丁小松，楊桂元

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233000）

0 引言

過去對目標(biāo)序列的預(yù)測都是借助于單項預(yù)測方法進行，但單項預(yù)測方法只利用了研究對象局部的有效信息，未能實現(xiàn)對研究對象整體信息的綜合利用，不能確保預(yù)測在所有的時點都具有較高的精度。為改變傳統(tǒng)預(yù)測方法的片面性，提高預(yù)測的精度，Granger和Bates（1969）提出了組合預(yù)測方法：通過賦予多種單項預(yù)測方法不同的權(quán)重，基于一定的優(yōu)化準(zhǔn)則，求解最優(yōu)權(quán)重，實現(xiàn)對不同單項預(yù)測方法預(yù)測信息的充分利用，解決了單項預(yù)測的片面性，達到優(yōu)于單項預(yù)測的效果。

過去的文獻主要有兩個研究方向：組合預(yù)測（點預(yù)測）和區(qū)間組合預(yù)測（區(qū)間預(yù)測）。如文獻[1]利用IOWHA算子組合預(yù)測模型對房地產(chǎn)價格進行預(yù)測，文獻[2]利用IGOWLA算子對區(qū)間序列構(gòu)建組合預(yù)測模型進行區(qū)間預(yù)測，其實質(zhì)為兩次點預(yù)測，即對區(qū)間左右端點進行預(yù)測，構(gòu)成區(qū)間預(yù)測。而對組合預(yù)測模型研究的思路主要有兩種：一是直接研究預(yù)測值和實際值的擬合程度，具體方法有相關(guān)系數(shù)法、向量夾角余弦法等。如文獻[3]以實際區(qū)間半徑和區(qū)間中點與預(yù)測區(qū)間半徑和區(qū)間中點之間的相關(guān)系數(shù)最大為準(zhǔn)則，構(gòu)建多目標(biāo)組合預(yù)測模型。文獻[4]則以實際值和預(yù)測值間的向量夾角余弦最大為準(zhǔn)則求解組合預(yù)測模型中的權(quán)重。二是研究實際值和預(yù)測值之差即誤差項，方法有誤差平方和最小、誤差絕對值之和最小、最大偏差最小、貼近度最大、灰關(guān)聯(lián)度最大及Theil不等系數(shù)法等。如文獻[5]以實際序列和預(yù)測序列直接的貼近度為優(yōu)化目標(biāo)求解組合預(yù)測模型的權(quán)重，而文獻[6]則以灰關(guān)聯(lián)度最大為準(zhǔn)則求解組合預(yù)測模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

本文利用廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子構(gòu)建組合預(yù)測模型，以實際序列和預(yù)測序列的p次冪倒數(shù)誤差的平方和最小為準(zhǔn)則，求解組合預(yù)測模型的權(quán)重向量，并以預(yù)測人民幣匯率序列說明所構(gòu)建模型的預(yù)測效果。

1 相關(guān)概念及符號說明

設(shè)某序列第t期的實際觀測值為xt，共有n種單項預(yù)測方法，第i種預(yù)測方法第t期的預(yù)測值為xit，第i種方法第t期的預(yù)測誤差為eit，x?t為第t期的組合預(yù)測值，et為第t期的組合預(yù)測的誤差。其中i=1，2，…,n，t=1，2，…，N。

定義1：設(shè)OWAW:Rn→R為n元函數(shù)，W=(w1，w2，…，是和OWAW相關(guān)的權(quán)重向量，且ii=1，2，…，n。則稱：

為n維有序加權(quán)算術(shù)平均算子，簡稱OWA算子，其中bi是 (a1，a2，…，an)由大到小排列的第i個數(shù)值。

定義 2：設(shè) (＜v1，a1＞，＜v2，a2＞，…，＜vn，an＞)為 n 個二維數(shù)組，W=(w1，w2，…，wn)T為權(quán)重向量，且0≤wi≤1，i=1，2，…，n。則稱：

