， 　

(太原理工大學(xué) a. 數(shù)學(xué)學(xué)院, b. 大數(shù)據(jù)學(xué)院， 山西 太原 030024)

近幾年，多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制在植絨、同步、牽制及編隊(duì)控制等各方面的潛在應(yīng)用吸引了大量學(xué)者的科學(xué)研究。系統(tǒng)協(xié)同控制的典型研究包括一致性、牽制控制及編隊(duì)控制等?；跔恐瓶刂坪途庩?duì)控制，出現(xiàn)了更復(fù)雜的編隊(duì)牽制控制問(wèn)題，即要求領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)理想的編隊(duì)控制， 同時(shí)跟隨者的狀態(tài)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包。學(xué)者們研究了各種無(wú)向或有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的一階、二階系統(tǒng)的編隊(duì)牽制問(wèn)題[1-4]。編隊(duì)、牽制控制、一致性和一致追蹤問(wèn)題都可以作為編隊(duì)牽制控制問(wèn)題的特殊情形。

當(dāng)前，脈沖控制方法已經(jīng)被證明在混沌系統(tǒng)、混雜系統(tǒng)及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步應(yīng)用中是有效且有魯棒性的[5-7]。將脈沖控制方法應(yīng)用到多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題中有諸多優(yōu)點(diǎn)，如結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、快速瞬態(tài)以及低成本等。對(duì)于給定的多智能體系統(tǒng)，如何結(jié)合脈沖控制的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)相應(yīng)的脈沖控制協(xié)議，從而使得整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到一致是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]中基于智能體局部信息的脈沖控制協(xié)議，研究了一類非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]中基于分布式脈沖一致算法，研究了一階積分器多智能體系統(tǒng)，并得出采用脈沖算法控制收斂更快的結(jié)論。文獻(xiàn)[10]中研究了一類切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下二階積分器多智能體系統(tǒng)的脈沖一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]中研究了有向動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，基于采樣信息的二階多智能體系統(tǒng)，采用脈沖控制算法使其速度和位移狀態(tài)都實(shí)現(xiàn)了一致性。

許多智能體之間的信息傳遞可能是間歇的而不是持續(xù)性的，由于脈沖控制器在采樣時(shí)刻起作用，因此智能體之間采用脈沖控制器就是實(shí)用且有效的。例如，在多智能體系統(tǒng)中，在瞬時(shí)向多個(gè)智能體發(fā)送一個(gè)脈沖可以減少不必要信息的同時(shí)傳送信號(hào)，并且可以改善智能體干擾的魯棒性。由此可以想到，采用脈沖一致性算法實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制應(yīng)該有好的效果，即通過(guò)設(shè)計(jì)脈沖算法去實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)牽制控制。

本文中為了研究有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)條件下的高階線性多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)牽制問(wèn)題，對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分別提出2種控制協(xié)議，以確保領(lǐng)導(dǎo)者在脈沖算法的作用下實(shí)現(xiàn)理想的時(shí)變編隊(duì)控制，同時(shí)跟隨者實(shí)現(xiàn)牽制控制，即領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)在脈沖算法的作用下應(yīng)實(shí)現(xiàn)設(shè)定好的編隊(duì)控制，同時(shí)跟隨者的狀態(tài)被牽制到領(lǐng)導(dǎo)者生成的凸包，其中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有向的，并且領(lǐng)導(dǎo)者分別在同步脈沖、不活躍脈沖及失步脈沖作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制；將編隊(duì)牽制控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為漸近穩(wěn)定性問(wèn)題，并提出實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制的充分條件；通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性。

1　預(yù)備知識(shí)

1.1　圖論知識(shí)

設(shè)G(V,E,W)是一個(gè)圖，其中V={1,2,…,n}是所有節(jié)點(diǎn)的集合，E?V×V是所有邊的集合，W=(wij)是鄰接矩陣,i,j=0,1,2,…。如果存在一條邊從Vi(第i個(gè)節(jié)點(diǎn))到Vj，即(Vi,Vj)∈E，那么wij>0，否則wij=0，并且W的對(duì)角線元素都為0，即wii=0。圖G的度矩陣表示為D=diag(di),i=0,1,2,…。圖G的拉普拉斯矩陣表示為L(zhǎng)=D-A=(lij)∈且lij=-wij對(duì)任意的i≠j都成立。

