張美賢

（長泰縣教師進修學(xué)校，福建 長泰 36390 0）

模型思想揭示的是數(shù)學(xué)對象內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的基本方法、基本規(guī)律。數(shù)學(xué)的豐富與發(fā)展過程本質(zhì)上來說就是在不斷的抽象、概括和模式化的過程。所以，真正意義上數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入到“模型”“建模”的意義上，著力于數(shù)學(xué)應(yīng)用和實際問題解決的“模型思想”這一核心。

一、著力畫圖活動促建模，培養(yǎng)模型思想

在教學(xué)實踐中，我們讓學(xué)生經(jīng)歷“弄清題意—明確數(shù)量關(guān)系—列式計算—檢驗答題”的過程，這屬于解決問題的一般程序模型。在這個過程中讓學(xué)生從問題入手或從已知條件入手分析題意，找出中間問題，都要讓學(xué)生通過寫一寫、畫一畫來梳理數(shù)量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。借助畫線段圖來直觀展現(xiàn)、輔助理解。枝形圖的畫圖、分析過程就是在建立模型的過程。

例如，教學(xué)關(guān)于“歸一”數(shù)量關(guān)系的問題解決：“媽媽買3個碗用了18元，如果買8個同樣的碗，需要多少元？”教學(xué)的重點是引導(dǎo)學(xué)生借助多種直觀圖的展示來分析數(shù)量關(guān)系，建立歸一問題的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)時，在學(xué)生閱讀審題，弄清題意后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題條件信息，提煉數(shù)量關(guān)系，并用不同方式簡明顯示，通過討論交流，引出以下四種分析策略模式：

此時，教師抓住時機引導(dǎo)學(xué)生對上面各種解題策略模式進行分析、比較、梳理、優(yōu)化，溝通各種方法之間的聯(lián)系：作品1用簡單的文字把重要的數(shù)學(xué)信息摘錄下來；作品2和作品3用簡單的圖形（小棒、圓形）清晰地表示數(shù)量關(guān)系；作品4用單價、數(shù)量、總錢數(shù)之間的關(guān)系求出1個碗的價錢和8個碗的總錢數(shù)。于是，教師把數(shù)學(xué)教材解題例法（作品3）貼到黑板上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖列式解答并說出算理：18÷3=6（元）是每個碗的價格，6×8=48（元）就是8個碗的總錢數(shù)。當(dāng)學(xué)生明白每一步的算理后，教師又追問：如果我要買20個碗共要多少錢呢？85個呢？100個呢？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量變了，總價也變了，但一個碗的價格始終不變。然后出示一道變式題：3個碗是18元，30元可以買多少個同樣的碗。有了前面的知識模型基礎(chǔ)，學(xué)生很快就列出算式，有的用分步計算18÷3=6（元），30÷6=5（個）；有的列綜合算式30÷（18÷3）=5（個），能運用小括號來計算的同學(xué)就已經(jīng)抓住了問題的關(guān)鍵：先求出單價，再用總錢數(shù)除以單價求出數(shù)量。當(dāng)學(xué)生建立了有關(guān)單價、總價、數(shù)量的關(guān)系模型后，教師再出示題組讓學(xué)生進行對比練習(xí):（1）小林讀一本書，4天讀了24頁，按這種速度，5天可以讀多少頁?（2）買5張同樣的書簽用了10元，20元可以買幾張?（3）同學(xué)們大掃除，2名同學(xué)擦8塊玻璃。教室共有28塊玻璃，一共需要多少名同學(xué)?……讓學(xué)生經(jīng)歷從“一個”到“一類”的問題的模型建構(gòu)，使學(xué)生深刻理解了解決歸一問題的模型意義，凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)，不僅積累了活動經(jīng)驗，而且培養(yǎng)了數(shù)學(xué)模型思想。

二、注重操作活動促建模，培養(yǎng)模型思想

課堂上，學(xué)生探究知識的重難點時，通過動手操作，并引導(dǎo)動口表述、動腦思考，經(jīng)歷知識的形成過程，這一過程就是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程。學(xué)生獲得的不僅是知識與技能，更是一種透過現(xiàn)象尋找本質(zhì)的認(rèn)識事物的方法。所以，教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生在操作活動中經(jīng)歷知識形成的三個環(huán)節(jié)：動作、語義表征相結(jié)合理清實際問題—轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題—進一步抽象化并建立數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)“植樹問題”時，為了找到植樹問題的知識原型，尋找知識生長點，上課一開始，教師先創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生探究興趣：同學(xué)們要在全長800米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵(兩端要栽)。一共需要多少棵樹苗?首先讓學(xué)生嘗試畫線段圖方法來體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在畫圖過程中“碰釘子”，感到800米畫起來有點長，要研究有點麻煩，此時，教師再拋出問題：有沒有辦法用一個更簡單的例子來進行分析推理呢？引出需要從5米、10米、15米……逐步研究起，以“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想出示兩道題讓學(xué)生自主探究，感悟兩端都栽的直觀模型：（1）全長5米（10米、15米、20米）的小路，平均每5米分一段，可以分幾段？（2）在全長5米（10米、15米、20米）的小路一邊植樹，每間隔5米種一棵，可以種幾棵？要求同學(xué)用自己喜歡的方法表示出想法：學(xué)生有的用小棒擺一擺；有的用線段圖畫一畫；有的列式算一算等方法進行研究。教師巡視時發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生用小棒5米5米的擺，擺到20米的模型是1 1 1 1 1，理解了間隔的含義；有的學(xué)生先畫出20米的線段再每5米種一棵，直觀圖的模樣是，初步感知全長與間隔數(shù)的關(guān)系；有的用包含除的數(shù)量關(guān)系求棵數(shù)：20÷5＝4（段），4+1=5（棵），初步感知間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。教師根據(jù)學(xué)生匯報的結(jié)果把答案填寫在表格里（如表格1），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，說說發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生在匯報交流中明白了：用除法算出來的商只是段數(shù)，而樹是種在“點”上的，植樹問題是把這個“段”叫做間隔。全長÷間隔長度＝段數(shù)，求植樹的棵數(shù)要用段數(shù)再加1。教師此時可以引發(fā)學(xué)生思考：“全長÷間隔長度＝段數(shù)”其實就是我們以前所學(xué)的“包含除法”的模型，也是除法關(guān)系式“總量÷每份數(shù)=份數(shù)”的模型。借用以前的數(shù)量關(guān)系式幫助學(xué)生探究出兩端都栽的植樹問題，通過動手操作讓學(xué)生理解了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)量關(guān)系式的由來，當(dāng)學(xué)生清楚了點與段之間的模型關(guān)系，就能順利完成課始創(chuàng)設(shè)的情境問題：800÷5=160(段)，160+1=161(棵)，培養(yǎng)了模型應(yīng)用意識。