為n維誘導(dǎo)有序加權(quán)算術(shù)平均算子，簡稱IOWA算子。其中，v-index(i)是 (v1，v2，…，vn)（誘導(dǎo)變量）由大到小排列的第i大數(shù)的下標(biāo)。

定義 3：設(shè) (＜v1，a1＞，＜v2，a2＞，…，＜vn，an＞)為 n 個二維數(shù)組，W=(w1，w2，…，wn)T為權(quán)重向量，且≤wi≤1，i=1，2，…，n。則稱：

為n維誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子，簡稱IOWHA算子。其中，v-index(i)是 (v1，v2，…，vn)（誘導(dǎo)變量）由大到小排列的第i大數(shù)的下標(biāo)。

定義 4：設(shè) (＜v1，a1＞，＜v2，a2＞，…，＜vn，an＞)為 n 個二維數(shù)組，GIOWHAW:Rn→R為n元函數(shù)，W=(w1，w2，…，wn)T為權(quán)重向量，且則稱：

為n維廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子，簡稱GIOWHA 算子。其中，v-index(i)是 (v1，v2，…，vn)（誘導(dǎo)變量）由大到小排列的第i大數(shù)的下標(biāo)。

當(dāng)p=1時，GIOWHA算子退化為誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子IOWHA；當(dāng)p=-1時GIOWHA算子退化為誘導(dǎo)有序加權(quán)算術(shù)平均算子IOWA；當(dāng)p→0時GIOWHA算子退化為誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子IOWGA；當(dāng)p→+∞時GIOWHA算子退化為min{ }a1，a2，…，an。（證明略）

2 基于GIOWHA算子的最優(yōu)組合預(yù)測模型

為第i種方法第t期的預(yù)測精度，其中vit∈[0，1]。以vit為誘導(dǎo)序列與各單項預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測值相結(jié)合，可得 n 個二維數(shù)組 (＜v1t，x1t＞， ＜v1t，x2t＞，…， ＜vnt，xnt＞)，t=1，2，…，N。

定義6：令

的有序加權(quán)調(diào)和平均組合預(yù)測值，簡稱GIOWHA算子組合預(yù)測值。為誘導(dǎo)有序p次冪倒數(shù)誤差，i=1，2，…，n，t=1，2，…，N，則廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均組合預(yù)測的p次冪倒數(shù)誤差為：

易知，GIOWHA算子根據(jù)不同時刻各單項預(yù)測方法的不同精度賦予不同的權(quán)重。以下使用p次冪倒數(shù)誤差度量組合預(yù)測方法的有效性。

于是廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均組合N期的組合預(yù)測p次冪倒數(shù)誤差平方和為：

則基于誤差平方和最小的GIOWHA組合預(yù)測優(yōu)化模型形式如下：

其中Rn=(1，1，…，1)T是分量均為1的n維列向量。

3 實例驗證

本文以2006年1月至2016年8月的人民幣匯率（直接標(biāo)價法：一美元折合人民幣數(shù)）期末值為樣本，其中2006年1月至2016年2月的數(shù)據(jù)用于估計自回歸模型、多項式回歸模型以及局部多項式回歸模型，而2016年3月至8月的匯率數(shù)據(jù)用于驗證各單項預(yù)測模型與組合預(yù)測模型的預(yù)測效果，這樣做既考慮了內(nèi)插預(yù)測誤差，又考慮了外推預(yù)測誤差，前者為模型內(nèi)誤差，后者為模型外誤差。數(shù)據(jù)源于中國人民銀行官網(wǎng)。