引理1[12]設(shè)L∈n×n是一個(gè)有向圖G的拉普拉斯矩陣。如果G有一個(gè)生成樹(shù)，那么L有且僅有一個(gè)零特征值且IN是對(duì)應(yīng)的特征向量，其他N-1個(gè)特征值均有正實(shí)部。

1.2　問(wèn)題描述

本文中考慮有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的多智能體系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)里有M個(gè)跟隨者和N-M個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者。分別用F={1,2,…,M}和L={M+1,M+2,…,N}表示跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的集合。如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)不能從其他節(jié)點(diǎn)接收信息，稱這個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者；否則，稱這個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)跟隨者。圖G(V,E,W)表示節(jié)點(diǎn)之間的拓?fù)洹６嘀悄荏w系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述為

(1)

式中：t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間；xi(t)∈n和ui(t)∈m分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)和輸入控制，n和m均為向量維數(shù)；A和B為常數(shù)矩陣。

(2)

成立。

(3)

成立。

定義3[13]稱系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制，如果對(duì)任意給定的有界初始狀態(tài)及任意i∈L及k∈F，存在一個(gè)向量值函數(shù)r(t)∈n和非負(fù)常數(shù)αkj滿足使得式(2)、(3)同時(shí)成立。

定義4[14]平均脈沖間隔脈沖序列ζ={t1,t2,…} 的平均脈沖間隔為T0，如果存在正整數(shù)N0和正數(shù)T0，使得

(4)

式中：T為任意時(shí)間點(diǎn)；?0≤t≤T，Nζ(T,t)為脈沖序列ζ在間隔(t,T)上的脈沖次數(shù)。

假設(shè)1有向圖G中，對(duì)于每個(gè)跟隨者都存在一條由至少一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者指向它的路徑。

G1為領(lǐng)導(dǎo)者之間的拓?fù)潢P(guān)系。假設(shè)G1有一個(gè)生成樹(shù)?；陬I(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的性質(zhì)，圖G的拉普拉斯矩陣可以分解為

式中：L1∈M×M為跟隨者的拉普拉斯矩陣；L2∈M×(N-M)為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者之間的信息拓?fù)?；L3∈(N-M)×(N-M)為領(lǐng)導(dǎo)者的拉普拉斯矩陣。

引理3[16]對(duì)任意合適維數(shù)的矩陣P、Q、C和D， Kronecker積有下列的性質(zhì):

1)(cP)?Q=P?(cQ)，其中c為常數(shù)，?為Kronecker積運(yùn)算；

2)(P+Q)?C=P?C+Q?C；

3)(P?Q)(C?D)=(PC)?(QD)；

4)(P?Q)T=PT?QT。

2　帶脈沖算法的編隊(duì)牽制控制

(5)

領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入為

hj(t)]}，i∈L，t≠tk，

(6)

(7)

式中：Ki∈m×n(i=1, 2, 3)為常數(shù)增益矩陣；μ為脈沖信號(hào)的強(qiáng)度；tk為脈沖時(shí)刻，k=1,2,…，且脈沖時(shí)刻序列滿足 0=t0

，

(8)

(L3?BK3)hL(t)，t≠tk。

(9)

i∈L，t≠tk，

(10)

(11)

脈沖算法(11)可改寫為Kronecker積形式，即

。

(12)

(13)

t≠tk。

(14)

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的牽制控制，令

(15)

θ(t)=-(L1?I)xf(t)-(L2?I)xL(t)

，

(16)

如果θ(t)→0，可得

。

(17)

根據(jù)式(17)、引理2和定義2可得，系統(tǒng)(1)將實(shí)現(xiàn)牽制控制。

定理1系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(5)、(6)、 (7)作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制，如果下列不等式同時(shí)成立：

1)對(duì)任意i,j∈L，

(18)

2)對(duì)任意i∈L，

2ln|μ|+αT0<0

，

(19)

