苗亞男，李 忱，馮啟隆，王海任

(太原科技大學(xué) 太原 030024)

薄殼結(jié)構(gòu)因其具有獨(dú)特的幾何結(jié)構(gòu)和良好的受力特點(diǎn)，所以在航空航天、海洋輸油管道、天然氣運(yùn)輸和核電等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。承壓容器大多屬于薄殼結(jié)構(gòu)，強(qiáng)度不足和屈曲失穩(wěn)是承壓容器失效破壞的主要形式，尤其失穩(wěn)破壞時(shí)常沒(méi)有任何征兆，會(huì)引起巨大的安全隱患和經(jīng)濟(jì)損失，所以薄殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題一直受到人們的關(guān)注。

本文從各向同性材料非線性熱本構(gòu)方程出發(fā)，僅考慮溫度初值和增值的情況，研究了各向同性材料非線性熱本構(gòu)方程?；谄矫鎽?yīng)力假設(shè)和直法線假設(shè)，推導(dǎo)出曲線坐標(biāo)系下的熱本構(gòu)方程。而大多數(shù)薄殼結(jié)構(gòu)都是在正交曲線坐標(biāo)系下進(jìn)行研究,所以將張量函數(shù)變換到正交曲線坐標(biāo)系中非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程具有重要的意義。

1 非線性熱本構(gòu)方程

彈性材料不僅在外力作用下因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力，溫度變化也會(huì)使彈性體產(chǎn)生應(yīng)力、應(yīng)變和位移。在僅考慮溫度初值和增值的情況下，根據(jù)文獻(xiàn)[1,2]得到各向同性材料的非線性熱本構(gòu)多項(xiàng)式：

(1)

將熱應(yīng)力本構(gòu)方程一次形式和二次形式相加并整理，最終得到非線性各向同性彈性材料熱應(yīng)力本構(gòu)方程為：

(2)

2 幾何方程

2.1 正交曲線坐標(biāo)系下的幾何方程

正交系中，協(xié)變基矢量gi互相正交，但不一定是單位基矢量。其長(zhǎng)度為:

|gi|=Ai(i=1,2,3)

式中Ai(i=1,2,3)表示拉梅常數(shù)。

將協(xié)變基矢量gi變?yōu)橐唤M正交標(biāo)準(zhǔn)化基ei(i=1,2,3)

通過(guò)christoffel符號(hào)表示基矢量對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。在正交系中有：

(3)

正交曲線坐標(biāo)系中小應(yīng)變張量的分量和位移矢量的物理分量的幾何關(guān)系為[3]:

(4)

其中對(duì)正交標(biāo)準(zhǔn)化基ei對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)由式(3)和式(4)可知：

(5)

(6)

上述兩式可以寫成：

(7)

將式(7)代入式(4)，得到正交曲線坐標(biāo)系中位移分量表達(dá)的幾何關(guān)系，定義下標(biāo)1-11,2-22,3-33其中為：

(8)

2.2 殼體的幾何方程

殼體中面任意一點(diǎn)M沿x1，x2及x3方向(如圖1所示)的拉梅系數(shù)為

A1=h1(1+k1x3),A2=h2(1+k2x3),A3=1

圖1 受力示意圖

Fig.1Sketchofforce

根據(jù)垂直于中面方向的線應(yīng)變可以不計(jì)，得到ε3=0；

根據(jù)直線法假設(shè)，即：ε31=0和ε23=0

由式(8)中的第五，六式，應(yīng)用x1，x2及x3方向的拉梅系數(shù)并以w代替u3對(duì)x3進(jìn)行從0到x3積分,令中面任意一點(diǎn)M沿x1和x2方向的位移分別為u和v，求得：

求解得到u1,u2和u3分別為：

(9)

將式(9)代入式(8)得到殼體應(yīng)變分量和中面位移的關(guān)系式

(10)

簡(jiǎn)寫為：

(11)

式中

(12)

3 非線性熱本構(gòu)方程

非線性各向同性彈性材料熱本構(gòu)方程為：

(13)

用通用符號(hào)表示，得到

σij=(k1εmm+k3εmmεmm+k4εij+δ1Τ+δ2Τ2+δ3εmmΤ)δij+2(k2+k4εmm+δ4Τ)εij+3k5δijεijεij

(14)

得到正交曲線坐標(biāo)系下的非線性熱應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：

σ12=bε12+g(ε1ε12+ε2ε12)+hε3ε12+kε23ε13+2δ4ε12T

σ23=bε23+g(ε2ε23+ε23ε3)+hε1ε23+kε12ε13+2δ4ε23T

σ13=bε13+g(ε1ε13+ε3ε13)+hε2ε13+kε12ε23+2δ12ε13T

(15)

在正交曲線坐標(biāo)系下對(duì)三維彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系根據(jù)平行于殼體中面的各層互不擠壓，即：σ3=0，和直法線假設(shè)：變形前垂直于中面的直線在變形后仍保持直線，并仍垂直于變形后的中面。即：σ13=σ23=0.得到殼體的熱應(yīng)力表達(dá)式為[4]：

σ12=bε12+g(ε1ε12+ε2ε12)+2δ4ε12T

(16)

對(duì)于薄殼來(lái)說(shuō)，對(duì)中面內(nèi)力N1,N2,N12和內(nèi)力矩M1,M2,M12近似表示為[5,6]

(17)

將式(11)、式(16)代入式(17)，得到殼體非線性熱內(nèi)力和非線性熱內(nèi)力矩分量:

(18)

4 結(jié)論

本文從張量函數(shù)出發(fā)，基于應(yīng)變和溫度為變量的雙變量非線性熱本構(gòu)理論，對(duì)各向同性材料彈性薄殼的非線性本構(gòu)方程和非線性熱本構(gòu)方程進(jìn)行了分析，得到以下幾個(gè)結(jié)論：

1)在曲線坐標(biāo)系下。各項(xiàng)同性材料n=2時(shí)彈性張量的個(gè)數(shù)是5個(gè)，與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論吻合。

2)可以將彈性薄殼的非線性本構(gòu)方程和非線性熱本構(gòu)方程退化得到線性本構(gòu)方程和線性熱本構(gòu)方程，得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[4,7]中的方程是的一致。

3)本文從張量函數(shù)角度出發(fā)，推導(dǎo)出正交曲線坐標(biāo)系下的非線性本構(gòu)方程和非線性熱本構(gòu)方程。由此可以進(jìn)一步得到球殼，圓柱殼等形狀的非線性熱應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

4)由于現(xiàn)實(shí)中需要解決的問(wèn)題大都是非線性的所以薄殼的非線性本構(gòu)方程具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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