宋衛(wèi)東　方厚石

(1.連云港市贛榆區(qū)教研室222100； 2.江蘇省贛榆高級中學　222100)

倡導探究、合作的話題課改以來已經談了十多年了，但是如何落實到高中數(shù)學課堂，如何落實到具體教學中，一直是數(shù)學教學探索的方向.數(shù)學探究已經對數(shù)學教學產生了深遠的影響，不僅是教學形式的改變，更重要的是給學生提供了參與知識形成的過程.通過數(shù)學探究學生不僅獲得數(shù)學知識，還經歷了數(shù)學知識形成所必要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學分析和數(shù)學演繹，使得數(shù)學教學既有數(shù)學傳授又有數(shù)學發(fā)現(xiàn)，有利于學生學科素養(yǎng)的形成.數(shù)學探究符合時代對數(shù)學教育的要求，是數(shù)學教學革新的一件好事.近年來，數(shù)學課堂中的數(shù)學探究形形色色，不免會有些魚目混珠、低效無效的探究活動.如何進行有效的設計、組織和實施數(shù)學探究，是大家較關注的問題.本文，筆者以一節(jié)“直線點斜式方程”數(shù)學探究的設計、專家打磨和點評指導的經歷，與大家分享有效數(shù)學探究教學的經驗.

1　過程簡介

1.1　指明方向，引導探究

師：要確定一條直線需要哪些條件?

學生：兩點，一點與方向.

師：已知兩點A(2,3)，B(2,5)和一點A(2,3)和斜率k=3分別畫出直線.

學生動手實踐,畫出直線.

師：這兩個條件之間有沒有聯(lián)系?

本質是一樣的.

師：已知兩點A(2,3)，B(2,5)你能給出直線的代數(shù)表示嗎?

學生有的用y=kx+b，求不出來，有的畫圖寫出直線AB的代數(shù)表示x=2.

追問：為什么用y=kx+b表示不出來?

學生說不清楚.

師：這至少說明用y=kx+b表示直線是不全面的，所以我們有必要對直線的代數(shù)表示進行系統(tǒng)、全面的認識.

師：解析幾何是用代數(shù)來研究幾何，點的代數(shù)表示是什么?

學生：坐標(x,y).

追問：直線斜率的代數(shù)表示呢?

師：它們都用點的坐標表示.

問題1：直線是無數(shù)點構成的，那么直線的代數(shù)表示也應該朝點坐標上想，下面同學們思考、探究已知一點A(x1,y1)與斜率k和已知兩點A(x1,y1)和B(x2,y2)的直線的代數(shù)表示.

1.2 放手學生，發(fā)散探究

教師借助幾何畫板演示已知點A(x1,y1)和斜率k所確定的直線l上一動點(即任意點)P(x,y)在變化，引導學生觀察、尋找變中的不變.

師：很好！生1抓住變中不變的規(guī)律，用(＊)式表示直線有沒有什么問題?

生2：(＊)式需要限制x1≠x.

師：x1≠x和直線上任意點(x,y)是矛盾，(＊)式表示直線有問題，是不是就否定了?

生3：把(＊)式改成y-y1=k(x-x1)

(1)

師：行不行？

學生一番思考后，確定可以！

追問：已知兩點的情況呢？

學生想了想.

師：兩點確定直線與一點加方向確定直線本質是一樣的，生4得到的上式和(1)式一樣，還有沒有其他形式?

(2)

(x1-x2)(y-y1)=(y1-y2)(x-x1)

(3)

師：很好！這兩個代數(shù)式都是直線的重要代數(shù)表示，我們后面將深入學習.

生5：老師！我還發(fā)現(xiàn)一種關系，直線上任意點P在直線上運動時，點P橫坐標和縱坐標的變化都是按照定比發(fā)生的.

師：生5是從點P橫坐標和縱坐標各自變化規(guī)律思考，你為什么會這樣想?

師：很好！斜率定義就是用直線上縱橫坐標變化量刻畫的，你能給出橫坐標和縱坐標的各自變化的代數(shù)表示嗎？

追問：這個式子與(1)式有沒有聯(lián)系？

學生思考發(fā)現(xiàn)本質也是一樣的.