3)對(duì)任意i∈F，A+BK1-λiBK2是Hurwitz的。

證明：如果條件1)成立，則有

(20)

(21)

(22)

考慮下列子系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

(23)

由(14)式和條件(23)化簡(jiǎn)得

(24)

如果系統(tǒng)(23)漸近穩(wěn)定，則可得系統(tǒng)(24)也是漸近穩(wěn)定的?？紤]Lyapunov函數(shù)

(25)

當(dāng)t∈(tk-1,tk]，k∈+， 沿著系統(tǒng)(25)的軌跡對(duì)V(t)求導(dǎo)可得

αV(t),i=M+2,M+3,…,N,

(26)

由此可得

(27)

其中t∈(tk-1,tk]，k∈+。當(dāng)t=tk，k∈+，有

(28)

根據(jù)式(27)、(28)，有以下結(jié)論：

(29)

下面分別考慮同步脈沖(0<|μ|<1)，不活躍脈沖(|μ|=1)和失步脈沖(|μ|>0)。由于脈沖序列ζ={t1,t2,…}的平均脈沖間隔為T0，因此有

(30)

如果0<|μ|<1，由式(29)、(30)可得

(31)

當(dāng)|μ|=1，有μ2k=1。由式(29)可得

(32)

類似地，當(dāng)|μ|>1，由式(29)、(30)可得

(33)

結(jié)合不等式(31)、(32)、(33)，給定常數(shù)M0=max{μ-2N0,1,μ2N0}，則有

(34)

如果條件2)成立， 那么由式(24)描述的N-M-1維子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即

(35)

由引理5和式(35)知， 系統(tǒng)(9)實(shí)現(xiàn)了時(shí)變編隊(duì)hL(t)。

當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)h1(t)時(shí)，則有

(36)

由于L31=0，因此

。

(37)

由式(8)、(9)、(16)可得

(L2L3?BK3)[xL(t)-hL(t)]。

(38)

由式(37)和(38)可得

(39)

根據(jù)L1的結(jié)構(gòu)，考慮子系統(tǒng)

(40)

如果條件3)成立，那么子系統(tǒng)(40)是漸近穩(wěn)定的，進(jìn)而系統(tǒng)(39)是漸近穩(wěn)定的。

由式(37)、(48)、(49)可得

(41)

再由式(35)、(41)，可證系統(tǒng)(1)在控制輸入(5)、(6)和脈沖算法(7)的作用下實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)牽制控制。

定理1得證。

推論1在M=0的情況下，系統(tǒng)(1) 在控制協(xié)議(6)、(7)的作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)hL(t)，如果定理1中的條件1)和2)成立。

推論2在領(lǐng)導(dǎo)者沒(méi)有鄰居且不加脈沖控制的情況下，系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(5)、(6)的作用下實(shí)現(xiàn)牽制控制，如果定理1中的條件3)成立。

3　數(shù)值仿真

假設(shè)在這個(gè)系統(tǒng)中有4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和4個(gè)跟隨者。圖1所示為系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為了簡(jiǎn)便，假設(shè)節(jié)點(diǎn)之間相互作用的權(quán)重為0～1。

節(jié)點(diǎn)1—4為跟隨者；節(jié)點(diǎn)5—8為領(lǐng)導(dǎo)者。圖1　有向圖G的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

系統(tǒng)的編隊(duì)牽制問(wèn)題描述如下。首先，4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者要實(shí)現(xiàn)一個(gè)時(shí)變的平行四邊形并圍繞提前設(shè)定好的時(shí)變編隊(duì)參考函數(shù)保持運(yùn)動(dòng)。編隊(duì)定義為

其次，要求4個(gè)跟隨者收斂到由4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)形成的凸包。

選擇K1=(-4，-5)賦值求A+BK1的特征值。這種情況下，編隊(duì)函數(shù)將進(jìn)行周期性運(yùn)動(dòng)?？梢则?yàn)證滿足定理1中的條件1)成立且(A,B)是可穩(wěn)定的，因此，為了確保系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制，選取矩陣K2=(-0.9，0.4)和K3=(-1.9，0.9)。

