路　杰

(宿州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,安徽 宿州　234101)

隨著分?jǐn)?shù)階微分方程自身相關(guān)理論的發(fā)展,研究表明用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)描述各種工程物理中現(xiàn)象更能反映這些真實(shí)系統(tǒng)所呈現(xiàn)的物理過程,隨著研究的深入,學(xué)者們采用數(shù)值模擬等方式發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)也存在混沌現(xiàn)象,如分?jǐn)?shù)階Chua電路系統(tǒng)[1],分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[2],分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[3],分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[4],分?jǐn)?shù)階超混沌Rossler系統(tǒng)[5], 分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)[6]等,由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)描述的混沌系統(tǒng)因其階數(shù)因素帶來的復(fù)雜性,與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比,在保密通信等領(lǐng)域具有更大的潛在應(yīng)用前景和價(jià)值.因而, 近幾年來,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步與控制受到越來越多學(xué)者們的密切關(guān)注,已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。相同步[7]、反向同步[8]、投影同步[9]以及脈沖同步[10]等各種同步類型相繼提出,以及實(shí)現(xiàn)這些同步而產(chǎn)生非線性控制[11],滑模控制[8-9],積極控制[12],自適應(yīng)控制[13]等控制策略,但這些控制策略[14]一方面控制成本過高,一方面在工程中不容易實(shí)現(xiàn).相比之下,線性反饋控制具有外在形式簡單,控制成本[15]低,易于實(shí)現(xiàn)等方面的優(yōu)勢(shì)而倍受青睞.利用線控制實(shí)現(xiàn)整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步[16-17].但利用線性反饋控制來研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的文獻(xiàn)相對(duì)較少[18-19]。

到目前為止,有關(guān)混沌系統(tǒng)同步研究報(bào)道,無論是整數(shù)階混沌系統(tǒng)還是分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)都集中在系統(tǒng)狀態(tài)同步,而事實(shí)上,由于外界的各種擾動(dòng)和不確定因素的影響,一般很難檢測(cè)到所有的狀態(tài)變量,尤其是在大型和復(fù)雜系統(tǒng)中,于是,Yang提出了Q-S同步的概念[20].這種類型的同步不需要狀態(tài)的同步,只要求主動(dòng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的觀測(cè)函數(shù)同步.近年來,學(xué)者們對(duì)整數(shù)階混沌系統(tǒng)的Q-S同步進(jìn)行研究并取得了一系列的結(jié)果[21-23].由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階微分系統(tǒng)之間存在著本質(zhì)差別,處理整階微分系統(tǒng)同步控制的有關(guān)結(jié)論和方法不能直接平移到分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng),因而,有關(guān)分?jǐn)?shù)階混沌同步控制的研究成果遠(yuǎn)沒有整數(shù)階情況的豐富,有待深入研究.到目前為止,有關(guān)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Q-S同步的結(jié)果較少。

綜上所述,本文以分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)為例,利用線性反饋控制的方法實(shí)現(xiàn)了在給定狀態(tài)觀測(cè)函數(shù)下分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的Q-S同步。

1　分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)Q-S同步概念

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是任意階的微積分,數(shù)學(xué)家們從不同的角度入手,給出了不同的定義,常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有Grumwald-Letnikov(GL)定義,Riemann-Liouville(RL)，Caputo(C)定義.后兩者的定義是對(duì)前兩者的改進(jìn),其中Riemann-Liouville定義適合理論分析,由于Caputo定義中初始值有明確的物理意義,在工程中的應(yīng)用較多。

下面給出分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)Q-S的概念:

考慮下面兩個(gè)具有分?jǐn)?shù)階α的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng):

(3)

(4)

其中，x,y∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,F,G:Rn→Rn為連續(xù)向量函數(shù),令連續(xù)光滑量函數(shù)Q(x(t))=(Q1(x(t)),Q2(x(t)),…,Qn(x(t)))T和S(y(t))=(S1(y(t)),S2(y(t)),…,Sn(y(t)))T

分別為系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)的可觀測(cè)變量函數(shù),U(x,y,t)為控制輸入。

定義1若存在控制器U(x,y,t)使得以任何初值(x(0),y(0)出發(fā)的系統(tǒng)(3)和(4)的所有軌道(x,y)都趨向M={(x(t),y(t))Qi(x(t))=Si(y(t)),i=1,2,…n}

即,{(x(t),y(t))Qi(x(t))=Si(y(t)),i=1,2,…n},

(5)

