黃　楊，向民奇，錢　洵，孫　亮，何　瀟，袁大海

（廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004）

振動模態(tài)是彈性結(jié)構(gòu)固有的、整體的特性。通過對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析可以弄清結(jié)構(gòu)在某一頻率范圍內(nèi)各階模態(tài)的特性，由此可以預(yù)測結(jié)構(gòu)在此頻段內(nèi)在外部或內(nèi)部振源激勵下產(chǎn)生的實(shí)際振動響應(yīng)。因此，模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計(jì)及損傷檢測的重要方法。模態(tài)參數(shù)識別的研究中，不同的支撐方式，即自由邊界模擬對模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果影響較大。黃琴等[1]研究了橡皮繩懸掛、輪胎支撐、海綿支撐三種方式下鋁制圓盤模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果的差異，結(jié)果表明，輪胎支撐下鋁制圓盤試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)與有限元數(shù)值分析結(jié)果最為接近，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，不同輪胎胎壓對模態(tài)參數(shù)的影響也很大。田晶等[2]研究了不同支撐方式、不同支撐位置對鋼板模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果的影響，試驗(yàn)結(jié)果顯示，對于質(zhì)量較小的鋼板，采用懸掛的支撐方式模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果更準(zhǔn)確，而且懸掛點(diǎn)越少，結(jié)果越準(zhǔn)確。目前，模態(tài)參數(shù)識別的研究中，對研究對象的支撐方式常采用自由支撐、固定支撐、原裝支撐三種。所謂自由支撐實(shí)際上是為了減少其他約束條件對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響，對研究對象進(jìn)行自由邊界條件的模態(tài)。由于各種條件的限制，達(dá)到完美的自由邊界條件幾乎不可能，因此，自由邊界條件模擬的好壞，在很大程度上決定了試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

對于質(zhì)量較大的中大型零部件，常采用彈簧支承模擬其自由邊界，因?yàn)檫x用合適的彈簧，不僅可以降低支承裝置對零部件的約束，而且可以使零部件具備一定的行程，得到較好的振動響應(yīng)效果。同時，當(dāng)系統(tǒng)固有頻率小于研究對象第一階彈性模態(tài)頻率的五分之一時，柔軟支撐對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果的影響將會很小[3]。

針對變速箱箱體的再制造加工之前，需要對其進(jìn)行全面的損傷檢測[4]，本文選擇利用模態(tài)參數(shù)識別對其進(jìn)行損傷檢測。由于再制造箱體為拆卸下來的零部件，對其分析不用考慮其工作狀態(tài)，故可以采用自由支撐。為了準(zhǔn)確提取再制造箱體零件的模態(tài)參數(shù)，設(shè)計(jì)了錘擊實(shí)驗(yàn)過程中專用的柔性支承裝置，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)裝置的有效性。結(jié)果表明，柔性支承裝置不僅能穩(wěn)定支承箱體，系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)相干性較好，而且滿足箱體自由邊界模擬的條件，實(shí)現(xiàn)了箱體模態(tài)頻率的準(zhǔn)確提取。

1　模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

有限元分析的基本思想是將研究對象離散成一系列由彈簧、阻尼器、節(jié)點(diǎn)等構(gòu)成的單元，這樣，原本擁有無數(shù)個自由度的系統(tǒng)成了有限個結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)。假設(shè)變速箱箱體是理想狀態(tài)的線性系統(tǒng)，根據(jù)Darren Bell原理，振動微分方程（1）可以用來近似描述該系統(tǒng)[5]：

式（1）中，[M]、[C]、[K]分別代表變速箱箱體的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，[M]、[C]、[K]都是實(shí)對稱、階數(shù)為n 的矩陣；{δ}、{δ˙} 、{δ¨} 分別代表變速箱箱體的位移、速度、加速度向量，同樣{δ}、{δ˙} 、{δ¨}是階數(shù)為 n 的向量；{P}為變速箱箱體動態(tài)激勵的階向量。由于外部動載荷為零且阻尼對系統(tǒng)的影響不大，在求解結(jié)構(gòu)自由振動特性參數(shù)時，可以忽略{C}和{P}.從而，系統(tǒng)振動微分方程可表達(dá)為：

設(shè)方程（2）的特解為：

式中{Φ}為自由振動的幅值向量，將特解代入系統(tǒng)無阻尼自由振動方程可得：

由于{Φ}為自由振動的幅值向量，所以{Φ}不能為零，此時求解方程（4）轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈴V義特征值的問題，式（4）中{Φ}有非零解的充要條件為：

