伍紅平，劉雷

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

環(huán)面漸開線齒輪是一種對安裝誤差不敏感，具有良好的嚙合特性、較高的承載能力，并且加工便捷的新型齒輪[1-2]。該齒輪傳動(dòng)是一種凸—凹廓嚙合傳動(dòng)形式，環(huán)面漸開線齒輪的齒頂曲面和齒根曲面分別為外環(huán)面或內(nèi)環(huán)面的一部分，而環(huán)面由圓弧繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)形成。凸環(huán)面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸減小，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸增大；凹環(huán)面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸增大，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸減小。

本文以環(huán)面漸開線齒輪為研究對象(圖1、圖2)，基于有限元軟件重點(diǎn)研究了齒輪的傳遞誤差。對模型進(jìn)行了精確的有限元前處理以確保有限元分析的有效和準(zhǔn)確性；根據(jù)非線性靜力分析得到了環(huán)面漸開線齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差，以及轉(zhuǎn)矩對齒輪靜態(tài)傳遞誤差的影響；根據(jù)非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析，得到了環(huán)面漸開線齒輪的動(dòng)態(tài)傳遞誤差。環(huán)面漸開線齒輪傳遞誤差的分析對進(jìn)一步對其修形研究以及齒輪動(dòng)力學(xué)研究有重要意義。

圖1 凸環(huán)面漸開線齒輪示意圖

圖2 凹環(huán)面漸開線齒輪示意圖

1 齒輪傳遞誤差的概念

齒輪傳遞誤差主要由齒輪加工誤差、齒輪修形量、齒輪受載變形、齒輪軸彎曲變形引起的偏載等構(gòu)成。在本文所建立的有限元模型中只考慮齒輪受載變形對其傳遞誤差影響，其中包括彎曲變形和接觸變形。齒輪傳遞誤差的計(jì)算公式如下：

TE(um)=rp1θ1-rp2θ2

(1)

式中，rp1、rp2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的節(jié)圓半徑；θ1、θ2為兩齒輪轉(zhuǎn)過的角度。

齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差是齒輪系統(tǒng)噪聲的主要來源[3]，一般情況下，齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差較難準(zhǔn)確的分析和測量。但是動(dòng)態(tài)傳遞誤差是由靜態(tài)傳遞誤差引起的，通過減小靜態(tài)傳遞誤差能有效地減小動(dòng)態(tài)傳遞誤差，從而減小齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)噪聲。

國內(nèi)外學(xué)者對齒輪傳遞誤差有著大量的研究。傳遞誤差的分析有動(dòng)力學(xué)方程求解和有限元分析、實(shí)驗(yàn)測量等方法。Raul[4]在ABAQUS中建立了直齒圓柱齒輪的有限元模型，分析了轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、傳動(dòng)比等因素對齒輪靜態(tài)傳遞誤差和動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響，并對齒輪作了修形研究。唐進(jìn)元[5]提出了一種傳遞誤差的概念模型和力學(xué)模型,推導(dǎo)出了傳遞誤差的計(jì)算公式,并給出了傳遞誤差的一個(gè)計(jì)算實(shí)例。白玉田[6]利用有限元的方法計(jì)算出輪齒不同位置的嚙合剛度，并通過切片模型計(jì)算出齒輪嚙合過程中的傳遞誤差。張義民[7]通過有限元法分析了某斜齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差及動(dòng)態(tài)傳遞誤差，并分析了它們的主要頻率成分。汪中厚[8]等對螺旋錐齒輪的傳遞誤差有相關(guān)研究。張濤[9]等分析了制造誤差對齒輪動(dòng)態(tài)性能的影響并指導(dǎo)齒輪的減振設(shè)計(jì)和精度設(shè)計(jì)。

2 環(huán)面漸開線齒輪有限元建模

環(huán)面漸開線齒輪幾何設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 環(huán)面齒輪基本參數(shù)表

通過環(huán)面齒輪的齒輪生成原理，建立凸、凹環(huán)面齒輪的齒面方程，在Matlab中生成齒面各點(diǎn)的坐標(biāo)值并導(dǎo)入Pro/E，建立完整的齒輪模型完成裝配并進(jìn)行必要的干涉檢查之后，將模型導(dǎo)出為.x_b格式并導(dǎo)入到ABAQUS中。在ABAQUS中進(jìn)行有限元前處理如下：

