專題分類，不僅會(huì)做，還要盡量用多種方法做，多與備課組同事交流不同的解題方法，挖掘其中的一些重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，對(duì)這些壓軸題的解法、區(qū)別及聯(lián)系做到了然于胸，提高教師自身對(duì)壓軸題的理解能力.

教師只有把解壓軸題中的孤立的知識(shí)點(diǎn)在大腦中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能在教學(xué)時(shí)設(shè)置有利于學(xué)生理解知識(shí)的教學(xué)主線，提出具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，對(duì)學(xué)生解壓軸題進(jìn)行針對(duì)性、有效性的指導(dǎo)，才有希望培養(yǎng)學(xué)生形成真正的獨(dú)立解決新壓軸題的能力.

3.2 按題組進(jìn)行教學(xué)，提高學(xué)生分析解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生解壓軸題的自信心

在日常教學(xué)中，明顯感受到學(xué)生在解壓軸題時(shí)有畏難的情緒，常聽學(xué)生說“我就是不會(huì)做”，也常有家長(zhǎng)反映，做壓軸題時(shí)學(xué)生對(duì)網(wǎng)上的答案有依賴性，所以，如何增強(qiáng)學(xué)生解壓軸題的自信心，是提高壓軸題教學(xué)質(zhì)量關(guān)鍵所在.

比如，教師把三個(gè)壓軸題作為一組題組進(jìn)行教學(xué)，先教學(xué)2018青浦一模壓軸題：①學(xué)生獨(dú)立思考問題；②鼓勵(lì)同學(xué)間討論問題；③教師一一分析不同的解法；④學(xué)生用多種方法完善解題過程；再教學(xué)2010年黃浦的二模壓軸題：①學(xué)生獨(dú)立思考問題；②鼓勵(lì)同學(xué)間討論問題；③師生共同分析不同的解法；④學(xué)生用多種方法完善解題過程，讓學(xué)生在不同的幾何背景中，獨(dú)立分析出相似的解題方法，鞏固上一題的解題策略；最后教學(xué)2013年中考?jí)狠S題：①學(xué)生獨(dú)立思考問題；②鼓勵(lì)同學(xué)間討論問題；③讓有不同解法的學(xué)生自主分析解法；④學(xué)生用多種方法完善解題過程，讓認(rèn)真解題的學(xué)生能當(dāng)一回小老師，激發(fā)學(xué)生探究壓軸題的積極性，讓學(xué)生覺得壓軸題也是可以做的、能做的、會(huì)做的，最后建立起解題的自信心.而不是孤立地“刷”壓軸題，一味地搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，教師應(yīng)該對(duì)壓軸題有整體的把握，能系統(tǒng)地思考，站得高才能望得遠(yuǎn)，找到適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岣邔W(xué)生的解題質(zhì)量，所以，在教學(xué)中，教師需要做到引導(dǎo)學(xué)生從“以題論題”到“以題論法”，再到“以題論道”，走出解答壓軸題的誤區(qū).

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出，一個(gè)完整的解題步驟包括：弄清問題、擬訂解題計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃和解題回顧四個(gè)環(huán)節(jié).在解題回顧環(huán)節(jié)中，學(xué)生們可以對(duì)解題過程進(jìn)行總結(jié)和反思，回顧每一個(gè)步驟的合理性和必要性，對(duì)比聯(lián)想相關(guān)的解題思想，長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，就有可能升華為解題策略.

通過，上述三題為一組的題組教學(xué)，讓學(xué)生有這樣的自信心，只要平時(shí)認(rèn)真、肯下功夫，壓軸題是完全能做的.

1 章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J].數(shù)學(xué)通報(bào).2015(6)

2 章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論(第2版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008