， ， ，

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350118; 2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 福州 350118)

地震動(dòng)是一種典型的寬頻帶非平穩(wěn)信號(hào)[1]，地震能量在時(shí)間與頻率上表現(xiàn)出不均勻分布，其能量集中增加了結(jié)構(gòu)的不安全和不穩(wěn)定。并且由于地震動(dòng)的傳播介質(zhì)具有非線性特性，使得原本復(fù)雜的地震動(dòng)表現(xiàn)出更加強(qiáng)烈的非線性特征，從而增大了結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)的研究難度。

關(guān)于地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性，Housner[2]率先提出地震動(dòng)是一隨機(jī)過程，描述地震動(dòng)隨機(jī)特性的模型有白噪聲模型、過濾噪聲模型及簡(jiǎn)諧波等模型[3]。然而，通過地震動(dòng)的功率譜或Hilbert譜，卻明顯地發(fā)現(xiàn)，地震動(dòng)的頻譜與高斯白噪聲的頻譜有很大的差異[4]，這表明地震動(dòng)除具有隨機(jī)性外，還應(yīng)具有一些隱藏在它表面無序下的其他規(guī)律。20世紀(jì)60年代興起的混沌理論為地震動(dòng)提供了新的研究思路。混沌理論是一種國(guó)內(nèi)外公認(rèn)的理想研究方法，它已被廣泛應(yīng)用于氣象學(xué)和物理學(xué)等許多領(lǐng)域。本文將基于混沌理論，對(duì)地震動(dòng)的混沌特性展開定量與定性分析，探討地震動(dòng)各要素對(duì)其混沌特性的影響，為后續(xù)結(jié)構(gòu)失效機(jī)理的研究奠定理論基礎(chǔ)。

1 混沌系統(tǒng)的基本特征

1975年Li和Yorke在文章《周期3意味著混沌》中首次用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義了混沌[4]，而在動(dòng)力系統(tǒng)中，混沌是非線性的確定性系統(tǒng)表現(xiàn)出來的隨機(jī)行為的總稱[5]?；煦缦到y(tǒng)具有以下基本特征[6]：

(1)對(duì)于系統(tǒng)的初始條件具有敏感性。一個(gè)確定系統(tǒng)初始值的微小改變?cè)谝欢ǖ臅r(shí)間內(nèi)會(huì)演化出與初始值非常大的差值，Lyapunov指數(shù)是衡量敏感依賴于初始值這一特性的指標(biāo)。

(2)混沌是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。表面上看是雜亂無章，但通過一定的研究方法將發(fā)現(xiàn)其背后存在著一定的規(guī)律和秩序，即混沌運(yùn)動(dòng)是有序與無序的對(duì)立統(tǒng)一。

(3)混沌具有自相似性及分形特性。系統(tǒng)某一變量的運(yùn)動(dòng)軌跡在時(shí)域上表現(xiàn)出具有自相似性的層次結(jié)構(gòu)，混沌吸引子可反映這一特征，如圖1所示。

圖1 Duffing系統(tǒng)吸引子Fig.1 Duffing system attractor

基于混沌理論的分析方法研究地震動(dòng)的可行性有以下幾點(diǎn):

(1)混沌系統(tǒng)屬于非線性動(dòng)力系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是長(zhǎng)期不可確定的，地震動(dòng)的發(fā)生及其對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響也是不可預(yù)測(cè)的；

(2)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)運(yùn)動(dòng)?；煦缦到y(tǒng)在功率譜上表現(xiàn)出的特征與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不同，它的頻譜帶寬較大，呈現(xiàn)出“尖峰肥尾”的特征，而隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的功率譜在整個(gè)頻帶上分布均勻。

(3)地震動(dòng)及其結(jié)構(gòu)響應(yīng)本身是一種時(shí)間序列，混沌時(shí)間序列分析方法的引入可拓寬其研究視野。

2 混沌特性的判別

混沌蘊(yùn)含在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中，為了準(zhǔn)確判斷其動(dòng)力特性，系統(tǒng)混沌特性的判別通常采用定性與定量?jī)煞N方法[7]。

