連文瑜 ，劉 佳 ，張運(yùn)喜 ，李偉勛

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，天津 300222；3.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和通訊技術(shù)的應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)的一致性在許多研究領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注，如編隊(duì)控制、分布式計(jì)算和機(jī)器人系統(tǒng)等[1-3]。多智能系統(tǒng)是多個(gè)智能體的組合，它們通過(guò)相互間的合作協(xié)商來(lái)完成單個(gè)智能體不能完成的任務(wù)，多智能體系統(tǒng)的一致性即設(shè)計(jì)適合的控制協(xié)議使各個(gè)智能體達(dá)到相同的狀態(tài)。多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制與一致性問(wèn)題有著密切關(guān)系，在編隊(duì)控制時(shí)，智能體之間不僅要滿(mǎn)足某些狀態(tài)量使之達(dá)到一致，還需要和原來(lái)預(yù)先給定的隊(duì)形保持一致。有許多學(xué)者對(duì)多智能體系的編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，研究方法主要有基于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨的方法[4]，基于行為的方法[5]，基于虛擬結(jié)構(gòu)式的方法[6]。文獻(xiàn)[7]針對(duì)一階多智能體系統(tǒng)，基于一致性方法來(lái)研究多智能體系統(tǒng)分布式編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[8]針對(duì)一階系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制協(xié)議，研究了離散多智能體系統(tǒng)在固定有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的分布式編隊(duì)控制。在考慮二階多智能體系統(tǒng)時(shí)，與一階多智能體系統(tǒng)有所不同，單個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)模型不僅與位置有關(guān)，還與速度有關(guān)。文獻(xiàn)[9]研究二階動(dòng)力系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，提出簡(jiǎn)單的二階一致性協(xié)議，實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[10]實(shí)現(xiàn)了二階多智能體系統(tǒng)的環(huán)形編隊(duì)控制研究。文獻(xiàn)[11]研究了多智能體的自適應(yīng)算法。但在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，多智能體系統(tǒng)具有非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性[12-13]，因此，研究非線(xiàn)性多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制十分必要。文獻(xiàn)[14]對(duì)含有非線(xiàn)性特性的二階多智能體系統(tǒng)，給出了一致性控制的研究。本文基于一致性協(xié)議，研究二階多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問(wèn)題。

1 分析工具

1.1 圖論知識(shí)

代數(shù)圖論為重要的研究工具，將多智能體系統(tǒng)中的每個(gè)智能體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們之間的關(guān)系可以用圖論的方式描述。

令 G（Q，E，A）為有向圖，其中 Q={q1，q2，…，qn}表示n個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合，E∈Q×Q表示有向邊的集合，A表示鄰接矩陣。記eij=（qi，qj）∈E為有向邊，qi為邊的父節(jié)點(diǎn)，qj為邊的子節(jié)點(diǎn)，邊的方向?yàn)橛蓂i到qj。通常用鄰接矩陣來(lái)描述各節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，鄰接矩陣為：

式中：如果第j個(gè)節(jié)點(diǎn)能接收到來(lái)自第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)信息，則aij＞0，?i≠j。aij為邊（qi，qj）的權(quán)值。否則，aij=0，而對(duì)角線(xiàn)上的元素aii=0，則說(shuō)明該有向圖中不含有閉自環(huán)。在圖中，節(jié)點(diǎn)qi的入度用degin（qi）表示，出度用degout（qi）表示。

圖的Laplacian矩陣用另外一種方式描述了所對(duì)應(yīng)的圖的所有信息，定義如下：

式中：D為圖G的入度矩陣，D=diag（degin（q1），degin（q2），degin（qn））；A為鄰接矩陣。

1.2 相關(guān)數(shù)學(xué)工具

矩陣的Kronecker積是一種重要的矩陣乘積，在矩陣?yán)碚摰难芯恐芯哂袕V泛應(yīng)用，同時(shí)也是在研究控制系統(tǒng)理論時(shí)的重要數(shù)學(xué)工具。

定義 1[15]設(shè) A=[aij]∈Rm×n，B=[bij]∈Rp×q，則分塊矩陣

稱(chēng)為矩陣A與矩陣B的Kronecker積，記為A?B。

下面介紹本文用到的相關(guān)引理：

引理1[16]（Schur補(bǔ)引理）給定的對(duì)稱(chēng)矩陣S=以下2個(gè)條件為等價(jià)的：

引理2[17]對(duì)于任意的常向量a，b∈Rn和正定矩陣Φ∈Rn×n，以下不等式成立：

2 問(wèn)題描述與分析

2.1 系統(tǒng)描述

本文所研究的多智能體系統(tǒng)是由1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和n個(gè)跟隨者組成的。領(lǐng)導(dǎo)者用0來(lái)標(biāo)記，跟隨者用1，2，…，n來(lái)標(biāo)記。

假設(shè)所考慮的跟隨者智能體的動(dòng)態(tài)模型為：

式中：xi（t）∈Rm為第i個(gè)智能體的位置向量；vi（t）∈Rm為速度向量；ui（t）∈Rm為控制輸入；f：Rm×R→Rm為連續(xù)可微的函數(shù)向量。