式（5）稱為求解變速箱箱體固有頻率的特征值方程，特征值方程是關(guān)于ω2的n次線性代數(shù)方程，求解得到n個正實(shí)數(shù)根，，…，進(jìn)一步通過這n個正數(shù)根可得到系統(tǒng)n個無阻尼固有頻率ωi（i=1，2，…，n）。將ωi代入原式（4）求出該自由振動系統(tǒng)的第階固有振型{Φi（}i=1，2，…，n）。

2　變速箱箱體自由邊界條件模態(tài)分析

2.1　箱體三維建模

圖1為某再制造公司提供的裝載機(jī)變速箱箱體，為再制造毛坯。該變速箱箱體的材料主要為HT200，最大尺寸（長寬高）：1 080 mm×485 mm×595 mm，重量為274 kg.材料屬性如表1所示。

圖1　再制造變速箱箱體

表1　變速箱箱體材料屬性

在對變速箱箱體建模的過程中，應(yīng)該對箱體進(jìn)行不同程度的簡化[6]，以減少網(wǎng)格劃分的數(shù)量和后續(xù)模態(tài)分析計(jì)算量。簡化后的箱體三維模型如圖2所示。

圖2　變速箱箱體三維模型

2.2　箱體網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分越細(xì)，計(jì)算結(jié)果精度越高，但是，相應(yīng)地，求解時間邊長，對計(jì)算機(jī)要求也更高。結(jié)合實(shí)際情況，本文采用Solid187網(wǎng)格單元，Smart Sizing為7自動劃分網(wǎng)格。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖3所示。

圖3　變速箱箱體網(wǎng)格劃分

2.3　箱體模態(tài)分析結(jié)果

本文采用分塊藍(lán)索斯法法提取變速箱箱體的模態(tài)結(jié)果。由于對變速箱箱體作自由模態(tài)分析，不對其添加任何約束，箱體前六階模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果和振型分析如表2所示，振型圖如圖4所示。

表2　箱體前6階自由邊界的模態(tài)頻率值及振型描述

（續(xù)下圖）

（接上圖）

根據(jù)振型圖，可以合理選擇錘擊點(diǎn)、響應(yīng)點(diǎn)、及傳感器布置點(diǎn)。為了減少支承裝置的接觸對分析結(jié)果的影響，支撐位置可以選擇在箱體的節(jié)點(diǎn)位置；為了收集到箱體更多振動信息，錘擊點(diǎn)、響應(yīng)點(diǎn)應(yīng)優(yōu)先選擇在多階固有頻率振動的方向上[7]。

3　柔性支承裝置

為了提高變速箱箱體模態(tài)參數(shù)識別中模態(tài)錘擊試驗(yàn)的準(zhǔn)確性，需要構(gòu)建箱體零件的柔性支承，以獲得被試驗(yàn)對象的自由邊界。根據(jù)箱體模態(tài)分析的結(jié)果，以及支撐點(diǎn)選取的原則，設(shè)計(jì)箱體采取圖5所示的支撐方式。

圖5　箱體柔性支承設(shè)計(jì)及支承方式

考慮到變速箱箱體質(zhì)量較大，選擇彈簧為主要受力元件，并通過導(dǎo)桿、導(dǎo)套來建立支撐。具體設(shè)計(jì)步驟如下[8]：

（1）彈簧材料

因彈簧主要承受箱體重量，為一般載荷，故選擇第III類（載荷作用次數(shù)小于103次）碳素彈簧鋼絲SL型。

（2）彈簧直徑

式中，d為彈簧直徑；Fmax為最大載荷；K為彈簧曲度系數(shù)；C為旋繞比；[τ]為許用切應(yīng)力。

箱體質(zhì)量274 kg，因此各個支承裝置所受最大載荷Fmax≈ 274×10÷4≈ 685 N，旋繞比C=，通常取5~8，現(xiàn)暫取8，中徑D=40 mm，彈簧直徑d=5 mm.將C=8代入（7）得K ≈ 1.184，根據(jù)彈簧直徑和材料屬性查表得[τ]=830 MPa，代入（6）得：

可以看到，所選擇的彈簧直徑d=5 mm，接近理論計(jì)算值，選取合理。

（3）彈簧圈數(shù)

為了使得支承裝置具備一定的柔度，取變形量λ=50 mm.

式中，λmax為最大變形量，為彈簧材切變模量，查表為 80 000 MPa，代入式（8）得：

取n=8.

