2018年1月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2401在任意△ABC中，求證

(天津水運高級技工學校黃兆麟300456)

證明首先證明鏈中第一個不等式

又設(shè)鏈中第一個不等式左右之差為M1,則

顯然以上最后一式的三個單項均為非負項,故有M1≥0.即鏈中第一個不等式成立.

再證明鏈中第二個不等式

由鏈中第二個不等式的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,則有sinA≥sinB≥sinC,

又設(shè)鏈中第二個不等式左右之差為M2,那么

故鏈中第二個不等式成立.

以上證明過程用到了熟知的不等式

最后證明鏈中第三個不等式

由鏈中第三個不等式的全對稱性,

不妨設(shè)A≥B≥C,

且還有 1-2cosA≥0及1-2cosC≤0，

又設(shè)鏈中第三個不等式左右之差為M3,那么

故鏈中第三個不等式成立.

以上證明過程用到了熟知的不等式

至此命題不等式鏈全部獲證.

2402已知在△ABC中，∠C=150°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC延長線上的點D，邊BC延長線上的點E，使得AD=BE=AB，如圖所示．

求證：OI⊥DE，且OI=DE．

(北京市陳經(jīng)綸中學張留杰100020)

證明連結(jié)OB、BI，連結(jié)AI并延長，

與外接圓⊙O相交于點M，與BD相交于點N，

連結(jié)OM、BM，設(shè)OM與BC相交于點P．

因為I為△ABC的內(nèi)心，

所以∠MOB=∠BAC．

設(shè)外接圓⊙O的半徑為R，

在△ABC中，由正弦定理，得

AB=2Rsin150°=R，

從而AD=BE=AB=OM=OB=R，

所以△DAB?△MOB，所以BM=BD．

由三角形外心與內(nèi)心定理，

可得IM=BM，所以IM=BD．

又AI平分∠ABC，AD=AB，

故AN⊥BD，所以∠ANB=90°，

又∠MPB=90°，所以∠IMO=∠PBD=∠DBE，

所以△IMO?△DBE，所以IO=DE．

由∠OMI和∠EBD的兩邊分別垂直相等，又都是相等的銳角，通過旋轉(zhuǎn)90°和平行平移可使兩個三角形重合，故OI⊥DE．

2403在△ABC中，a、b、c，ta、tb、tc，R、r分別表示三邊長，內(nèi)角平分線長，外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑. 則有

(浙江湖州市雙林中學李建潮313012)

(即x=s-a，y=s-b，z=s-c)，

則y+z=a，z+x=b，x+y=c，x+y+z=s.

于是，由三角形內(nèi)角平分線長公式

得

同理

以上三式相加，得

與abc=4Rrs代入上式，有

試求f(O)+f(H)的所有可能取值.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

解如圖，因△ABC為銳角三角形，故內(nèi)心I，外心O和垂心H均在△ABC的內(nèi)部. 下面考察O，I，H分別對線段BC的張角，易知

∠BOC=2∠BAC，

∠BHC=180°-∠BAC.

注意到如下等價關(guān)系

∠BOC=∠BIC

進而考察O，H的分布情況，為此對區(qū)域進行如下合并：由區(qū)域4，5，6這三個區(qū)域合并而成的大區(qū)域記為Γ1，由區(qū)域6，3，2這三個區(qū)域合并而成的大區(qū)域記為Γ2，由區(qū)域2，1，4這三個區(qū)域合并而成的大區(qū)域記為Γ3.

假設(shè)O，H均不在任一圓弧上，

注意到如下等價關(guān)系

∠BOC<∠BIC

故知當O在區(qū)域Γ1內(nèi)時，H在區(qū)域Γ1外，同時，易知當O在區(qū)域Γ1外時，H在區(qū)域Γ1內(nèi). 總之，O，H兩點不同在Γ1內(nèi)，也不同在Γ1外. 同理，O，H與Γ2及O，H與Γ3也有類似如上的位置關(guān)系.

根據(jù)上述考察結(jié)果及f(P)的定義，可得

(i)當O，H同在某一圓弧上時，

f(O)+f(H)=0.

(ii)當O，H均不在任一圓弧上時，

若f(O)=1，則f(H)≠2,1,4(因O在Γ3內(nèi))，f(H)≠1,2,3(因O在Γ1外)，f(H)≠1,4,5(因O在Γ2外)，唯有f(H)=6，f(O)+f(H)=7；

若f(O)=2，則f(H)≠1,2,3，f(H)≠2,1,4，f(H)≠2,3,6，唯有f(H)=5，f(O)+f(H)=7；

若f(O)=j(j=3,4,5,6)，同理，唯有f(H)=7-j，f(O)+f(H)=7.

綜合(i)(ii)得f(O)+f(H)=0或7.

(安徽省太和縣第二小學任迪慧 236635)

證明由常見公式(其中Δ表示三角形面積)

同理rbrc=p(p-a),

rcra=p(p-b),

從而rarb+rbrc+rcra=p2,

2018年2月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2406在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC,CA,AB相切于D,E,F，AD與內(nèi)切圓O相交于點P，連接BP,CP.若∠BPC=90°，求證：AE+AP=PD.

(山東省滕州市第一中學 顏子皓 277500)

(浙江省溫州市洞頭區(qū)第二中學陳展325701)

2408如圖，AC是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，AC⊥BD，垂足為E．F在DA的延長線上，G在BA的延長線上，且BF∥DG，GF的延長線與DB的延長線相交于I．H在線段IF上，且H、B、E、F四點共圓，IC的延長線與GD的延長線相交于K．求證：IK⊥GK．

(河南省南陽市宛城區(qū)新店二中向中軍473113)

2409設(shè)△ABC中的三邊長分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院李永利467000)

2410如圖，O為△ABC內(nèi)一點，角A，B，C所對的邊為a,b,c，延長AO,BO,CO交△ABC的三邊和外接圓分別為D,E,F,A1,B1,C1，求證：

(安徽省安慶市岳西縣湯池中學蘇岳祥楊續(xù)亮246620)