師：生5的發(fā)現(xiàn)是非常有意義，(4)式是直線的參數(shù)表達形式.

生6：老師！(4)式我還有不同的表示方式.

師：把你的想法說說看.

生6：當點A和斜率k定時，點P在直線上運動，點P縱橫坐標變化只跟AP的長度有關，所以，x=x1+APcosα，y=y1+APsinα.

師：漂亮！我們不妨把AP設為d，則

師：其實(4)式和(5)式我們在第一節(jié)中有一點和斜率畫直線時已經應用過了，只是沒有總結，生5和生6的思考非常有價值，他們超越了課本束縛，這是我們這節(jié)課的最有價值的發(fā)現(xiàn)之一，關于它們的學習將在選修部分還要重點研究.

1.3 回歸目標，總結探究

師：這節(jié)課我們圍繞直線的代數(shù)表達進行了探究、發(fā)現(xiàn)，課堂上，同學們沒有拘泥于課本的現(xiàn)有結論，而是基于原有認知，從已知一點與斜率和已知兩點兩個不同角度進行了認真地思考，積極地探究、發(fā)現(xiàn)，得出直線的五種代數(shù)表達形式，這五種形式各有優(yōu)點也各存不足，既有區(qū)別又有聯(lián)系，探究中我們發(fā)現(xiàn)其他形式都可以轉化為(1)式.接下來我們先從(1)式出發(fā)，探索直線方程的深層認識.

師：前面我們探究了直線l上每一點(包括點P)的坐標都滿足方程y-y1=k(x-x1)，反過來，方程y-y1=k(x-x1)的解為坐標的點都在直線l上嗎？

學生不語.

師：通過前面的學習，已知過一點A(x1,y1)與斜率k的直線的代數(shù)表達為y-y1=k(x-x1)，反過來，方程y-y1=k(x-x1)的解都在直線上，所以，我們把方程y-y1=k(x-x1)叫做直線的點斜式方程.

…

2　教學感悟

回顧這節(jié)課，雖然內容沒上完，但未完的是學生自己可以繼續(xù)探索的數(shù)學美景，學生已經掌握了研究方法和方向，根據(jù)這節(jié)課的探究，學生完全可以自主得到直線的其他方程，因此這節(jié)課引入也就結束了，未完就是完.回味這節(jié)課，筆者最深的體會——學生的發(fā)現(xiàn)探究.教學中如何設計、組織和實施有效的學生自主探究，筆者認為要做到三點：一是教師對教學內容的本質認識和理解要深刻；二是數(shù)學探究的實施教師要給學生指明探究方向，指導探究方法，江蘇省著名特級教師仇炳升老先生說過，導師的作用就是給學生指明探索方向，指導探索方法；三是數(shù)學探究課需要教師放手學生進行獨立思考、探索發(fā)現(xiàn)，把課堂的話語權交給學生，讓學生自己總結發(fā)現(xiàn).

2.1　數(shù)學探究需要教師深刻理解與把握教學內容的本質

直線的點斜式方程是直線方程的起始課，也是學習解析幾何的開始，所以對直線方程的本質認識和理解決定了本節(jié)課教學定位的高度和學生學習的深度.認識直線方程的本質必須研究清楚兩個問題：一是什么是直線方程；二是研究直線方程的方向與方法是什么，以及這些方向、方法對后面圓、橢圓、雙曲線和拋物線的方程的學習會有什么影響.這兩個問題一個是知識，一個是方法，研究這兩個問題，弄清這兩個問題，圍繞這兩個問題設計教學，組織學生學習，自然，課上起來就不會乏味.關于直線的方程我們必須要清楚方程研究直線上任意一點P(x,y)的縱橫坐標x,y之間的關系，有了點和斜率的代數(shù)表示，那么坐標是幾何代數(shù)表示的主要方式，這是解析幾何的本質，直線方程如此，曲線方程亦如此，教學中明白了這一點，我們也就不會把對直線方程的探究僅僅局限于一個點，一個內容，課堂自然就朝著發(fā)散，系統(tǒng)，整體的方向發(fā)展.教學中教師只有深刻理解教學內容的本質，才能抓住這個本質指明學生探究方向，指導學生探究方法，讓學生朝著這個方向想，沿著這個方向探，學生的思維自然就會活躍起來，學生就會發(fā)現(xiàn)，這樣的學習和探究自然是深刻的、有深度的.

