張宗瑤，趙小山，盧 雅，徐 濤

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展最早可以追溯到300多年前。分?jǐn)?shù)階微積分作為微積分的一個(gè)分支，是普通的整數(shù)階微分和積分向任意實(shí)數(shù)階微分和積分的推廣。由于長(zhǎng)期缺少實(shí)際應(yīng)用背景，所以分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展較為緩慢。但研究表明分?jǐn)?shù)階較整數(shù)階混沌系統(tǒng)能夠更好地將物理工程現(xiàn)象呈現(xiàn)出來(lái)，且分?jǐn)?shù)階模型較傳統(tǒng)的整數(shù)階模型有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，所以更適合描述真實(shí)材料的特性[1-2]。目前，混沌同步廣泛應(yīng)用在密碼學(xué)、信息科學(xué)和圖像處理等領(lǐng)域。混沌同步的研究既體現(xiàn)混沌自身應(yīng)用價(jià)值也為混沌的應(yīng)用研究提供了良好的理論基礎(chǔ)[3]。

混沌同步在保密通信中的應(yīng)用研究已成為非線性系統(tǒng)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，并且許多混沌同步和控制方法逐漸被提出，例如完全同步、自適應(yīng)同步、脈沖同步、延遲同步和射影同步等同步方法和非線性反饋控制、線性反饋控制、滑?？刂坪湍：刂频瓤刂品椒?。其中把驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量關(guān)于一個(gè)比例因子同步的方式定義為射影同步。由于比例因子增加了系統(tǒng)的隨機(jī)性和不可測(cè)性，因此射影同步對(duì)于保密通信研究有更為突出的優(yōu)勢(shì)。目前有很多射影同步方法被提出，例如廣義射影同步[4]、修正射影同步[5]、全狀態(tài)混合射影同步[6]、錯(cuò)位射影同步[7]、函數(shù)射影同步[8-9]和延遲射影同步[10]等同步方法。由于延遲現(xiàn)象在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中是不可避免的因素，因此本文提出的射影延遲同步方案更加符合實(shí)際，也保留了射影同步在增強(qiáng)信息傳遞的安全性方面的優(yōu)勢(shì)。基于文獻(xiàn)[3]，本文以線性分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性定理[11]和非線性控制方法為理論基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階異構(gòu)超混沌系統(tǒng)的射影延遲同步和未知參數(shù)辨識(shí)，設(shè)計(jì)控制器和參數(shù)辨識(shí)規(guī)則，并以Lorenz-Stenflo和Lorenz這2個(gè)超混沌系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值仿真，證明所設(shè)計(jì)的控制器和參數(shù)辨識(shí)規(guī)則的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與問(wèn)題描述

目前 Grnwald-Letnikov（G-L）、Riemann-Liouville（R-L）和Caputo這3種分?jǐn)?shù)階微積分的定義是多種分?jǐn)?shù)階微分和積分的數(shù)學(xué)定義中較為常見(jiàn)的3種。R-L定義多被采用于研究純數(shù)學(xué)問(wèn)題，而在實(shí)際應(yīng)用中Caputo定義較為常用。因此，本文采用Caputo定義。

Caputo分?jǐn)?shù)階微分的定義為：

式中：n為大于q的最小整數(shù)；Γ（·）為伽馬函數(shù)。

考慮如下的分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

式中：x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T∈Rn為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量；驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的求導(dǎo)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)q∈（0，1）；向量函數(shù) F：Rn→Rn為連續(xù)的；θ =（θ1，θ2，…，為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù)向量且 M（x（t））∈為多項(xiàng)式矩陣。

考慮如下的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)：

式中：y（t）=（y1（t），y2（t），…，yn（t））T∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量向量；響應(yīng)系統(tǒng)的求導(dǎo)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)q∈（0，1）；向量函數(shù) G：Rn→Rn為連續(xù)的；δ=（δ1，δ2，…，為響應(yīng)系統(tǒng)的未知參數(shù)向量且 N（y（t））∈為多項(xiàng)式矩陣；U=（u1，u2，…，un）T為待設(shè)計(jì)的非線性反饋控制器。

