孫明珊，覃 華，蘇一丹

(廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530004)

1 引言

模糊聚類是一類建立在模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)挖掘方法[1]，其中較為經(jīng)典的是模糊C均值聚類算法FCM(Fuzzy C-means)[2]，它把聚類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的求解從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)集的模糊劃分，目前FCM已被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)[3]、環(huán)境科學(xué)[4]、空間圖像處理[5]、醫(yī)療[6]、電子與信息工程[7,8]等領(lǐng)域。FCM聚類前需要先確定簇的數(shù)目，但很多實(shí)際工程問(wèn)題中，聚類前并不知道數(shù)據(jù)集中簇的個(gè)數(shù)，為解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)[9,10]用粒子群PSO(Particle Swarm Optimization)產(chǎn)生初始聚類中心，獲取簇的數(shù)目，最后再用FCM進(jìn)行聚類，但PSO本質(zhì)上屬于隨機(jī)搜索算法，每次運(yùn)算得到的簇?cái)?shù)目不盡相同，影響了FCM聚類的可靠性和準(zhǔn)確性。為了解決FCM在自動(dòng)模糊聚類上遇到的難題，Nasibov等人[11 - 15]另辟蹊徑，提出一種新的自動(dòng)模糊聚類算法—模糊連接點(diǎn)FJP(Fuzzy Joint Points)聚類算法，它的基本思想是：對(duì)于給定的數(shù)據(jù)集X，先用距離公式計(jì)算X的模糊相似度矩陣T，再用最大-最小合成法為T構(gòu)造一個(gè)傳遞閉包(Transitive Closure)矩陣T*，最后在T*上用alpha掃描子算法(alpha-scan)進(jìn)行聚類劃分。FJP算法在聚類時(shí)之所以不需要事先知道簇的數(shù)目，是因?yàn)閭鬟f閉包T*具有傳遞性，描述樣本數(shù)據(jù)間是否存在關(guān)聯(lián)，存在關(guān)聯(lián)的樣本數(shù)據(jù)在FJP算法中稱為模糊連接點(diǎn)，F(xiàn)JP算法利用T*的傳遞性判斷兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)是否屬于同一簇。FJP算法有兩個(gè)問(wèn)題：首先，因其采用循環(huán)遍歷相似度矩陣計(jì)算傳遞閉包，時(shí)間復(fù)雜度是O(n3),所以處理大數(shù)據(jù)集時(shí)計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；其次，它的相似度矩陣由歐氏距離獲得，在此基礎(chǔ)上獲得的傳遞閉包會(huì)存在數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)、依賴失真的問(wèn)題，從而影響FJP算法簇?cái)?shù)目的正確性和聚類的精度[16]。

文獻(xiàn)[17]研究了一種最優(yōu)傳遞閉包生成算法，它采用基于核函數(shù)的橋元素填充法生成傳遞閉包，傳遞閉包失真度小，且時(shí)間復(fù)雜度只有O(n2)。本文提出用該理論為FJP算法生成傳遞閉包，改進(jìn)FJP算法的計(jì)算效率和聚類精度，從而形成一種改進(jìn)的模糊連接點(diǎn)聚類IFJP(Improved Fuzzy Joint Point)算法，所提算法的基本思想是：先用組合核函數(shù)生成數(shù)據(jù)集的模糊相似度矩陣，并用大頂堆存儲(chǔ)，初始時(shí)傳遞閉包矩陣為空；然后遍歷傳遞閉包矩陣的空元素，取出堆頂中的橋元素填充到傳遞閉包相應(yīng)的空元素位置上，直至傳遞閉包中所有空元素被橋元素填充完畢。用此方法生成傳遞閉包的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度是O(n2)，優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的O(n3)。測(cè)試數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提算法在平均聚類準(zhǔn)確度上較FJP-2008算法[14]提高26.7%，較FJP-2016算法[15]提高25.1%；在平均計(jì)算效率上，本文算法較FJP-2008算法提高44.5%，較FJP-2016算法提高35.5%，說(shuō)明了本文用基于核函數(shù)的橋元素填充法改進(jìn)FJP算法的思路是可行的、有效的。

2 用橋元素填充法生成傳遞閉包

原FJP算法不斷遍歷掃描相似度矩陣T中的每個(gè)元素，并對(duì)每個(gè)元素進(jìn)行最大-最小值合成運(yùn)算，更新相似度矩陣，直至矩陣各個(gè)元素不再變化即得其傳遞閉包T*。為避免不斷遍歷導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題，本文采用橋元素填充法生成傳遞閉包，對(duì)于給定數(shù)據(jù)集X的模糊相似度矩陣T，用大頂堆數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)T，依次遍歷堆頂?shù)臉蛟?，并把它填充到T*的空元素位置上，同時(shí)也避免了原FJP算法中多次最大-最小值合成運(yùn)算，提高了計(jì)算效率。本文所用的傳遞閉包生成子算法如下：