（4）彈簧彈性系數(shù)

將箱體柔性支承系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6　箱體柔性支承系統(tǒng)簡化模型

圖6中，彈簧彈性系數(shù)為K0，質(zhì)量快的質(zhì)量為箱體的四分之一，不考慮空氣阻力，假設(shè)系統(tǒng)為線性，則有：

式（9）中ω代表箱體柔性支撐系統(tǒng)的固有圓頻率，由自由邊界模擬的條件可知，系統(tǒng)的固有圓頻率應(yīng)該滿足=102.18 rad/s，彈簧的彈性系數(shù)可由下式確定。

式（10）中，G為彈簧彈性模量；N彈簧圈數(shù)；D彈簧中徑。

將彈簧圈數(shù)、彈簧中徑等代入式（10）計(jì)算得

將ω＜2π×16.27 rad/s代入式（10）得K0＜715.19 N/mm，可以看到，彈簧勁度系數(shù)滿足自由邊界模擬的條件。

（5）導(dǎo)桿、導(dǎo)套

圖7為柔性支承裝置的設(shè)計(jì)圖和加工后的實(shí)物圖。為了使裝置對箱體的支承更平穩(wěn)，加工了4個同樣的支承裝置構(gòu)成箱體的柔性支承系統(tǒng)。為了彈簧在箱體重量作用下不失穩(wěn)，設(shè)計(jì)了導(dǎo)桿、導(dǎo)套，為了使裝置與箱體接觸面積更小，導(dǎo)桿頂端設(shè)計(jì)成頂針的形式。

圖7　柔性支承裝置設(shè)計(jì)及實(shí)物圖

4　試驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)儀器采用丹麥B&K公司的PULSE Labshop通用測試系統(tǒng)，詳見表3.激勵力錘標(biāo)稱靈敏度為2.149 mV/N，測量范圍2 200 N，選用鋼制錘頭的頻率范圍可達(dá)5 kHz.單向加速度傳感器的標(biāo)稱靈敏度為9.980 mV/N，頻率范圍 0.3 Hz~8 kHz.現(xiàn)場實(shí)物連接圖如圖8所示，結(jié)果如圖9、表4所示。試驗(yàn)步驟：

（1）用力錘錘擊箱體，獲得激勵和響應(yīng)信號，為了使結(jié)果準(zhǔn)確，重復(fù)4次取平均。

（2）根據(jù)頻響函數(shù)計(jì)算出系統(tǒng)的各階模態(tài)頻率。

（3）觀察響應(yīng)信號與激勵信號的相干性。

表3　試驗(yàn)設(shè)備

圖8　實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場

圖9　一組試驗(yàn)中激勵、響應(yīng)信號及相干性

表4　箱體支承條件下各階模態(tài)頻率

從圖9可以看到，激勵信號沒有產(chǎn)生明顯的連擊，說明箱體在外部沖擊載荷作用下，沒有產(chǎn)生快速回彈，柔性支承裝置彈性合理。響應(yīng)信號有明顯的衰減過程，這說明柔性支承裝置具有良好的柔度。從相干性圖中可以看到，系統(tǒng)輸入輸出相干性較好，進(jìn)一步證明柔性支承裝置設(shè)計(jì)合理。

從表4可以看到，柔性支承系統(tǒng)的最高固有頻率為4.67 Hz，箱體零件在柔性支承下的第一階固有頻率是84.35 Hz，柔性支承系統(tǒng)的固有頻率遠(yuǎn)低于箱體零件第一階固有頻率的五分之一，表明所設(shè)計(jì)的柔性支承滿足自由邊界的要求。進(jìn)一步從圖10中對比發(fā)現(xiàn)，箱體自由邊界理論模態(tài)頻率（簡稱自由模態(tài)）和柔性支承下試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率（簡稱試驗(yàn)?zāi)B(tài)）相差不大，因此，可以認(rèn)為柔性支承裝置對箱體模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果的影響將會很小，自由邊界條件的模擬能達(dá)到理想的效果。

圖10　自由模態(tài)、試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率對比

5　結(jié)論

自由邊界條件的模擬實(shí)質(zhì)上是將外部因素對結(jié)構(gòu)的約束和影響降到最低，使得對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的提取結(jié)果更加準(zhǔn)確。本文為了正確模擬再制造變速箱箱體的自由邊界條件，以便準(zhǔn)確獲取其模態(tài)參數(shù)，設(shè)計(jì)了以彈簧、導(dǎo)桿、導(dǎo)套組成的柔性支承裝置，并通過錘擊試驗(yàn)得到了箱體在柔性支承作用下的各階模態(tài)頻率，通過比較箱體的試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率和自由模態(tài)頻率，證明了柔性支承裝置滿足設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)輸入輸出相干性也較好。