1) 網(wǎng)格劃分：因齒輪傳遞誤差受慣性影響，故建立兩個(gè)齒輪的完整模型?？紤]到計(jì)算精度及計(jì)算時(shí)間，對準(zhǔn)備參與嚙合的幾對輪齒做精細(xì)劃分，而其他不參與嚙合的輪齒網(wǎng)格較粗。網(wǎng)格劃分如圖3所示，單元類型為C3D8R。

圖3 環(huán)面漸開線齒輪網(wǎng)格劃分

2) 材料參數(shù)：齒輪材料選用45鋼，密度為7.8×10-9t/mm3。彈性模量和泊松比分別為210 000MPa、0.3。材料阻尼采用Ray-leigh阻尼，其中質(zhì)量矩陣系數(shù)α=0.03、剛度矩陣系數(shù)β=3×10-6。

3) 耦合關(guān)系：分別在凸環(huán)面齒輪和凹環(huán)面齒輪的軸線上定義剛體參考點(diǎn)(reference point)，參考點(diǎn)分別與兩齒輪內(nèi)圈建立耦合關(guān)系(coupling)并約束所有自由度。后續(xù)通過參考點(diǎn)對齒輪施加固定邊界條件及位移邊界條件。

4) 接觸對：選擇凸環(huán)面齒輪齒面為主面，凹環(huán)面齒輪齒面為從面。齒面間接觸的相互作用分為法向和切向作用，其中法向作用定義為“hard contact”,切向作用的摩擦系數(shù)設(shè)置為0.1。齒面接觸處采用有限滑移(finite sliding)的追蹤方式計(jì)算接觸表面之間的相對滑移。

3 環(huán)面漸開線齒輪副靜態(tài)傳遞誤差分析

對環(huán)面漸開線齒輪進(jìn)行非線性靜力學(xué)分析，從而分析其靜態(tài)傳遞誤差。

3.1 有限元設(shè)置

針對不同的分析任務(wù)，ABAQUS設(shè)置不盡相同，文中以凸環(huán)面齒輪作為主動(dòng)輪，凹環(huán)面齒輪作為從動(dòng)輪進(jìn)行約3個(gè)嚙合周期的靜態(tài)分析，設(shè)置如下：

1) 分析步設(shè)置：環(huán)面漸開線齒輪靜力學(xué)分析包括1個(gè)初始分析步和2個(gè)后續(xù)分析步。設(shè)置環(huán)面齒輪靜力學(xué)分析的后續(xù)分析步為Static，General類型。其中第1個(gè)后續(xù)分析步的作用是建立齒面接觸，其目的是使分析容易收斂，分析時(shí)間為1 s；第2個(gè)分析步為旋轉(zhuǎn)分析步，分析時(shí)間為0.2 s。由于齒面接觸問題為非線性問題，故2個(gè)分析步均設(shè)置為非線性分析。同時(shí)，需創(chuàng)建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)，追蹤目標(biāo)為上文的剛體參考點(diǎn)創(chuàng)建的節(jié)點(diǎn)集(Set)。為了控制角位移采樣的偏差，將初始時(shí)間增量和最大時(shí)間增量均設(shè)置為0.002 s，以確保至少有100個(gè)增量步。

2) 載荷及位移邊界條件設(shè)置：在初始分析步中約束主動(dòng)輪的所有自由度，約束從動(dòng)輪除軸向旋轉(zhuǎn)外的5個(gè)自由度；在接觸建立分析步中，對從動(dòng)輪采用光滑(smoothing)加載的方式施加80 N·m的轉(zhuǎn)矩以建立接觸；在旋轉(zhuǎn)分析步中，解除主動(dòng)輪的軸向旋轉(zhuǎn)自由度并添加1個(gè)角位移以驅(qū)動(dòng)其旋轉(zhuǎn)，角位移的大小為0.5 rad。