輸入:數(shù)據(jù)集X={x1,x2,x3,…,xn}，X的模糊相似度矩陣T。

輸出:T的傳遞包T*。

Step1初始化一個(gè)n×n的空矩陣T*。

Step2為T構(gòu)建大頂堆H。

Step3使得T*(i,i)=1,1≤i≤n。

Step4當(dāng)T*中還存在空元素時(shí)，取H中的堆頂元素T(u,v)，1≤u≤n且1≤v≤n。

Step4.1若T*(u,v)為空，則T(u,v)為橋元素，I={j|T*(u,j) ≠null}且I″={i|T*(i,v) ≠null}，使T*(s,t)=T*(t,s)=T(u,v),s∈I且t∈I〃。

Step4.2刪除H的堆頂元素，用文獻(xiàn)[18]的算法重新排序堆H，產(chǎn)生新的堆頂元素。

上述子算法的一些關(guān)鍵細(xì)節(jié)說(shuō)明如下。

2.1 橋元素填充傳閉包規(guī)則

令P是一個(gè)n1×n1的模糊矩陣,Q是一個(gè)n2×n2的模糊矩陣，E是一個(gè)(n1+n2)×(n1+n2)的模糊矩陣，讓P和Q成為模糊矩陣E左上角和右下角的子矩陣。如式(1)中，b為橋元素，其中0≤b≤min(min(P),min(Q))。若P和Q均是模糊等價(jià)矩陣，則填入橋元素構(gòu)成的矩陣E,因仍然滿足每個(gè)元素均大于或等于與自身同行同列元素對(duì)中較小值序列的最大值，故也是模糊等價(jià)矩陣。由Step 4知，當(dāng)前T*中已填充的元素通過(guò)行列置換構(gòu)成對(duì)角分塊矩陣，兩個(gè)對(duì)角分塊矩陣均是模糊等價(jià)矩陣。當(dāng)前堆頂元素小于T*中所有已填充元素，因此可作為T*已填充元素的橋元素。又因?yàn)榫哂凶畲?最小傳遞性的模糊矩陣即為模糊等價(jià)矩陣，則通過(guò)橋元素的添加進(jìn)行模糊等價(jià)矩陣擴(kuò)展，所得矩陣仍然是模糊等價(jià)矩陣。

(1)

用橋元素填充傳遞閉包的規(guī)則為：獲得堆頂元素在T的行列數(shù)為u、v，I由T*中與堆頂元素同行元素的列下標(biāo)組成，I″由T*中與堆頂元素同列元素的行下標(biāo)組成，若T*中第u行v列不為空，則該堆頂元素不能稱為橋元素，否則依次將I和I″中元素組成行列對(duì)在T*相應(yīng)位置進(jìn)行填充。

2.2 傳遞閉包生成子算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度

Step 4步驟是整個(gè)傳遞閉包生成子算法的核心，是一個(gè)循環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，它的作用是遍歷T*中的空元素，并從大頂堆H中取出堆頂橋元素填充到T*空元素位置上；如果數(shù)據(jù)集X有n個(gè)數(shù)據(jù)樣本，則傳遞閉包T*中元素總數(shù)為n×n個(gè)，遍歷T*中空元素的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)。Step 4的內(nèi)部主要有Step 4.1和Step 4.2計(jì)算步驟，其中Step 4.1的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度是一個(gè)常量O(1)，而Step 4.2堆排序的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度也是一個(gè)常量O(1)[18],故整個(gè)傳遞閉包生成子算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)，較原FJP算法的傳遞閉包子算法的計(jì)算復(fù)雜度O(n3)有明顯改善。所以，本文采用橋元素填充法生成傳遞閉包有利于提高整個(gè)FJP算法的計(jì)算效率，更適用于處理大數(shù)據(jù)集。

3 改進(jìn)的FJP算法流程

本文所提的IFJP算法流程如下：

輸入:數(shù)據(jù)集X={x1,x2,x3,…,xn}。

輸出:聚類劃分{C1,C2,C3,…,Ck}。

Step1參數(shù)初始化，劃分水平初始值α0=max(T*)。

Step2計(jì)算模糊相似度矩陣T。

Step3調(diào)用第2節(jié)子算法生成傳遞閉包T*。

Step4用T*計(jì)算α劃分水平的間距△α。

(2)

