常新鋒，王和祥，左秀霞

（江蘇大學(xué) 財(cái)經(jīng)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

考慮參數(shù)模型：

其中，y是n×1的觀測(cè)向量，X是n×p的觀測(cè)矩陣，β是p×1的未知參數(shù)向量，ε是n×1的隨機(jī)誤差向量，ε～N(0，σ2I)，σ2＞0。

模型(1)中β的附加信息為以下等式約束：

其中r為q×1的已知向量，R為q×p的矩陣，且q＜p。

對(duì)于模型（1），當(dāng)不能確定等式約束條件式（2）是否成立時(shí)，考慮假設(shè)檢驗(yàn)：H0:r=Rβ，H1:r≠Rβ。關(guān)于以上問(wèn)題，其對(duì)應(yīng)的似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為C=X′X，δ=Rβ-r。當(dāng)H1成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量F為自由度為(q，n-p)的非中心F分布，非中心參數(shù)為(1 2)Δ，其中

對(duì)帶等式約束條件的參數(shù)模型（1），Judge和Bock[1]提出了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)?？紤]模型存在復(fù)共線性的情況，Saleh和Kibria[2]提出了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)嶺估計(jì)。Yuksel和Akdeniz[3]得到了基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)Liu估計(jì)。Kibria和 Saleh[4]，Saleh[5]，Yang 和 Xu[6]等對(duì)各類預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行了分析。Chang和Yang[7]提出了在t分布下基于W、LR和LM檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)兩參數(shù)估計(jì)。本文在Wu和Yang[8]提出的幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)的思想，提出了預(yù)檢驗(yàn)幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)，并在均方誤差準(zhǔn)則下對(duì)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)做了研究。

1 估計(jì)的提出

為了解決參數(shù)模型（1）中的復(fù)共線性問(wèn)題，Wu和Yang[8]提出了幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)，其表達(dá)式為：

結(jié)合Kaciranlar等[9]得到約束最小二乘估計(jì)的方法，本文提出如下的約束幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)：

當(dāng)不能確定等式約束條件式（2）是否成立時(shí)，本文得到基于F檢驗(yàn)的預(yù)檢驗(yàn)幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)

其中I(A)為事件A的示性函數(shù)，F(xiàn)α表示自由度為(q，n-p)的中心F分布的上α分位數(shù)。

2 估計(jì)的性質(zhì)

2.1 估計(jì)的均方誤差值為Δ的函數(shù)

引理1[10]：設(shè)矩陣A，B均為n×n的實(shí)對(duì)稱陣，且B為正定矩陣，對(duì)任意n×1的非零向量x，有≤λ1(AB-1)成立，其中λ1(AB-1)和λn(AB-1)分別表示矩陣AB-1的最大特征值和最小特征值。

定理1：在均方誤差準(zhǔn)則下，令k＞0和0＜d＜1不變，

證明：β?AUTPE(k，d)的均方誤差為：

故MSE(β?AUTPE(k，d))-MSE(β?PTAUTPE(k，d))≥ 0 當(dāng)且僅當(dāng)：

根據(jù)引理 1，得σ2Δλp(Ak，dAk，dC-1)≤η′Ak，dAk，dη≤σ2Δλ1(Ak，dAk，dC-1) 。 其 中 Δ=σ-2η′Cη，λ1(Ak，dAk，dC-1) ，λp(Ak，dAk，dC-1)分別表示矩陣Ak，dAk，dC-1的最大特征值和最小特征值。因此MSE(β?PTAUTPE(k，d))≤MSE(β?AUTPE(k，d))成立的一個(gè)充分條件為Δ≤Δ1，其中：

MS成立的一個(gè)充分條件為Δ≥Δ2，其中：

定理2：在均方誤差準(zhǔn)則下，令k＞0和0＜d＜1不變，當(dāng)當(dāng)

故MSE(β?RAUTPE(k，d))-MSE(β?PTAUTPE(k，d))≥ 0 當(dāng) 且僅當(dāng)：

M成立的一個(gè)充分條件為Δ≤Δ4，其中：

2.2 估計(jì)的均方誤差值為參數(shù)k和d的函數(shù)

另矩陣P為正交矩陣，且滿足其中λ1≥…≥λp＞0為矩陣C的順序特征根。則式（9）和式（12）分別記為：

定理3：

（1）在均方誤差準(zhǔn)則下，令 Δ＞0和 0＜d＜1固定，h1i＞0 ，當(dāng) 0＜k＜k1時(shí)，MSE(k，d))≤(k，d)) ；當(dāng)k＞k2時(shí) ，(k，d))。

（2）在均方誤差準(zhǔn)則下，對(duì)Δ＞0和k＞0固定，h2i＞0 ，當(dāng)d1＜d＜1 時(shí)，d))；當(dāng) 0＜d＜d2時(shí)，d))。