2.1 混沌識(shí)別的定性指標(biāo)

功率譜分析法、主成分分析法、改進(jìn)的FNN[4]法都在一定程度上能夠區(qū)分隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。由于主成分分析法計(jì)算量小，識(shí)別效率高，本文采用該方法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行了分析。

主成分分析法首先是通過對(duì)一已知時(shí)間序列{x(1),x(2),…,x(n)}進(jìn)行相空間重構(gòu)(其中延遲時(shí)間為l、嵌入維數(shù)為m的)，得到軌線矩陣Xl×m(l=n-(m-1))，然后計(jì)算協(xié)方差矩陣C為：

(1)

并計(jì)算其特征值ηi(i=1,2,…,m)，(其中η1≥η2≥…≥ηm)，最后對(duì)特征值求和：

(2)

以嵌入維數(shù)m為x軸，ln(ηi/γ)為y軸作圖，即為主成分譜圖。由于噪聲信號(hào)在不同的嵌入維數(shù)下特征值變化很小，在圖上就顯示出一條近乎平行于因變量的直線，如圖2所示，其斜率近乎為0。

圖2 噪聲序列的主成分譜圖Fig.2 Principal components of the noise series

混沌信號(hào)在不同的嵌入維數(shù)下吸引子的展開程度不同，特征值變化很大，在圖上表現(xiàn)出一條斜率為負(fù)的直線。圖3為經(jīng)典的非線性系統(tǒng)Duffing 系統(tǒng)的主成分譜，其斜率k=-0.3。

圖3 Duffing 系統(tǒng)的時(shí)間序列主成分譜圖Fig.3 Principal components of Duffing system’s time series

2.2 混沌識(shí)別的定量指標(biāo)

關(guān)聯(lián)維數(shù)D、Kolmogorov熵及Lyapunov指數(shù)等定量指標(biāo)是基于混沌時(shí)間序列的分析方法對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行計(jì)算得到的參數(shù)，通過這些參數(shù)可評(píng)價(jià)混沌是否存在及混沌程度(紊亂程度的大小)。

(1)關(guān)聯(lián)維數(shù)D

關(guān)聯(lián)維數(shù)是判斷系統(tǒng)是否存在混沌的指標(biāo)，它描述了混沌吸引子的維數(shù)，通過對(duì)時(shí)間序列的相空間重構(gòu)，計(jì)算關(guān)聯(lián)積分，并利用G-P算法確定關(guān)聯(lián)維數(shù)[13]。

(3)

其中，r為一很小的正數(shù)；Cn(r)為關(guān)聯(lián)積分；DGP為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

混沌系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，并且會(huì)隨著嵌入維數(shù)的增大而趨于飽和，隨機(jī)系統(tǒng)則不會(huì)出現(xiàn)飽和，因此關(guān)聯(lián)維數(shù)的飽和趨勢(shì)能夠區(qū)分兩者的差異。

(2)Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)可以定量的刻畫初始相鄰兩條軌道隨時(shí)間分離的敏感度。若非線性系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)λ>0，表明該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，本文采用小數(shù)據(jù)量法[9]計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

(3)Kolmogorov熵

Kolmogorov熵是度量某動(dòng)力系統(tǒng)無序程度的指標(biāo)，混沌系統(tǒng)的K熵是大于零的有限值[8]，并且K熵值越大，表明系統(tǒng)的無序程度越高，非線性特征越顯著。Kolmogorov熵同樣可以通過G-P算法得到[10]。

3 地震動(dòng)的混沌特性判別

本文選用1952年7月21日發(fā)生在美國(guó)加州的地震動(dòng)Taft波(如圖4)進(jìn)行混沌特性分析。該信號(hào)記錄54 s，時(shí)間步長(zhǎng)為0.02 s。