Step5當(dāng)α0>0時(shí)，α0=α0-△α:

Step5.1S=X;k=1。

Step5.2對(duì)任意元素xi∈S，依次取S中其余所有元素xj,形成數(shù)據(jù)集Ck={xj∈S|T*(i,j)≥α0},S=SCk。

Step5.3若S非空，則k=k+1并轉(zhuǎn)至Step 5.2；否則，轉(zhuǎn)至Step 5.4。

Step5.4得劃分?jǐn)?shù)據(jù)集{C1,C2,C3,…,Ck}和劃分簇?cái)?shù)目k。

Step6出現(xiàn)次數(shù)最多且劃分水平最小的k為劃分簇?cái)?shù)，返回結(jié)果{C1,C2,C3,…,Ck}。

上述子算法的一些關(guān)鍵細(xì)節(jié)說(shuō)明如下。

3.1 數(shù)據(jù)樣本劃分水平的設(shè)置

模糊聚類理論中，已知相似度矩陣T的傳遞閉包T*，對(duì)給定的α劃分水平，若T*(i,j)≥α，則認(rèn)為樣本xi和xj可劃分在同一簇內(nèi)。當(dāng)α=1時(shí)，表示所有數(shù)據(jù)樣本各自獨(dú)立成一簇；而當(dāng)α=0時(shí)，表示所有數(shù)據(jù)樣本只分為一類。為避免遍歷過(guò)多的劃分水平，本文把劃分水平從值域[min(T*),max(T*)]，每間隔△α制作一個(gè)分割點(diǎn)，得到一組劃分水平{α1,α2,…,αi,…,αz}。將T*在z個(gè)不同的劃分水平下分別聚類，根據(jù)z個(gè)聚類結(jié)果找出出現(xiàn)次數(shù)最多的簇?cái)?shù)目并記為v，將v所對(duì)應(yīng)的劃分水平的最小值記為αmin。T*在αmin劃分水平下的聚類結(jié)果即為最佳聚類結(jié)果，所獲得的簇記為{C1,C2,C3,…,Ck}。

3.2 模糊相似度矩陣的計(jì)算

數(shù)據(jù)樣本集X記為X={x1,x2,x3,…,xn}，其中n為數(shù)據(jù)樣本的總數(shù)；xi∈Rm，m為樣本的維度。

數(shù)據(jù)集X的模糊相似度矩陣T是一個(gè)n×n的矩陣，矩陣中的元素T(i,j)表示樣本xi和xj的相似程度，常用歐氏距離函數(shù)來(lái)計(jì)算T(i,j)。為提高對(duì)復(fù)雜特征數(shù)據(jù)相似性的判別能力，本文采用文獻(xiàn)[19]支持向量機(jī)高斯核、線性核的組合核函數(shù)來(lái)計(jì)算T(i,j)，得到數(shù)據(jù)樣本集X的模糊相似度矩陣T。所用的高斯核函數(shù)為：

(3)

所用的線性核函數(shù)為:

(4)

其中,d(xi,xj)為xi和xj的歐氏距離，dmax為各數(shù)據(jù)樣本間歐氏距離的最大值。由此構(gòu)建X的模糊相似度矩陣T為：

T(i,j)=(1-γ)·K1(xi,xj)+γ·K2(xi,xj)

(5)

其中,γ為核函數(shù)組合系數(shù)，用文獻(xiàn)[19]的半定規(guī)劃法計(jì)算。采用核函數(shù)計(jì)算模糊相似度矩陣，有利于提高FJP算法對(duì)非線性數(shù)據(jù)特征的辨識(shí)能力，從而有利于減少傳遞閉包失真[16]。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：CPU為Intel(R) Core(TM) i5-4200M，主頻2.50 GHz，內(nèi)存4 GB；操作系統(tǒng)Windows 8.1-64 bit，用Matlab (R2016a)實(shí)現(xiàn)算法。表1是測(cè)試數(shù)據(jù)集列表，前兩個(gè)是UCI數(shù)據(jù)集，后三個(gè)是人工數(shù)據(jù)集。

Table 1 Datasets in experiments表1 測(cè)試數(shù)據(jù)集列表

五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集所用的核函數(shù)參數(shù)如表2示，其中σ是高斯核函數(shù)的寬度，γ是高斯核與線性核的組合系數(shù)。參數(shù)σ和γ用文獻(xiàn)[19]的方法確定。