2.2　數(shù)學探究需要教師為學生指明探究方向、指導探究方法

反思當前的數(shù)學探究教學，多數(shù)數(shù)學探究都過于淺顯，探究內容過于指向，或只局限于教材現(xiàn)有的結論，學生無需探究只需翻書即可，缺少一些探索性探究和發(fā)現(xiàn)性探究.也有一些數(shù)學探究由于探究方向不明確，以至于學生無從著手，

課堂也無法進行有效的數(shù)學探究活動.本節(jié)課，筆者從點的代數(shù)表示是坐標，斜率的代數(shù)表示也是坐標，引導學生把直線的代數(shù)表示也朝坐標上想，于是提出了：直線是無數(shù)點構成的，那么直線的代數(shù)表示也應該朝點坐標上想，下面同學們思考、探究已知一點A(x1,y1)與斜率k和已知兩點A(x1,y1)和B(x2,y2)的直線的代數(shù)表示.問題1的呈現(xiàn)十分自然，既不突兀，又符合學生的認知梯度，而且給學生的探究指明了方向，同時，學生進行探究中，筆者通過幾何畫板動態(tài)演示，指導學生進行深度思考和有效探索.教學中筆者沒有死板地照著教材，而是遵從學生的認知，放手學生從兩個角度同時進行直線的代數(shù)表示探索，這樣不完全受課本結論牽制，學生的思維得到激發(fā)與發(fā)散，學生根據(jù)教師的指導，沿著自己的思維進行深度的思考，才有了課堂豐富的探究結論，這些結論的發(fā)現(xiàn)正是數(shù)學探究最可貴的，最難的.

2.3　數(shù)學探究需要教師放手學生進行深度的探索與發(fā)現(xiàn)

數(shù)學探究能不能進行一些實質性的探索與發(fā)現(xiàn)不完全由教學設計的高度決定，還有學生的參與度和思考的深度.數(shù)學探究的實施要營造學生積極參與的氛圍，首先要了解學生對所學知識的認知水平，學生對直線的已有認知水平是兩點確定一條直線和一點加方向確定一條直線(這是第一課時內容).本節(jié)課的引入就是從學生熟悉的兩點和一點加方向出發(fā)，通過點和斜率的代數(shù)表示的回顧，引導學生探索直線的代數(shù)表示的方向，這樣的引導恰好抓住學生認知的最近發(fā)展區(qū)，為后面學生深度探究做好鋪墊.其次，深度的數(shù)學探究需要教師拋開教學任務束縛，放手學生去發(fā)現(xiàn)，給學生充分的探索時間和空間，把數(shù)學探究的主動權交給學生.數(shù)學探究的核心價值就是學生親自探索與發(fā)現(xiàn)的過程，這樣的過程對學生增長知識，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)有著不可估量的意義.直線的點斜式方程筆者教過不少遍，但是像這樣放手探究還是第一次，像這樣一節(jié)課給出五種直線的表示形式也是第一次，關鍵是都是學生給出的，這里有很多已經超出老師的預設和想象.筆者認為這樣探索與發(fā)現(xiàn)，學生不僅對直線方程能夠形成系統(tǒng)的認識，也為將來研究圓，圓錐曲線積淀思想與方法 ，這樣既能教會學生，又能教學生會學的數(shù)學探究我們何樂而不為.

2.4　數(shù)學探究需要教師引導學生對結論進行嚴謹分析與論證

數(shù)學探究一個正在興起的數(shù)學教學方式，大家積極探索和實踐是好事，但它更需要我們正確的認識、理解和把握，讓數(shù)學探究真正地引導學生進行有效探索與發(fā)現(xiàn)，讓學生在探究獲得發(fā)展，讓學生的數(shù)學素養(yǎng)在探究中逐漸形成.筆者撰寫此文既是一個數(shù)學探究教學，又是一個數(shù)學教學探究，希望它留給大家的不只是一個探究案例，探究經驗，更多的是探究啟發(fā).