盧　明

(浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué)　314300 )

2017年，浙江作為全國(guó)高考綜合改革試點(diǎn)省，首次實(shí)行數(shù)學(xué)文理合卷．面對(duì)全省25萬(wàn)報(bào)考類別不同的考生，要命制出一份既要照顧數(shù)學(xué)相對(duì)較弱的文科生、藝術(shù)類考生，又要控制理科尖子生的高分，還要兼顧高校選拔性考試的區(qū)分度，十分不易．高考下來(lái)，試卷的實(shí)踐效果怎樣呢？是否實(shí)現(xiàn)了命題預(yù)期？與前幾年的試卷相比有何不同？對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有何啟示？圍繞以上問題，筆者與大家分享自己的一些觀點(diǎn)，歡迎批評(píng)指正．

1　試卷概況

回顧整卷，今年的浙江數(shù)學(xué)試卷與前兩年相比有明顯不同，主要體現(xiàn)以下變化.

1.1　試卷結(jié)構(gòu)有所調(diào)整

今年的試卷結(jié)構(gòu)有所變化，總題量從20題增加至22題，主要增加選擇題，即從原來(lái)的8題變?yōu)?0題，分值從每題5分降至4分；填空題、解答題的題量和分值沒有變化；5道解答題均采用分步設(shè)問，除第22題分3步外，其余都是分2步．試卷結(jié)構(gòu)變化的目的是增加考生的得分機(jī)率，以適應(yīng)文理合卷的需要．

1.2　嘗試新的命題策略

實(shí)行文理合卷以后，過(guò)去文理分卷的命題策略不再適用，必須尋求新的策略．今年命題采用的策略是：“文科起點(diǎn)，理科終點(diǎn)，有效區(qū)分．”所謂“文科起點(diǎn)”就是“保底分”，如選擇題第1～3題和填空題第11、12題，起點(diǎn)較低，只要仔細(xì)做，一般都能做對(duì)；所謂“理科終點(diǎn)”就是“有效壓軸”，控制高分人數(shù)；所謂“有效區(qū)分”，就是通過(guò)增加中檔題和分步設(shè)問，讓不同水平的考生有不同的表現(xiàn)，滿足選拔需要．從閱卷信息反饋看，基本符合命題專家的預(yù)期．(見表1)

表12017年浙江高考數(shù)學(xué)平均分一覽表(含0分)

題型(次)省平均難度系數(shù)選擇題28.50.71填空題18.190.51第18題(三角函數(shù))10.90.78第19題(立體幾何)8.390.56第20題(導(dǎo)數(shù))5.440.36第21題(解析幾何)4.920.33第22題(數(shù)列)2.420.16卷面總分78.760.53

所謂“含0分”是浙江閱卷統(tǒng)計(jì)的一個(gè)口徑，即包含缺考情況的平均分．?dāng)?shù)據(jù)表明，填空題和立體幾何題的難度系數(shù)分別為0.51和0.56，說(shuō)明有很好的區(qū)分度；選擇題、導(dǎo)數(shù)題和解析幾何題的難度系數(shù)分別為0.71、0.36和0.33，說(shuō)明有較好的區(qū)分度；數(shù)列題的難度系數(shù)為0.16，說(shuō)明壓軸效果顯著．

1.3　減少了繁瑣的分類討論

“分類討論”是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想，它反映了一個(gè)人的思維品質(zhì)．如何考查分類討論思想？以往的考題設(shè)計(jì)往往將分類情況搞得過(guò)于復(fù)雜，把對(duì)思維品質(zhì)的考查變成了繁瑣的技能操作．事實(shí)上，一個(gè)考生是否具有分類討論的思維品質(zhì)，只需看他在面對(duì)不確定的因素時(shí)是否擁有分類討論的意識(shí)，能自覺地進(jìn)行分類討論，至于分二類、三類或更多類，本質(zhì)上沒有多大差異．今年的試題較好地處理了這個(gè)問題，需要進(jìn)行分類討論的試題為第16、17題，每題的最佳分類種數(shù)都只有2種．此外，往年的導(dǎo)數(shù)(函數(shù))解答題都需要進(jìn)行分類討論，今年的導(dǎo)數(shù)題不需要分類討論．