Table 2 Parameters chosen in kernel functions表2 核函數(shù)的參數(shù)列表

將本文IFJP算法與FJP-2008算法、FJP-2016算法作比較，其中FJP-2008算法采用固定的alpha值作為劃分水平，F(xiàn)JP-2016算法采用動(dòng)態(tài)的alpha值作為劃分水平。用純度(Purity)和標(biāo)準(zhǔn)化互信息NMI(Normalized Mutual Information)兩個(gè)指標(biāo)評(píng)價(jià)各算法的聚類效果[20]。純度(Purity)指標(biāo)的定義：令X的正確聚類簇為Ω={W1,W2,…,Wk}，純度計(jì)算公式如下：

(6)

純度值越高，表示算法的聚類準(zhǔn)確率越高。NMI指標(biāo)的計(jì)算方法如下：

(7)

(8)

(9)

NMI值在[0,1]，值越大表明算法的聚類效果越好。

表3是五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集上四種算法聚類結(jié)果的比較。根據(jù)表3，計(jì)算各算法在五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集上Purity指標(biāo)的平均值，IFJP算法是82.3%，F(xiàn)JP-2008算法是55.6%，F(xiàn)JP-2016算法是57.2%。因此，在Purity指標(biāo)平均值上，IFJP算法比FJP-2008算法高出26.7%，比FJP-2016算法高出25.1%；而FJP-2016算法僅比FJP-2008算法高出1.6%，兩者的聚類準(zhǔn)確度相差不大。Purity指標(biāo)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：傳統(tǒng)FJP算法因傳遞閉包失真，包含了較多錯(cuò)誤的關(guān)聯(lián)信息，造成聚類準(zhǔn)確度不高，F(xiàn)JP-2016算法雖然采用了動(dòng)態(tài)alpha值劃分水平但對(duì)改進(jìn)聚類效果不明顯，而本文采用基于核函數(shù)的橋元素填充法計(jì)算傳遞閉包，聚類準(zhǔn)確度均明顯優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法。所以，基于核函數(shù)的橋元素填充法生成傳遞閉包有效地降低了傳遞閉包的失真度。根據(jù)表3，計(jì)算各算法在五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集上NMI指標(biāo)的平均值，IFJP算法是82.5%，F(xiàn)JP-2008算法是21.1%，F(xiàn)JP-2016算法是25.1%，由此可知，IFJP的聚類效果比FJP-2008算法和FJP-2016算法高出1倍以上，本文提出的算法使得聚類效果顯著提升。同理，計(jì)算FCM算法Purity指標(biāo)的平均值是79.9%，NMI指標(biāo)的平均值是48.3%，兩指標(biāo)平均值均優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法的。這說(shuō)明傳統(tǒng)的FJP算法雖然引入傳遞閉包實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)模糊聚類，但因傳統(tǒng)FJP算法的傳遞閉包計(jì)算方式存在缺陷，導(dǎo)致FJP聚類效果差于FCM，而本文采用基于核函數(shù)的橋元素傳遞閉包計(jì)算方法后，傳遞閉包中的關(guān)聯(lián)信息更準(zhǔn)確，聚類精度提高，故Purity、NMI指標(biāo)均優(yōu)于FCM的。綜合上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，本文采用基于核函數(shù)的橋元素填充法計(jì)算傳遞閉包，有效地提高了FJP算法的聚類準(zhǔn)確度，本文改進(jìn)FJP算法聚類效果的思路是有效的、可行的。

Table 3 Comparison of clustering results among the four algorithms表3 四種算法聚類結(jié)果的比較

在表1的五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集中，Lineblobs是一個(gè)二維的數(shù)據(jù)集，并且其平面圖形的輪廓較其它測(cè)試集規(guī)整，容易從其聚類圖中觀察聚類效果的好壞，故本文選擇Lineblobs數(shù)據(jù)集制作聚類效果平面圖，如圖1示。從圖1可看出，三種FJP算法引入傳遞閉包后，利用傳遞閉包中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)信息較好識(shí)別出扭轉(zhuǎn)型曲線，但FJP-2008算法和FJP-2016算法因存在傳遞閉包失真問(wèn)題，造成此數(shù)據(jù)集的三個(gè)簇僅識(shí)別出兩個(gè)，而本文改進(jìn)傳遞閉包計(jì)算方式后，有效降低了傳遞閉包失真，提高了傳遞閉包中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)信息的準(zhǔn)確度，本文算法準(zhǔn)確地識(shí)別出數(shù)據(jù)集的三個(gè)簇，取得了較好的自動(dòng)聚類效果。因此，本文用橋元素填充法改進(jìn)FJP算法聚類效果是有效的。