3.2 靜態(tài)傳遞誤差分析結(jié)果

讀取歷史輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進(jìn)行一定運(yùn)算處理后得到環(huán)面漸開線齒輪副在80N·m載荷下的靜態(tài)傳遞誤差如圖4所示。其靜態(tài)傳遞誤差為17.5μm，靜態(tài)相對傳遞誤差(峰-峰值差)為6.9μm。結(jié)合有限元后處理中的應(yīng)力應(yīng)變云圖知，在0～45ms(主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過角度<0.11rad)時(shí)，齒輪副處于雙齒嚙合區(qū)，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較小，這是由于雙齒嚙合區(qū)嚙合剛度較大；在45ms時(shí)(主動(dòng)輪約轉(zhuǎn)過0.11rad)凸齒輪的一個(gè)輪齒嚙出，齒輪副進(jìn)入單齒嚙合區(qū)，嚙合剛度顯著減小，此時(shí)傳遞誤差增大；在67ms時(shí)(主動(dòng)輪約轉(zhuǎn)過0.14rad)凹齒輪的一個(gè)輪齒嚙入，齒輪副重新進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)，嚙合剛度增大，傳遞誤差減小。

圖4 環(huán)面漸開線齒輪靜態(tài)傳遞誤差

3.3 數(shù)據(jù)可靠性驗(yàn)算

由于所分析環(huán)面漸開線齒輪副為點(diǎn)接觸，環(huán)面漸開線齒輪齒面較為復(fù)雜。為了驗(yàn)證有限元分析結(jié)果的可靠性，對環(huán)面漸開線單齒嚙合區(qū)的一個(gè)接觸對利用赫茲接觸理論進(jìn)行理論計(jì)算如下：

(2)

式中：p0為最大接觸應(yīng)力；

Q為接觸點(diǎn)處的法向接觸力；

a為接觸橢圓的長半軸；

b為接觸橢圓的短半軸；

法向接觸力Q由轉(zhuǎn)矩以及接觸點(diǎn)的位置向量以及齒輪的單位法向而確定，a、b由接觸點(diǎn)的曲率半徑、主曲率方向、彈性模量以及Q等參數(shù)計(jì)算得到。

為了避免齒間載荷分配問題，選取單齒嚙合區(qū)的一個(gè)接觸點(diǎn)進(jìn)行理論計(jì)算。通過環(huán)面漸開線齒輪的齒面方程、彈性模量等參數(shù)計(jì)算得到此接觸點(diǎn)在80N·m載荷下的理論最大接觸應(yīng)力為629MPa，對比圖5中的有限元分析結(jié)果643MPa，理論結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，故認(rèn)為有限元在環(huán)面漸開線齒輪靜力學(xué)分析中可靠，通過有限元靜力學(xué)分析取得靜態(tài)傳遞誤差的方法是可行的。

圖5 轉(zhuǎn)矩對靜態(tài)傳遞誤差的影響

3.4 轉(zhuǎn)矩對靜態(tài)傳遞誤差的影響分析

為了分析不同轉(zhuǎn)矩對環(huán)面漸開線齒輪副靜態(tài)傳遞誤差的影響，采用相同的步驟在其他不同的轉(zhuǎn)矩下(20N·m、40N·m、60N·m、100N·m)進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到不同轉(zhuǎn)矩下該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪副的傳遞誤差如圖6所示。結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)隨著轉(zhuǎn)矩的增大靜態(tài)傳遞誤差也增大，傳遞誤差峰值位置及其變化趨勢相當(dāng)一致。為了進(jìn)一步了解靜態(tài)傳遞誤差與轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，在Matlab中對其進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖7。分析結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)，該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差隨著轉(zhuǎn)矩的增大線性增大，同時(shí)其相對傳遞誤差也隨著轉(zhuǎn)矩的增大而增大。

圖6 不同轉(zhuǎn)矩下的靜態(tài)傳遞誤差

圖7 轉(zhuǎn)矩對靜態(tài)傳遞誤差的影響

4 環(huán)面漸開線齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差分析

對環(huán)面漸開線齒輪進(jìn)行非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析，從而分析其動(dòng)態(tài)傳遞誤差。

4.1 有限元設(shè)置

1) 分析步設(shè)置：環(huán)面漸開線齒輪動(dòng)力學(xué)分析只包括一個(gè)初始分析步和一個(gè)后續(xù)分析步。設(shè)置環(huán)面齒輪靜力學(xué)分析的后續(xù)分析步為Dynamic，Implicit類型，并打開非線性。同樣動(dòng)力學(xué)分析也需創(chuàng)建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)進(jìn)行追蹤。根據(jù)下文設(shè)置的主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)速度(20 rad/s)，為保證有3個(gè)嚙合周期的仿真，將分析時(shí)間設(shè)置為0.025 s，將初始時(shí)間增量和最大時(shí)間增量均設(shè)置為0.000 1 s。