圖1 2006.1—2016.8人民幣兌美元匯率時序圖

由圖1可知，人民幣匯率從2006年1月開始不斷升值，直至2015年7月開始貶值。

3.1 模型一（自回歸模型：AR（p））

自回歸模型的形式為：

通過構(gòu)建AR（1）、AR（2）和AR（3）可知AR（2）的估計結(jié)果最優(yōu)，結(jié)果如式（2）：

其中yt為即期匯率，yt-1，yt-2為匯率的滯后項，括號內(nèi)的數(shù)值為估計參數(shù)的t值。

對殘差項序列相關(guān)性檢驗結(jié)果如表1所示，所估計的AR（2）模型的殘差項不存在序列相關(guān)性。

表1 LM檢驗

對殘差項進行ARCH效應(yīng)檢驗即異方差檢驗結(jié)果如表2所示，所估計的AR（2）模型的殘差項無異方差性。

表2 ARCH效應(yīng)檢驗

由表1和表2可知，AR（2）模型對匯率數(shù)據(jù)有很好的擬合效果，故使用AR（2）進行2016.3—2016.8的靜態(tài)預(yù)測，結(jié)果如表3所示：

表3 AR（2）模型預(yù)測結(jié)果

3.2 模型二（ETS指數(shù)平滑狀態(tài)空間模型）

Pegel（1969）首先對指數(shù)平滑方法進行了分類，隨后Gardner（1985）對其進行了拓展，Hyndman等（2002）進行了修正，最后又被Taylor（2003）改進。

手術(shù)室護理始終是護理工作的研究熱點,因手術(shù)室護理質(zhì)量直接關(guān)乎患者生命健康,尤其是手術(shù)實施過程中,任何手術(shù)失誤會影響手術(shù)效果、預(yù)后效果,不僅會增加患者的住院時間,增加患者經(jīng)濟負擔(dān),還會增加醫(yī)生、患者的精神壓力,引發(fā)醫(yī)患糾紛[3]。因此提升手術(shù)室護理,規(guī)避風(fēng)險,提高手術(shù)室質(zhì)量,具有重要意義。

本文使用加性模型，故可對時間序列做如下分解：

yt=Tt+St+Ct+εt

其中，T為長期趨勢，S為季節(jié)效應(yīng)，C為循環(huán)變動，ε為不規(guī)則變動。ETS指數(shù)平滑狀態(tài)空間模型（以下簡稱ETS模型）中的E為誤差項、T為趨勢項、S為季節(jié)效應(yīng)。E可以是加性的（A），也可以是乘性的（M），同時T和S可以是加性的（A）、乘性的（M）或者不存在（N），其中T可以細分為衰減加性（dampened additively簡稱Ad）或者衰減乘性（dampened multiplica-tively簡稱Md）。因此，指數(shù)平滑法一共有30種組合，包括線性的和非線性的，但只有15種具有乘性誤差項的可用于時間序列分析。

加性誤差模型：ETS（A，Ad，N）

令y?t=lt-1+bt-1表示yt的一步向前預(yù)測，εt=yt-y?t表示t時刻的預(yù)測誤差，假定所有參數(shù)已知。則空間狀態(tài)模型為：

令αβ*=β，則式（5）可被簡化。由于式（3）至式（5）均包含誤差項εt，因此也被稱為新息狀態(tài)空間模型。

為得到空間狀態(tài)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，令xt=(lt，bt)T，將式（4）和式（5）帶入式（3）得：

當(dāng)εt的分布已知時，上述標(biāo)準(zhǔn)化的模型被完全識別，通常假定εt是獨立同分布的，即εt～N(0，σ2)。本文的ETS（A，Ad，N）模型中存在加性誤差項，衰減加性趨勢項，無季節(jié)效應(yīng)。模型的估計結(jié)果如表4所示：

表4 ETS（A，Ad，N）模型估計結(jié)果

表5 ETS模型預(yù)測結(jié)果

3.3 模型三（局部多項式回歸）

非參數(shù)回歸中不需要對數(shù)據(jù)的生成過程做出具體的假定，其模型的形式通常為：

其中，m(x)為解釋變量的函數(shù)，e為模型的誤差項。

局部多項式估計的原理是使用多項式逼近m(x)。設(shè)m(x)在X=t處的p+1階導(dǎo)數(shù)存在，x為t鄰域內(nèi)的任意一點，則m(x)的Taylor展開式為：