表4是四種算法在五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集上計(jì)算時(shí)間的比較，時(shí)間單位為秒(s)。在小型數(shù)據(jù)集上，例如Iris和Glass，三種FJP聚類算法的計(jì)算時(shí)間相當(dāng)，但在其它三個(gè)大數(shù)據(jù)集上，本文的IFJP算法計(jì)算效率均優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法的。傳統(tǒng)的FJP算法計(jì)算傳遞閉包時(shí)，需要反復(fù)掃描模糊相似度矩陣，所以生成傳遞閉包的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，而本文采用橋元素填充操作取代原FJP算法的反復(fù)矩陣掃描操作，簡(jiǎn)單而高效，提高了FJP算法的計(jì)算效率，實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明本文改進(jìn)FJP算法的思路是有效的。

Table 4 Comparison of computing time of the three algorithms表4 三種算法計(jì)算時(shí)間的比較

對(duì)五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集進(jìn)行復(fù)制，分別產(chǎn)生2倍(2×)、4倍(4×)、8倍(8×)、16倍(16×)的大型數(shù)據(jù)集，IFJP、FJP-2008、FJP-2016三種FJP算法在這些大型數(shù)據(jù)集上的計(jì)算時(shí)間隨數(shù)據(jù)集規(guī)模變化的趨勢(shì)如圖1示。由圖1可知：三種FJP算法的計(jì)算復(fù)雜度均具有多項(xiàng)式時(shí)間特性，前面的理論分析中曾指出：傳統(tǒng)FJP算法的計(jì)算復(fù)雜度是O(n3)，本文所提IFJP算法的計(jì)算復(fù)雜度是O(n2)，均為多項(xiàng)式的時(shí)間復(fù)雜度，理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合。當(dāng)數(shù)據(jù)集呈指數(shù)級(jí)(2n)增長(zhǎng)時(shí)，本文算法的時(shí)間增加幅度明顯小于傳統(tǒng)FJP算法的，并且數(shù)據(jù)集規(guī)模越大，本文算法的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)越明顯。圖2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果再次驗(yàn)證了本文橋元素填充法生成傳遞閉包的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的循環(huán)遍歷相似度矩陣的最大-最小模糊關(guān)系合成閉包法。

Figure 1 Running time vs.data set cardinality of three FJP algorithms圖1 三種FJP算法計(jì)算時(shí)間隨數(shù)據(jù)集規(guī)模變化的趨勢(shì)

綜合上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知：本文采用橋元素填充法計(jì)算FJP算法的傳遞閉包，有效地提高了FJP算法的計(jì)算效率和聚類精度，本文改進(jìn)FJP算法的思路是有效的、可行的。

圖2是在五個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)集上，α劃分水平與簇?cái)?shù)目之間的關(guān)系，它反映了FJP算法的聚類特性。從圖2可看出，當(dāng)劃分水平從1逐次減少時(shí)，簇的數(shù)目也逐漸減少并趨向穩(wěn)定，從中可找出正確的簇?cái)?shù)目。

以Lineblobs數(shù)據(jù)集為例，當(dāng)劃分水平α=1時(shí)，簇?cái)?shù)目與樣本個(gè)數(shù)相當(dāng)；減少α水平，聚類產(chǎn)生的簇?cái)?shù)目也隨之減少。當(dāng)α劃分水平小于0.808 3時(shí)，簇?cái)?shù)目維持1不變，剔除簇?cái)?shù)為1的結(jié)果，出現(xiàn)劃分次數(shù)最多的簇?cái)?shù)為3，再取所有劃分結(jié)果為3個(gè)簇的α劃分水平中最小值作為αmin，以αmin對(duì)應(yīng)的聚類結(jié)果此作為IFJP算法的最終聚類結(jié)果。

Figure 2 Relationship between α and the cluster number on datasets圖2 各數(shù)據(jù)集上α劃分水平與簇?cái)?shù)目的關(guān)系

5 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)FJP算法生成的傳遞閉包存在失真問(wèn)題，導(dǎo)致傳遞閉包中包含較多錯(cuò)誤的關(guān)聯(lián)信息，造成算法計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度較高且聚類效果不理想。本文提出基于核函數(shù)的橋元素填充法計(jì)算傳遞閉包，能有效地提高傳遞閉包的計(jì)算效率，并且降低傳遞閉包的失真，提高聚類效果。在UCI數(shù)據(jù)集和人工數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法的計(jì)算效率和聚類效果均優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的，本文改進(jìn)FJP算法的思路是有效的、可行的。

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