則稱系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)(3)與響應(yīng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(4)關(guān)于觀測(cè)函數(shù)(Q,S),Q-S同步。

2　分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)的Q-S同步

分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[4]:

其中，x1,x2,x3是狀態(tài)變量a,b,c,d,h是參數(shù),當(dāng)a=10,b=40,c=2.5,d=10,h=4,分?jǐn)?shù)階(α1,α2,α3)=(0.9,0.92,0.95)時(shí), 圖1展示混沌行為:

圖1　分?jǐn)?shù)階(α1,α2,α3)=(0.9,0.92,0.95)時(shí), 分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)的混沌吸引子

假設(shè)系統(tǒng)(6)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 響應(yīng)系統(tǒng)為

其中，u1,u2,u3為控制輸入.

在本文中假定驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)的(4)的觀測(cè)變量函數(shù)分別為:

和

設(shè)計(jì)線性反饋控制項(xiàng)為

并結(jié)合式(6),(7),(8)和(9),可以得到下面誤差方程:

其中，e1=x1+x2-y1-y2,e2=x2+x3-y2-y3,e3=x1+x3-y1-y3。

式(11)可以寫出矩陣形式

(12)

其中A=

目的就是要找到合適的反饋增益k1,k2,k3使得誤差系統(tǒng)(12)的系數(shù)矩陣的特征值在穩(wěn)定區(qū)域。令λ為矩陣A的任一特征值,則ε=(ε1,ε2,ε3)T為其相應(yīng)的特征向量,可得:

Aε=λε.

(13)

在上式兩邊同時(shí)共軛轉(zhuǎn)置H,

(14)

將式(13)左乘εH,式(14)右乘ε,再把所得結(jié)果相加有:

(15)

即

(16)

這里

由于混沌系統(tǒng)的有界性,則存在一個(gè)正常數(shù)L使得|x|

(17)

從式(17)可知,若矩陣P2為負(fù)定,則誤差系統(tǒng)(12)的系數(shù)矩陣的特征值λ滿足

即誤差系統(tǒng)(12)是漸漸穩(wěn)定的。

若反饋增益k1,k2,k3滿足下列不等式,則矩陣P2為負(fù)定

綜合以上分析,可以得到以下定理:

定理若反饋增益k1,k2,k3滿足式(18),驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)將關(guān)于觀測(cè)函數(shù)(8)和(9)Q-S同步于響應(yīng)系統(tǒng)(7)。

從上述分析過程中可知,我們對(duì)狀態(tài)方程中的每個(gè)狀態(tài)加了三個(gè)線性反饋控制項(xiàng)到達(dá)Q-S同步.事實(shí)上,對(duì)狀態(tài)方程里的兩個(gè)狀態(tài)實(shí)施線性反饋控制或單個(gè)狀態(tài)實(shí)施線性反饋控制均可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)Q-S同步于響應(yīng)系統(tǒng)(7),為此,我們給出了以下推論：

情形一:兩個(gè)線性反饋控制器

推論1若反饋增益k1,k2,k3滿足下列條件之一,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)將Q-S同步于響應(yīng)系統(tǒng)(7)。

情形二:單一的線性反饋控制器

推論2若反饋增益k1,k2,k3滿足下列條件之一,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)將Q-S同步于響應(yīng)系統(tǒng)(7)。

3　數(shù)值仿真

為驗(yàn)證上述分析結(jié)果,采取文獻(xiàn)提出的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)仿真算法進(jìn)行數(shù)值仿真[24].仿真中,系統(tǒng)參數(shù)選取a=10,b=40,c=2.5,d=10,h=4,分?jǐn)?shù)階α1=0.9,α2=0.92,α3=0.95.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)的初值分別選x1(0)=2,x2(0)=3,x3(0)=2和y1(0)=-3,y2(0)=-2,y3(0)=-4,根據(jù)定理,選取反饋增益k1=250,k2=25,k3=15.結(jié)果展示為圖2、圖3:

圖2　驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響動(dòng)系統(tǒng)(7)狀態(tài)同步響應(yīng)

圖3　驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響動(dòng)系統(tǒng)(7)誤差響應(yīng)

4　結(jié)論與討論

針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Q-S同步問題,通過線性控制的方法實(shí)現(xiàn)了在給定狀態(tài)觀測(cè)函數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)的Q-S同步,所使用的控制策略成本低,易于實(shí)現(xiàn)。同時(shí),也避免了部分現(xiàn)有文獻(xiàn)中使用線性化的方式處理帶來的誤差。本文所使用的方法和思路可以拓展到其他系統(tǒng)。