式（7）中m(p)(t)為m(x)在t處的p階導(dǎo)數(shù)，可視為待估參數(shù)，則式（7）可化為：

m(x)≈β0+β1(Xi-t)+β2(Xi-t)2+…+βp(Xi-t)p（8）

式（8）可由廣義最小二乘法進行估計，即最小化目標(biāo)函數(shù)：

式（9）中 (X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)為 (X，Y)的觀測樣本為權(quán)函數(shù)。本文選擇核函數(shù)epan2為權(quán)函數(shù)，擬合效果如圖2所示。

圖2 局部多項式擬合圖

當(dāng)預(yù)測期數(shù)超過6期時，局部多項式回歸的擬合精度急劇下降，所以只進行6期預(yù)測，其預(yù)測結(jié)果如表6所示：

表6 局部多項式回歸模型結(jié)果

3.4 基于GIOWHA算子的組合預(yù)測模型

為對組合預(yù)測模型的有效性進行評，構(gòu)建如下評價指標(biāo)體系：

（3）均方百分比誤差

根據(jù)本文的三種單項預(yù)測方法在各時點的預(yù)測精度為誘導(dǎo)序列，對其在各時點的預(yù)測值進行誘導(dǎo)，則可以得到t時刻預(yù)測精度和預(yù)測值構(gòu)成的二維數(shù)組：＜v1t，x1t＞，＜v2t，x2t＞，…，＜vnt，xnt＞ 。

當(dāng)p=1時由定義（6）可計算GIOWHA組合預(yù)測值，其計算過程為：

（5）均方誤差

將上述結(jié)果帶入式（1），整理得如下模型：

表7 基于GIOWHA算子的組合預(yù)測結(jié)果

為驗證GIOWHA組合預(yù)測模型的有效性，計算上述5項評價指標(biāo)，結(jié)果如表8所示：

表8 單項模型和組合預(yù)測模型的外推誤差

由表8可知GIOWHA組合預(yù)測模型各項指標(biāo)均優(yōu)于單項預(yù)測方法，因此可初步得出其可改善預(yù)測精度的結(jié)論。

由表8計算的各種誤差指標(biāo)為外推誤差，即模型外誤差，為充分評價組合預(yù)測模型的預(yù)測有效性，計算其模型內(nèi)誤差，即內(nèi)插誤差如表9所示：

表9 單項預(yù)測模型與組合預(yù)測模型的內(nèi)插誤差

由表9可知GIOWHA組合預(yù)測模型的內(nèi)插誤差與各單項預(yù)測方法相比同樣是最小的，因此，與各單項預(yù)測方法相比，本文構(gòu)建的基于GIOWHA的組合預(yù)測模型在內(nèi)插誤差和外推誤差中均具有更優(yōu)秀的表現(xiàn)。

4 結(jié)束語

本文以2006年1月至2016年8月人民幣匯率為研究對象，利用三種單項預(yù)測方法：自回歸模型、ETS指數(shù)平滑狀態(tài)空間模型和局部多項式回歸模型對匯率數(shù)據(jù)進行擬合預(yù)測。數(shù)據(jù)集被分為兩個部分，用2006年1月至2016年2月的數(shù)據(jù)估計模型，而2016年3月至2016年8月的數(shù)據(jù)則用于驗證模型的外推預(yù)測效果。然后建立基于誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子（GIOWHA）的組合預(yù)測模型，以p次冪倒數(shù)誤差平方和最小為準(zhǔn)則求得最優(yōu)權(quán)重。最后利用多項評價指標(biāo)對各模型的預(yù)測效果進行評價，發(fā)現(xiàn)基于GIOWHA的組合預(yù)測模型的模型內(nèi)誤差和模型外誤差均優(yōu)于三種單項預(yù)測模型，可以對匯率序列做出更精準(zhǔn)的預(yù)測。