為了描述簡(jiǎn)單，系統(tǒng)狀態(tài)表示為(x1(t),x2(t))T，其中x1(t)=(xi1(t))T，x2(t)=(xi2(t))T，i=1,2,…,8表示8個(gè)節(jié)點(diǎn)。

給出脈沖序列ζ={ε,2ε,…,(N0-1)ε,N0T0,N0T0+ε,N0T0+2ε,…,N0T0+(N0-1)ε,2N0t0,…}， 根據(jù)定理1中的條件2)， 首先考慮同步脈沖作用下系統(tǒng)的編隊(duì)牽制控制， 令脈沖信號(hào)強(qiáng)度μ=0.8,則可選取平均脈沖間隔T0=0.12，N0=10，ε=0.05，則可得同步脈沖序列，如圖2所示。此時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者可以實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制，同時(shí)跟隨者也收斂到領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包，如圖3所示，其中領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個(gè)不同顏色的五角星表示。此外，領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)形成的凸包用實(shí)線標(biāo)記。圖3(a)—(c)所示為同步脈沖作用下領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)現(xiàn)了理想的平行四邊形編隊(duì)，同時(shí)跟隨者的狀態(tài)也收斂到領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)形成的凸包。圖3(b)—(d)所示為已實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)保持時(shí)變運(yùn)動(dòng)。

圖2　同步脈沖序列

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、 x2(t)—8個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖3 在同步脈沖作用下8個(gè)智能體在不同時(shí)刻的軌跡

考慮失步脈沖作用下系統(tǒng)的編隊(duì)牽制控制，令脈沖信號(hào)強(qiáng)度μ=1.2，則可選取平均脈沖間隔T0=0.12，N0=10，ε=0.05，得失步脈沖序列，如圖4所示。此時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者可以實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制，同時(shí)跟隨者也收斂到領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包，如圖5所示，其中領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個(gè)不同

圖4　失步脈沖序列

顏色的五角星表示。此外，領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)形成的凸包用實(shí)線標(biāo)記。圖5(a)—(c)所示為失步脈沖作用下領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)現(xiàn)了理想的平行四邊形編隊(duì)，同時(shí)跟隨者的狀態(tài)也收斂到領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)形成的凸包。圖5(b)—(d)所示為已實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)繼續(xù)保持時(shí)變運(yùn)動(dòng)。

同時(shí)，仿真中也考慮多智能體系統(tǒng)無(wú)脈沖輸入控制時(shí)的情況，取同樣的K1、K2、K3，系統(tǒng)(1)也可以實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制，如圖6所示，其中領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個(gè)不同顏色的五角星表示。 此外， 領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)形成的凸包用實(shí)線標(biāo)記。圖6(a)—(c)所示為無(wú)脈沖作用下領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)現(xiàn)了理想的平行四邊形編隊(duì)，同時(shí)跟隨者的狀態(tài)也收斂到領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)形成的凸包。圖6(b)—(d)所示為已實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)保持時(shí)變運(yùn)動(dòng)。通過(guò)與圖3、5相比較可知，對(duì)于同一多智能體系統(tǒng)，基于脈沖一致算法實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)牽制控制速度更快。

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、x2(t)—8個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖5 在失步脈沖作用下8個(gè)智能體在不同時(shí)刻的軌跡

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、x2(t)—8個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖6 在無(wú)脈沖控制作用下8個(gè)智能體在不同時(shí)刻的軌跡

4　結(jié)論

本文中研究了多智能體系統(tǒng)基于脈沖算法的編隊(duì)牽制控制問(wèn)題。分別針對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者提出不同的控制協(xié)議，且領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)了預(yù)定的時(shí)變編隊(duì)，同時(shí)跟隨者的狀態(tài)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包。將編隊(duì)牽制控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為漸近穩(wěn)定性問(wèn)題，并對(duì)多智能體系統(tǒng)在脈沖算法的作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制提出了充分條件。牽制問(wèn)題、編隊(duì)控制問(wèn)題都可以作為編隊(duì)牽制問(wèn)題的特殊情形。今后的研究方向是針對(duì)時(shí)變無(wú)向或時(shí)變有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，在脈沖算法的作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)牽制控制。