表1　

有了前面基本植樹模型的建構(gòu)，教師再次拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究植樹問題的其它兩種情況:現(xiàn)實生活中，當(dāng)遇到公路一端有障礙物，或者兩端都有障礙物的現(xiàn)象，那又能植幾棵樹呢?讓學(xué)生利用剛才所學(xué)知識獨立探究。這時學(xué)生都能畫出直觀圖進行動作表征和語義表征，并匯報了自己的發(fā)現(xiàn):只栽一端時，5米長的路上每5米栽1棵，只有1段，能栽1棵；10米長的路上有兩段正好栽2棵；15米的路上能栽3棵，段數(shù)與棵數(shù)是對應(yīng)的，也就是只栽一端時，棵數(shù)與段數(shù)相等。還能很快理解兩端都不栽這種情況是棵數(shù)比段數(shù)少1。此時還可用列式的方法發(fā)現(xiàn)的，5÷5=1(段)，兩端就不能栽樹。10÷5=2(段)，2-1=1(棵)。15÷5=3(段)，3-1=2(棵)。……以此類推，兩端都不栽的時候是棵數(shù)比段數(shù)少1。當(dāng)學(xué)生對植樹問題的三種模型建構(gòu)完整時，模型的推廣運用解決實際問題的環(huán)節(jié)也是非常重要，教師可通過聯(lián)系生活中隱含著與植樹問題同樣的數(shù)量關(guān)系，例如排隊、栽花、剪跳繩、鋸木頭等問題，將數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實問題再次進行抽象、對比，有利培養(yǎng)學(xué)生模型思想。

三、加強實踐活動促建模，發(fā)展模型意識

學(xué)生通過躬行實踐，在思考、探究、求證、交流等數(shù)學(xué)活動中，把自己怎么想、怎么做，與小組內(nèi)同伴、班級的同學(xué)交流或者操作演示清楚；在實踐中獲得的體驗感受，實現(xiàn)從生活原型到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)變，從而明白知識的來龍去脈，抓住知識的根，促進知識的掌握和模型意識的培養(yǎng)。

例如，“相遇問題”中如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)量關(guān)系和問題背景的特點解決稍復(fù)雜的行程問題：兩輛汽車從相距455千米的兩地同時相向開出，甲車每小時行68千米，乙車每小時行62千米，經(jīng)過幾小時兩車相遇？因為學(xué)生在四年級已有了速度、時間、路程關(guān)系的知識基礎(chǔ)，在研究稍復(fù)雜的行程問題時就可以以“情境演示—抽取模型—解釋與應(yīng)用”來展開教學(xué)，讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)問題所具有的“模型”力量。首先，讓學(xué)生在自主探究中結(jié)合直觀演示，如：指名兩位同學(xué)上臺相向而行等，把行程中的時間、速度、路程的關(guān)系說明白，根據(jù)所列的算式遷移類推出新的有關(guān)行程問題的模型。匯報交流時，學(xué)生流露出不同的解題思維：①用列方程的方法，設(shè)相遇時間為x小時，則68x+62x＝455(如圖1)假設(shè)甲乙兩車同時從兩地出發(fā)走了x小時相遇（小紅旗位置是相遇點），那么甲車走的路程是68x，乙車走的路程是62x，再把兩車走的路程加起來就是兩地的全路程了。此時教師追問：為什么要把兩人走的路程加起來？讓學(xué)生在匯報交流中明確：因為兩車走了x小時相遇，同時出發(fā)速度快的路程走得多，它們都沒有走完全程，所以兩車行駛的路程加起來才是甲乙兩車走的全程。學(xué)生有的說：②用分步計算，68+62＝130（千米），455÷130＝3.5（小時），（如圖2）第1小時甲車走了68千米，乙車走了62千米，那它們1小時就共走了68+62＝130千米，那455千米里面有幾個130千米呢？這個幾就是兩車的相遇時間：綜合算式455÷（68+62）。68+62先求出1小時兩車走的速度，那總路程除以速度就能求出走的時間。

圖1　　

圖2　　

這時教師再追問：這個“速度”跟我們以前的“速度”一樣嗎？并結(jié)合課件演示理解“速度和”，這種開放式建模有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，突出數(shù)學(xué)思考，增強應(yīng)用意識。

這樣的教學(xué)因為有了讓學(xué)生親身參與課堂活動的機會，充分調(diào)動起學(xué)習(xí)潛能，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的價值功能獲得更全面、更深刻的理解，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能獲得長足發(fā)展。