1.4　堅(jiān)守“風(fēng)格”穩(wěn)中有變

自2004年浙江高考自主命題以來(lái)，逐步形成了自己的命題風(fēng)格．如：小題小做，大題大做，分散壓軸等．所謂“小題小做”，即客觀題主要考查基本概念、基本運(yùn)算、基本方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用，不需要復(fù)雜運(yùn)算；所謂“大題大作”，即主觀題著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和思維的靈活性，有一定的計(jì)算量，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求；所謂“分散壓軸”，即選擇、填空的最后一題均為壓軸題，解答題的最后兩大題均有壓軸的成分，以分段“把關(guān)”．本卷基本延續(xù)了以往的“風(fēng)格”，但是，選擇題第10題、填空題第17題的難度較往年要低，第10題只要向量數(shù)量積的概念清晰，通過(guò)對(duì)圖形的觀察、估算和推理，即可得出結(jié)論，壓不了軸．解答題第19題第二問、第20題的難度顯著高于往年．

總之，今年的浙江數(shù)學(xué)試卷較好地貫徹了“文科起點(diǎn)、理科終點(diǎn)、有效區(qū)分”的命題策略，試題起點(diǎn)低、坡度緩、中檔題數(shù)量較多，區(qū)分度較好，突出創(chuàng)新性和選拔性．

2　主要亮點(diǎn)

今年的浙江數(shù)學(xué)卷整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、難度合理，對(duì)科學(xué)選人、深化課改，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提升核心素養(yǎng)，有積極的導(dǎo)向作用．概括起來(lái)主要有以下幾點(diǎn)：

2.1　敘述簡(jiǎn)捷，干練流暢

數(shù)學(xué)命題，“命題者都應(yīng)堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)‘兩點(diǎn)間線段最短’的思想——明了、簡(jiǎn)捷，不宜在題目的表述上作文字游戲——繞來(lái)繞去．”本卷的每一道題堅(jiān)持做到表述簡(jiǎn)捷、明了，不讓考生在讀題上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，不給考生在理解題意上造成太多的困難，不因試題表述不當(dāng)而產(chǎn)生歧義，讓考生看得明白，做得踏實(shí)．

2.2　滲透文化，弘揚(yáng)精神

教育部考試中心專家指出：“2017年新修訂的數(shù)學(xué)考試大綱提出了加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化考查的要求．”浙江數(shù)學(xué)命題專家認(rèn)真落實(shí)上述要求，如第11題，以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之如何創(chuàng)立、發(fā)展“割圓術(shù)”的歷史文化為背景，開了近幾年來(lái)浙江卷的先河，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想性、創(chuàng)造性、民族性和世界性，弘揚(yáng)了民族精神．

2.3　注重基礎(chǔ)，突出素養(yǎng)

本卷加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法的考查，試題的呈現(xiàn)和解答注重常規(guī)思路和基本方法．基礎(chǔ)題主要考查高中數(shù)學(xué)最基本的概念，中檔題一般在知識(shí)的交匯點(diǎn)處考查主干知識(shí)，較高難度題則需要數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)、學(xué)科素養(yǎng)高的考生才可能做好．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力．高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．本卷突出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，如：第8題，知識(shí)點(diǎn)為隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，專家通過(guò)改進(jìn)試題的表述方式來(lái)考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)．再如：

(第19題)如圖1，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．

圖1

(1)證明：CE∥平面PAB；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

本題在考查線面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理三大數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在解第(2)問時(shí)，直觀想象能力比較差的考生誤以為平面PAD⊥平面ABCD，導(dǎo)致直角坐標(biāo)系建錯(cuò)．事實(shí)上，平面PAD與平面ABCD成120°的二面角，建系前，首先要對(duì)該二面角的大小作出判斷，關(guān)鍵是要求出PB的長(zhǎng)度，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)∠PBC=90°．此處可以鑒別學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平．

本題的第一問為6分，第二問為9分，全省平均分為8.39(含0分)，難度系數(shù)為0.56，說(shuō)明本題的區(qū)分度很好．

解(2)：向量法

取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO，設(shè)PC=AD=2.