定義系統(tǒng)（3）和（4）間的狀態(tài)變量誤差為：

式中：e（t）=（e1（t），e2（t），…，en（t））T∈Rn；C=diag{c1，c2，…，cn}∈Rn×n為實(shí)比例矩陣；τ＞ 0 為同步時(shí)間延遲。

定義系統(tǒng)（3）和（4）未知參數(shù)的誤差為：

定義1如果存在控制器U使得

則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）與響應(yīng)系統(tǒng)（4）這兩個(gè)異構(gòu)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)了射影延遲同步。

注：當(dāng) C=I，I∈Rn×n時(shí)，同步類型稱為延遲同步，而當(dāng) C=-I，I∈Rn×n時(shí)，同步類型稱為反相延遲同步；當(dāng)延遲量τ為0時(shí)，同步類型由射影延遲同步退化為射影同步；當(dāng)延遲量τ為0，且C=I或者C=-I時(shí)，同步類型分別轉(zhuǎn)化為完全同步和反相同步，因此本文主要目的是設(shè)計(jì)合適的控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）的射影延遲同步及合適的自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)規(guī)則，以辨識(shí)出系統(tǒng)（3）和（4）的未知參數(shù)。

2 控制器和參數(shù)辨識(shí)規(guī)則的設(shè)計(jì)

設(shè)非線性控制器為：

式中：反饋增益 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n為待定對(duì)角矩陣。將新設(shè)計(jì)的控制器（9）作為響應(yīng)系統(tǒng)（4）待設(shè)計(jì)的控制器，再根據(jù)射影延遲同步定義結(jié)合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）計(jì)算可得誤差系統(tǒng)為：

那么，最終將實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)（3）和（4）間的射影延遲同步問(wèn)題和未知參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)（10）零解的漸近穩(wěn)定性問(wèn)題。

定理 1如果矩陣 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n滿足 ki＜ 0，i=1，2，…，n，那么不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)（3）與（4）就能夠?qū)崿F(xiàn)射影延遲同步，并且未知參數(shù)向量θ、δ能夠由以下的參數(shù)更新規(guī)則識(shí)別為：

由同步誤差系統(tǒng)（10）和參數(shù)更新規(guī)則（11）和（12）組成新的誤差系統(tǒng)為：

式中：A（x（t- τ）），y（t））為矩陣多項(xiàng)式。

引理1[3]如果分?jǐn)?shù)階線性自治誤差系統(tǒng)（13）的系數(shù)矩陣 A 的所有特征值 λ 均滿足|arg（λ）|＞ qπ/2，q∈（0，1）則稱分?jǐn)?shù)階線性自治誤差系統(tǒng)（13）的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即

證明假設(shè)誤差系統(tǒng)中的多項(xiàng)式系數(shù)矩陣的任意一個(gè)特征值為λ，相應(yīng)的非零特征向量為η，則

對(duì)上式左乘ηT可得：

同理可得

由方程（16）和（17）計(jì)算可得：

式中：ηTη＞0；A（x（t-τ），y（t））+AT（x（t-τ），y（t）），即：

由矩陣 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n滿足 ki＜ 0（i=1，2，…，n）知，ηTQη≤0。那么

此時(shí)，多項(xiàng)式矩陣 A（x（t- τ），y（t）的任意 1 個(gè)特征值 λ 均滿足|arg（λ）|≥π/2 ＞ qπ/2，其中 q∈（0，1）。根據(jù)引理1，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（13）在零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。即從理論上證明了實(shí)現(xiàn)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)（3）和（4）間射影延遲同步的可能性，同時(shí)也說(shuō)明了本文設(shè)計(jì)的辨識(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）與響應(yīng)系統(tǒng)（4）中的未知參數(shù)向量的參數(shù)辨識(shí)更新規(guī)則（11）和（12）的正確性。

3 數(shù)值仿真

為方便從數(shù)值上驗(yàn)證本文提出的射影延遲同步方案的可行性，以下面分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)這2個(gè)分?jǐn)?shù)階四維超混沌系統(tǒng)為實(shí)例進(jìn)行數(shù)值仿真，其中整數(shù)階超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)是由Stenflo在研究低頻短波長(zhǎng)的重力波方程式時(shí)提出的[12]，具體形式為：