2) 定義接觸對：由于環(huán)面漸開線齒輪齒面的復(fù)雜性以及接觸問題易產(chǎn)生收斂問題，在隱式動(dòng)力學(xué)分析中將齒面間接觸屬性的法向作用由硬接觸(hard contact)更改為指數(shù)式(exponential)“軟”接觸，設(shè)置p=1 000，c=0.001；切向作用的摩擦系數(shù)仍設(shè)置為0.1。指數(shù)形式接觸[10]是指法向接觸間隙減小到c時(shí)，接觸面進(jìn)入接觸約束；接觸間隙減小到0時(shí)，接觸壓力為p；在接觸間隙為c到穿透距離為6c之間，接觸壓力與接觸間隙滿足指數(shù)關(guān)系；當(dāng)穿透距離大于6c時(shí)，接觸壓力與接觸間隙為線性關(guān)系。

3) 載荷及位移邊界條件設(shè)置：為了動(dòng)力學(xué)分析盡快進(jìn)入到平穩(wěn)狀態(tài)，在ABAQUS中創(chuàng)建預(yù)定義場(predefined Field)，設(shè)置主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為20 rad/s，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速由齒輪副的傳動(dòng)比計(jì)算得到，為-17.96 rad/s。在初始分析步中約束主動(dòng)輪和從動(dòng)輪除軸向旋轉(zhuǎn)外的5個(gè)自由度；在隱式動(dòng)力學(xué)分析步中，對主動(dòng)輪施加一個(gè)角速度驅(qū)動(dòng)，角速度大小為20 rad/s，對從動(dòng)輪施加80 N·m的轉(zhuǎn)矩。

4.2 動(dòng)態(tài)傳遞誤差分析結(jié)果

讀取輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進(jìn)行一定運(yùn)算處理后得到環(huán)面漸開線齒輪副在80N·m載荷、20rad/s的轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差并與靜態(tài)傳遞誤差對比如圖8。結(jié)果表明，在初始嚙合階段，由于嚙合的不平穩(wěn)，其動(dòng)態(tài)傳遞誤差有明顯的波動(dòng)，隨后在約0.001s(主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過0.02rad)后傳動(dòng)進(jìn)入平穩(wěn)階段。

對比動(dòng)態(tài)傳遞誤差和靜態(tài)傳遞誤差可知，在嚙合平穩(wěn)階段此工況條件下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差略小于靜態(tài)傳遞誤差，而其變化趨勢基本一致。但是由于有限元分析過程中接觸對設(shè)置的不同，以及齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差受到慣性、摩擦力、阻尼等因素影響，動(dòng)態(tài)傳遞誤差需進(jìn)行進(jìn)一步分析。

圖8 環(huán)面漸開線齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差

5 結(jié)語

由于環(huán)面漸開線齒輪齒面的復(fù)雜性，為了精確得到齒輪副的傳遞誤差，在有限元軟件中精確法建立了環(huán)面齒輪模型，通過非線性靜力學(xué)分析得到了其靜態(tài)傳遞誤差，通過非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析得到其動(dòng)態(tài)傳遞誤差。通過分析得到如下結(jié)論：

通過赫茲接觸理論的計(jì)算驗(yàn)證了齒面漸開線齒輪靜力學(xué)分析數(shù)據(jù)的可靠性。在環(huán)面漸開線齒輪嚙合過程中，在雙齒嚙合區(qū)嚙合剛度大，彈性變形較小，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較??；在單齒嚙合區(qū)，嚙合剛度小，彈性變形較大，此時(shí)靜態(tài)傳遞誤差較大。通過對不同轉(zhuǎn)矩下靜態(tài)傳遞誤差的分析，表明在一定范圍內(nèi)，隨著轉(zhuǎn)矩的增大，該參數(shù)環(huán)面漸開線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差線性增大，其相對傳遞誤差也增大。

文章還基于非線性隱式動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算了一種工況條件下環(huán)面漸開線齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差，結(jié)論表明在該工況下，動(dòng)態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差非常接近。

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