在直角三角形PAD中，

因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD.

又四邊形BCDO為正方形，所以BO⊥AD，

所以AD⊥面PBO，

因?yàn)锳D∥BC，

所以BC⊥面PBO，

所以BC⊥PB.

又PO=BO=1，

所以∠BOP=120°．

以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖1)，得

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則

設(shè)直線CE與平面PBC所成角為θ，

點(diǎn)評(píng)本題也可以用幾何法解，但添輔助線的過(guò)程非常復(fù)雜，空間想象能力弱的學(xué)生難以想到，相對(duì)而言，向量法要簡(jiǎn)單一些．本題對(duì)考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)有較高的要求．

2.4　質(zhì)樸無(wú)華，彰顯功力

本卷試題對(duì)考生來(lái)講，絕大多數(shù)背景熟悉，設(shè)問方式常規(guī)，解題方法基本，給人以“題在書外、根在書中”的感覺．如：

(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)；

題目指向明確，一目了然．第一問考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．許多考生求導(dǎo)時(shí)出錯(cuò)，表現(xiàn)出對(duì)根式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不夠熟練，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)較低．第二問是求f(x)在給定區(qū)間上的取值范圍，涉及到函數(shù)的單調(diào)性與最值，對(duì)運(yùn)算能力要求高，綜合性較強(qiáng)．本題全省平均為5.44分，難度系數(shù)為0.36，中等及以下學(xué)生上手困難，區(qū)分度較好．

再如：

圖2

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

本題考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．本題的解題思路、方法常規(guī)，避開了平時(shí)學(xué)生大量操練的“韋達(dá)定理+Δ”解題模式．第一問的解為第二問的求解提供了鋪墊和思維引導(dǎo)．然而，解第二問的關(guān)鍵是如何求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)、如何將|PA|·|PQ|轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，這需要有深厚的數(shù)學(xué)功底和優(yōu)良的思維品質(zhì)，包括解析幾何的思維方式、熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和戰(zhàn)勝困難的勇氣，正如考生所言：“題中到處有關(guān)卡，知道方向也算不到底．”

本題除了命題組提供的解法外還可以用向量法“秒殺”，即巧妙運(yùn)用向量的投影來(lái)求向量的數(shù)量積，具體解法如下：

因?yàn)锽Q⊥AP，

2.5　創(chuàng)新設(shè)計(jì)，入口寬泛

本卷許多試題給考生預(yù)留了多角度思維的空間，入口寬，解題途徑比較多．選擇的切入點(diǎn)不同，解題過(guò)程的簡(jiǎn)捷程度也不同，通過(guò)“耗時(shí)”差異可以區(qū)分考生的思維水平，充分體現(xiàn)以知識(shí)為載體、方法為依托、能力為導(dǎo)向的命題導(dǎo)向．如：

(第15題)已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是 .

解法一(轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃) 令x=|a+b|，y=|a-b|，則x,y∈[1,3]，等價(jià)于求x+y的最值．

因?yàn)閤2+y2=2a2+2b2=10．于是，

由圖3知(x+y)min=3+1=4，

圖3

解法二(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)) 設(shè)=θ∈[0,π]，則

換元 令4cosθ=t∈[-4,4]，

點(diǎn)評(píng)顯然，解法二的計(jì)算量明顯高于解法一．本題還可以有其它解法，這里不再一一贅述．

再如：

(第22題)已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*)．

證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，(1)0

(下面僅對(duì)第一問作解析)

解法一用數(shù)學(xué)歸納法證明xn>0.

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1>0，命題成立；

假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，xk>0成立，

則n=k+1時(shí)，若xk+1≤0，

則00；

綜上，對(duì)任意n∈N*，xn>0．

所以，xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1．

即當(dāng)n∈N*時(shí)，0

解法二易知對(duì)任意的x>-1，

有l(wèi)n(1+x)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等.