其中，當(dāng)系統(tǒng)（20）的參數(shù)向量取值為{a，b，c，d}={1，0.7，26，1.5}時(shí)存在混沌吸引子，即此時(shí)為混沌系統(tǒng)。

本文研究的是系統(tǒng)（20）的分?jǐn)?shù)階形式：

作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其中系統(tǒng)（21）的階數(shù)q=0.98，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的參數(shù)?。é?，θ2，θ3，θ4）=（1，0.7，26，1.5），采用caputo定義設(shè)計(jì)算法，分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)（21）的混沌吸引子圖由matlab數(shù)值仿真得出，分?jǐn)?shù)階Lorenz-Stenflo超混沌系統(tǒng)吸引子如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階Lorenz-Stenflo超混沌系統(tǒng)吸引子

將分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行同步，其中待設(shè)計(jì)非線性同步控制器向量為 U=（u1，u2，…，un）T。在 q=0.98，（δ1，δ2，δ3，δ4）=（10，28，8/3，1）時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌解，分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)吸引子如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)吸引子

假設(shè)系統(tǒng) （21）、（22） 中所有參數(shù) θ =（θ1，θ2，θ3，θ4）T，δ =（δ，δ2，δ3，δ4）T均為未知的參數(shù)向量，其估計(jì)值分別為

把系統(tǒng)（21）和（22）等價(jià)變換為系統(tǒng)（3）與（4）的形式，則

對(duì)照式（9）、（11）和（12），設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制器為：

參數(shù)辨識(shí)規(guī)則為：

響應(yīng)系統(tǒng)（23）中的待設(shè)計(jì)控制器選取為（28），如下的誤差系統(tǒng)可由系統(tǒng)（22）和（23）相結(jié)合計(jì)算得出：

由預(yù)估矯正算法[13]，結(jié)合Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，參數(shù)向量真實(shí)值分別為：θ =（1，0.7，26，1.5）T，δ=（10，28，8/3，1）T，選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式（21）的初始值為：x（0）=（0.1，0.2，0.2，-0.2）T，響應(yīng)系統(tǒng)（22）的初始值 y（0）=（-2.2，6，8.3，-9）T，誤差系統(tǒng)（29）初始值選取為 e（0）=（3，9，7，2）T，未知參數(shù)估計(jì)值分別選取為：（4，5.7，45.5，3.5）T，反饋增益對(duì)角矩陣的值選取為：K=diag{-15，-12，-14，-12}，對(duì)角矩陣取值 C=diag{2，2，2，2}。同步誤差系統(tǒng)演化曲線如圖3所示。由圖3可知，控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)（21）和（22）的射影延遲同步。未知參數(shù)估計(jì)向量的參數(shù)辨識(shí)曲線如圖4和圖5所示。圖4和圖5表明，參數(shù)估計(jì)向量隨著時(shí)間趨于無(wú)窮逐步收斂到參數(shù)向量的真實(shí)值 θ =（1，0.7，26，1.5）T與 δ =（10，28，8/3，1）T，進(jìn)而說(shuō)明了所給參數(shù)更新規(guī)則的有效性。

圖3 誤差系統(tǒng)演化曲線

圖4 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)曲線

圖5 響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于分?jǐn)?shù)階線性自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，結(jié)合非線性控制方法，提出一種射影延遲同步判據(jù)，并在參數(shù)未知的情況下設(shè)計(jì)了相應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)規(guī)則。以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超Lorenz-Stenflo混沌系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超Lorenz混沌系統(tǒng)之間的射影延遲同步為例，運(yùn)用Matlab數(shù)學(xué)工具進(jìn)行數(shù)值仿真，分別從理論和數(shù)值上對(duì)提出的射影延遲同步方案進(jìn)行了驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果證明了該同步方案中設(shè)計(jì)的控制器和未知參數(shù)辨識(shí)規(guī)則的正確性和有效性。