圖4 Taft波時(shí)程曲線Fig.4 Time history curve of Taft waves

3.1 混沌定性指標(biāo)分析

采用主成分分析法繪制主成分量與嵌入維數(shù)的關(guān)系曲線。如圖5，該直線斜率k=-0.1，從而判斷Taft波具有混沌特性。

圖5 Taft波的主成分譜圖Fig.5 Principal components of Taft waves

3.2 混沌定量指標(biāo)分析

采用混沌時(shí)間序列分析方法對(duì)Taft波進(jìn)行非線性特征參數(shù)計(jì)算，結(jié)果如表1所示。該地震波的關(guān)聯(lián)維數(shù)D為0.715 7，是一個(gè)分?jǐn)?shù)，K2熵為0.127，最大Lyapunov指數(shù)λ為0.458，表明Taft波加速度時(shí)程存在混沌特性。

以上分析可知，無論從混沌的定性還是定量指標(biāo)判別，地震動(dòng)都具有混沌特性。

4 地震動(dòng)混沌特性影響因素分析

地震動(dòng)包含持時(shí)、頻譜、最大峰值[1]3要素。下文將分析此3要素及采樣頻率對(duì)地震波的混沌特性的影響。

4.1 持時(shí)的影響

截取Taft波的部分記錄進(jìn)行分析。為避免截取的部分“失真”，計(jì)算的持時(shí)部分不小于30 s且涵蓋地震動(dòng)的最大峰值。表1是Taft波在30～54 s區(qū)間內(nèi)不同持時(shí)下混沌特征參數(shù)的計(jì)算值。

表1Taft波的持時(shí)對(duì)混沌特性的影響

Tab.1TheeffectsofdurationofTaftwavesonthechaoticcharacteristics

持時(shí)/s關(guān)聯(lián)維數(shù)DK2熵λ301.795 70.465 70.465 0351.550 30.371 80.465 1401.238 60.285 20.433 1451.005 30.202 50.443 0460.964 10.194 20.436 4470.925 40.181 80.447 8480.889 30.172 20.438 8490.857 50.162 50.456 6500.828 70.153 80.475 4510.800 80.147 30.469 1520.773 90.141 10.469 8530.748 30.134 90.463 9540.715 70.127 00.458 0

本文還選取了頻譜特性、最大峰值相近下的CPC_TOPANGA CANYON_16_nor波、PEL_HOLLYWOOD STORAGE_90波和TRI_TREASURE ISLAND_90波等3條波，分析它們的持時(shí)變化對(duì)地震動(dòng)混沌特性的影響，繪制了K2熵與持時(shí)的曲線，如圖6所示。

圖6 三條地震波的K2熵與持時(shí)的關(guān)系曲線Fig.6 Curves of the relationship between K2 entropy and duration of three ground motion waves

表1和圖6顯示：持時(shí)越長(zhǎng)，K2熵值越小，且在35 s后趨于穩(wěn)定。這表明，持時(shí)對(duì)混沌程度具有較大的影響，所選取的持時(shí)越短，K2熵越大，混沌的復(fù)雜程度越集中，反而高估了地震動(dòng)的非線性程度。因此在時(shí)程分析選波時(shí)可選擇K2熵趨于穩(wěn)定的持時(shí)，從而既保證混沌程度的真實(shí)性，又可節(jié)約計(jì)算容量和時(shí)長(zhǎng)。

4.2 頻譜的影響

不同地震動(dòng)的頻譜特性差異較大，選取近場(chǎng)地震動(dòng)H_H-EMO000波(記為1號(hào)波)、TCU073波(記為2號(hào)波)和遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)TCU110波(記為3號(hào)波)、TCU115波(記為4號(hào)波)，近場(chǎng)地震動(dòng)截取它們的0～40 s的記錄部分，遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)截取它們的20～60 s的記錄部分，同時(shí)將它們的最大峰值統(tǒng)一調(diào)為200 gal，分析3條波的頻譜特性及對(duì)混沌特性的影響。

HHT變換能夠有效的對(duì)地震動(dòng)的頻譜特性進(jìn)行分析[11]，因此，對(duì)上述4條經(jīng)過處理的地震波分別進(jìn)行HHT變換，得到的Hilbert能量譜如圖7～10。從能量譜中可知，1號(hào)波的特征頻率為2 Hz，2號(hào)波的特征頻率為5 Hz，3號(hào)波的特征頻率為0.9 Hz，4號(hào)波的特征頻率為0.7 Hz。