領(lǐng)導(dǎo)者智能體的動(dòng)態(tài)模型為：

式中：x0（t）∈Rm為領(lǐng)導(dǎo)者的位置向量；v0（t）∈Rm為速度向量。

假設(shè)1非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)f（vi（t），t）（i∈{0，1，2，…，n}）是連續(xù)可微的函數(shù)向量，存在非負(fù)常數(shù)ρ，對(duì)于任意的t≥0滿(mǎn)足下列條件：

定義2為多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨編隊(duì)控制問(wèn)題可解的定義。

定義2考慮所給出的多智能體系統(tǒng)，在任意的初始狀態(tài)xi（0），vi（0）下，領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的位置和速度應(yīng)該滿(mǎn)足下列要求：

式中：hi∈Rm為第i個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間期望的隊(duì)形常向量。

根據(jù)所給出的多智能體系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)如下：

式中：Ni為第i個(gè)智能體在圖G中的鄰居集合；k＞0為速度增益；hi為第i個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間期望的隊(duì)形向量；hj為第j個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間期望的隊(duì)形向量；aij＞0為第i個(gè)智能體與第j個(gè)智能體的連接權(quán)值；bi為第i個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間的連接權(quán)值，分別定義為：

將式（10）代入系統(tǒng)（5）中，得：

通過(guò)Kronecker積，可以把誤差系統(tǒng)（14）轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

式中：L為圖G的Laplacian矩陣；B為跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的連接矩陣，記作 L=diag（b1，b2，…，bn）。

2.2 主要結(jié)果

定理1針對(duì)具有非線(xiàn)性特性的多智能體系統(tǒng)，對(duì)于給定的正常數(shù)ρ，存在適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣P，R滿(mǎn)足下列的線(xiàn)性矩陣不等式：

證明選取Lyapunov函數(shù)

對(duì) V（t）沿著系統(tǒng)（15）求導(dǎo)，可得：

將式（21）代入式（20）中，可以得到：

又由假設(shè)1可以得到：

將式（23）代入式（22），可以得到：

3 數(shù)值仿真

3.1 仿真例子

例1考慮該多智能體系統(tǒng)由4個(gè)跟隨者與1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體所組成，智能體之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1所示。

圖1 智能體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

假設(shè)智能體之間的連接權(quán)值為0或1，則跟隨者之間所對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣為：

跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的連接矩陣為：

假設(shè)多智能體系統(tǒng)是在二維平面上的系統(tǒng)，且非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)為：

由假設(shè)1可得ρ=0.2，期望的隊(duì)形向量分別為：

令k=2，通過(guò)Matlab中的LMI工具箱，可以求解定理1中的線(xiàn)性矩陣不等式（18），求得可行解為：

3.2 仿真結(jié)果

通過(guò)仿真圖來(lái)描述多智能體的狀態(tài)軌跡及位置誤差和速度誤差的變化趨勢(shì)，智能體的狀態(tài)軌跡如圖2所示，位置誤差狀態(tài)軌跡如圖3所示，智能位置誤差狀態(tài)軌跡如圖4所示，速度誤差狀態(tài)軌跡如圖5所示，智能體的速度誤差狀態(tài)軌跡如圖6所示。

圖2 智能體的狀態(tài)軌跡

圖3 智能體的位置誤差i1狀態(tài)軌跡

圖4 智能體的位置誤差ˉi2狀態(tài)軌跡

圖5 智能體的速度誤差ˉi1狀態(tài)軌跡

圖6 智能體的速度誤差ˉi2狀態(tài)軌跡

從圖2中觀(guān)察4個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以發(fā)現(xiàn)智能體能夠達(dá)到所期望的隊(duì)形；從圖3和圖4這兩個(gè)圖中可以看出在二維平面下，多智能體系統(tǒng)的位置誤差在隨著時(shí)間的變化最終都會(huì)趨近于零，即跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的位置可以達(dá)到一致；從圖5和圖6可以看出在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，多智能體系統(tǒng)的速度誤差會(huì)趨于零，即跟隨者的速度可以滿(mǎn)足領(lǐng)導(dǎo)者的速度，多智能體系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，也就是說(shuō)多智能體系統(tǒng)既能夠滿(mǎn)足期望的隊(duì)形，跟隨者又能夠與領(lǐng)導(dǎo)者的速度達(dá)到一致。因此，證明了所得理論的有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了二階多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制，在具有非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性的情況下，設(shè)計(jì)了合適的分布式編隊(duì)控制協(xié)議，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和基于線(xiàn)性矩陣不等式的方法對(duì)控制協(xié)議進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得出多智能體系統(tǒng)能夠按照所期望的隊(duì)形運(yùn)動(dòng)，而且位置誤差和速度誤差在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后趨于零，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性，即多智能體系統(tǒng)不僅能夠得到所期望的隊(duì)形，而且跟隨者的速度和領(lǐng)導(dǎo)者智能體的速度能夠達(dá)到一致。