（1）令 0＜d＜1固定，f1(k，l)為參數(shù)k的函數(shù)，則若h1i＞0，此時(shí)關(guān)于參數(shù)k的一元二次函數(shù)f1(k，l)開(kāi)口向下，其一正根為：

由于k=0 時(shí)，f1(0，l)=λi＞0 ，對(duì)任意的 0＜k＜k1，k1=min{k1i} ，有f1(k，l)≥0 ，故MSE(β?PTAUTPE(k，d))≤MSE對(duì)任意的≤0 ，故

（2）令k＞0固定，f1(k，l)為參數(shù)l的函數(shù)，則當(dāng)h2i＞0時(shí)，關(guān)于參數(shù)l的一元二次函數(shù)f1(k，l)開(kāi)口向下，其一正根為，對(duì) 任 意 的 0＜l＜l1i，有f1(k，l)＞0 。 而l=1-d，對(duì)任意的，有對(duì) 任 意 的有f1(k，d)≤ 0 ，故

定理4：

（1）在均方誤差準(zhǔn)則下，令 Δ＞0和 0＜d＜1固定，h3i＞ 0 ，當(dāng)k＞k3時(shí)，d))；當(dāng) 0＜k＜k4時(shí)，d))。

（2）在均方誤差準(zhǔn)則下，令 Δ＞0和k＞0固定，h4i＞0 ，當(dāng) 0＜d＜d3時(shí)，(k，d))；當(dāng)d4＜d＜1時(shí)，(k，d))。

（1）令0＜d＜1固定，f2(k，l)作為k的函數(shù)，則：

f2(k，l)=h3ik2+f?3i(2k+λi)

若h3i＞0，此時(shí)關(guān)于k的一元二次函數(shù)f2(k，l)開(kāi)口向上，其一正根為：

其中

由于k=0 時(shí)，對(duì)任意的k＞k3，k3=max{k2i}，有f2(k，l)≥0 ，故對(duì) 任 意 的 0＜k＜k4，k4=min{k2i} ，有f2(k，l)≤ 0 ，故

（2）令k＞0固定，f2(k，l)為l的函數(shù)，則：

當(dāng)h4i＞0時(shí)，關(guān)于l的一元二次函數(shù)f2(k，l)開(kāi)口向上 ，其 一 正 根 為對(duì) 任 意 的l＞l2i，有f2(k，l)＞0。而l=1-d，對(duì)任意的對(duì)任意的0 ，故MSE

3 模擬分析

圖1 k=0.2和d=0.8時(shí)各估計(jì)在不同顯著水平下的均方誤差

圖3 Δ=2和k=0.9時(shí)各估計(jì)在不同顯著水平下的均方誤差

從圖1發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的α，β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差都隨著參數(shù) Δ 的變大而增大。當(dāng)Δ取值接近于0時(shí)，估計(jì)β?RAUTPE(k，d)的均方誤差值小于估計(jì)β?PTAUTPE(k，d)的值，同時(shí)估計(jì)β?PTAUTPE(k，d)均方誤差值小于估計(jì)β?AUTPE(k，d)。隨Δ值變大，估計(jì)β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差值的大小關(guān)系與上述情況相反。圖1中的均方誤差值變化情況驗(yàn)證了定理1和定理2。

從圖2看出，對(duì)于不同的α，β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差都隨著參數(shù)k的變大而減小。當(dāng)k取較小值時(shí)，β?RAUTPE(k，d)的均方誤差值小于β?PTAUTPE(k，d)的值，同時(shí)β?PTAUTPE(k，d)均方誤差值小于β?AUTPE(k，d)。 隨著參數(shù)k值變大，估計(jì)β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差值與上述情況相反。從圖3看出，對(duì)于不同的α，β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差都隨著參數(shù)d的變大而變大。當(dāng)d取值較小時(shí)，β?AUTPE(k，d)的均方誤差值小于β?PTAUTPE(k，d)的值，同時(shí)β?PTAUTPE(k，d)均方誤差值小于β?RAUTPE(k，d)。隨著參數(shù)d值變大，估計(jì)β?PTAUTPE(k，d)，β?RAUTPE(k，d)和β?AUTPE(k，d)的均方誤差值與上述情況相反。圖2和圖3中的均方誤差值變化情況驗(yàn)證了定理3和定理4。

4 總結(jié)

本文結(jié)合幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)和預(yù)檢驗(yàn)估計(jì)，提出了參數(shù)模型的預(yù)檢驗(yàn)幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)。在均方誤差準(zhǔn)則下，分別給出了預(yù)檢驗(yàn)幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)優(yōu)于幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)、約束幾乎無(wú)偏兩參數(shù)估計(jì)的充分條件。通過(guò)數(shù)據(jù)模擬分析，驗(yàn)證了上述理論結(jié)果。