圖7 H_H-EMO000波的Hilbert能量譜Fig.7 The energy spectrum of the H_H-EMO000 waves

圖8 TCU073波的Hilbert能量譜Fig.8 The energy spectrum of the TCU073 waves

圖9 TCU110波的Hilbert能量譜Fig.9 The energy spectrum of the TCU110 waves

圖10 TCU115波的Hilbert能量譜Fig.10 The energy spectrum of the TCU115 waves

Tab.2SpectralcharacteristicsandK2entropyofgroundmotion

地震動(dòng)特征頻率/HzK2熵1號(hào)波2.00.147 52號(hào)波5.00.129 93號(hào)波0.92.316 44號(hào)波0.71.691 2

對(duì)上述4條經(jīng)過處理的地震波分別進(jìn)行混沌時(shí)間序列分析，計(jì)算它們的指標(biāo)K2熵，結(jié)果(見表2)表明：近場(chǎng)地震動(dòng)的特征頻率比遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的特征頻率大，而相應(yīng)的K2熵值卻較小，說明遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的非線性特征比近場(chǎng)地震動(dòng)的更強(qiáng)。

4.3 最大幅值的影響

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[12]規(guī)定，設(shè)防烈度為7度的地區(qū)加速度時(shí)程最大值為35 gal(多遇地震)和220 gal(罕遇地震)，為分析地震動(dòng)最大幅值對(duì)混沌特性的影響，將Taft波分別進(jìn)行上述調(diào)幅，并對(duì)其進(jìn)行混沌特性分析，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3調(diào)幅后Taft波的非線性特征參數(shù)

Tab.3NonlinearcharacteristicparametersofTaftwavesafteramplitudemodulation

調(diào)幅后的峰值加速度/gal關(guān)聯(lián)維數(shù)DK2熵λ350.715 70.127 00.458 02200.715 70.127 00.458 0

由表3可知，對(duì)同一條地震波進(jìn)行調(diào)幅，其混沌特征參數(shù)完全沒有變化，說明幅值的調(diào)整對(duì)地震動(dòng)的混沌特性不會(huì)產(chǎn)生影響。

4.4 采樣頻率的影響

以CHY029波為例，分析采樣頻率對(duì)混沌特征的影響。CHY029波初始記錄的采樣頻率為100 Hz，分別選取采樣頻率為50、25 Hz進(jìn)行混沌參數(shù)分析，持時(shí)部分為0～40 s，選波滿足最大峰值的要求，加速度最大幅值均為200 gal。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4CHY029波的非線性特征參數(shù)

Tab.4NonlinearcharacteristicparametersoftheCHY029waves

采樣頻率/Hz關(guān)聯(lián)維數(shù)DK2熵λ1000.596 10.213 31.760 1500.727 90.165 10.564 3250.854 30.108 60.201 3

由表4可知，在地震動(dòng)3要素相同的情況下，采樣頻率會(huì)對(duì)混沌特征參數(shù)產(chǎn)生影響，且地震動(dòng)的采樣頻率越大，混沌特征參數(shù)的K2熵也越大，地震動(dòng)的非線性程度越接近真實(shí)值。

5 結(jié)論

1)地震動(dòng)的持時(shí)越短，K2熵越大；持時(shí)越長(zhǎng)K2熵越趨于穩(wěn)定，選取K2值趨于穩(wěn)定的持時(shí)，可提高計(jì)算效率的同時(shí)又能保證混沌程度的真實(shí)性；

2)遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的特征頻率比近場(chǎng)地震動(dòng)的特征頻率更小，而K2熵值更大，遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的非線性程度更強(qiáng)；

3)地震動(dòng)的幅值調(diào)整對(duì)混沌定量指標(biāo)沒有影響；

4)在地震動(dòng)持時(shí)、頻譜特性、最大幅值相同的情況下，采樣頻率越大，地震動(dòng)的混沌混沌特性也接近實(shí)際值；選取K2值趨于穩(wěn)定的采樣頻率，可提高計(jì)算效率的同時(shí)又能保證混沌程度的真實(shí)性。

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