所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1

=2xn+1，(※)

所以xn+1與xn同號(hào)，由遞推知xn+1與x1同號(hào)，

因?yàn)閤1=1>0，故xn+1>0，

又由(※)得，xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，

所以0

點(diǎn)評(píng)解法一比較容易想到，難點(diǎn)在于反證法的應(yīng)用，因?yàn)槠綍r(shí)學(xué)生很少使用；解法二的思維品質(zhì)比較高，難點(diǎn)在于是否熟悉ln(1+x)≤x這個(gè)結(jié)論，并能熟練地運(yùn)用遞推思維和作差比較法．本題還可以用其它解法．

3　對(duì)教學(xué)的啟示

今年的浙江數(shù)學(xué)卷注重考查核心概念、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法，重通性通法，淡化技巧，不出偏題怪題，充分體現(xiàn)對(duì)“課標(biāo)”的執(zhí)行力，同時(shí)加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，對(duì)未來(lái)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的指導(dǎo)意義．

3.1　讀懂用好“課標(biāo)”，使教學(xué)更專業(yè)

教學(xué)是教師的專業(yè)實(shí)踐，這種專業(yè)性體現(xiàn)在通過(guò)專業(yè)方案的設(shè)計(jì)、實(shí)施與評(píng)估，以規(guī)范或指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，即促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)．方案(即教案)的專業(yè)性是教學(xué)專業(yè)性的前提，而基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》(即“課標(biāo)”)設(shè)計(jì)教案是實(shí)現(xiàn)方案專業(yè)的必要條件．《課程標(biāo)準(zhǔn)》是宏觀體現(xiàn)國(guó)家意志的、基于學(xué)科邏輯的育人目標(biāo)．然而，在平時(shí)的教學(xué)中，許多教師對(duì)“課標(biāo)”不夠重視，或?qū)Α罢n標(biāo)”有曲解，導(dǎo)致教學(xué)游離于“課標(biāo)”，使原本專業(yè)的教學(xué)變得隨意了，喪失了專業(yè)的權(quán)威，給旁人質(zhì)疑“教師”是專業(yè)人員留下了把柄．今年的浙江卷第22題第二問，曾經(jīng)有老師用“泰勒—麥克勞林”展開給出了漂亮的證明，于是，有老師提議今后教學(xué)應(yīng)該補(bǔ)充“泰勒展開”的內(nèi)容．事實(shí)上，命題組給出的解法根本不需要“泰勒展開”知識(shí)．假如只是為了獲得某種解題方法或技巧就隨意地補(bǔ)充課程內(nèi)容，是“課標(biāo)”意識(shí)淡薄的表現(xiàn)，會(huì)給學(xué)生造成過(guò)重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)．必須明確，“課標(biāo)”是教師教學(xué)依據(jù)的“法律”，依“法”施教是甄別教師教學(xué)是否“專業(yè)”的重要標(biāo)志．華東師范大學(xué)崔允漷教授指出：“‘教育目的’的具體化是《課程標(biāo)準(zhǔn)》，而《課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體化就是‘學(xué)習(xí)目標(biāo)’”換言之，《課程標(biāo)準(zhǔn)》是教師教學(xué)設(shè)計(jì)最重要的依據(jù)，惟有基于“課標(biāo)”教學(xué)，才能將育人目標(biāo)落地．

3.2　重視夯實(shí)基礎(chǔ)，落實(shí)分層要求

所謂“基礎(chǔ)”，是指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它是形成素養(yǎng)的基礎(chǔ)，脫離了“基礎(chǔ)”，何談素養(yǎng)？不要誤解，強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)了，再提“基礎(chǔ)”過(guò)時(shí)了．針對(duì)高考數(shù)學(xué)文理合卷，“文科起點(diǎn)，理科終點(diǎn)”將成為命題發(fā)展的必然趨勢(shì)．今年浙江的數(shù)學(xué)卷整卷難度系數(shù)(含0分)為0.53，表明有很好的區(qū)分度，試卷難度定位合理．對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)講，卷面上基礎(chǔ)題和中檔題是反映其數(shù)學(xué)水平的主要方面，所以，重視基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)教學(xué)必須遵循的原則．然而，文理合卷后壓軸題的難度并沒有降低，故分層教學(xué)顯得更為重要．讓有不同數(shù)學(xué)需求的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)差異學(xué)習(xí)；讓有不同數(shù)學(xué)興趣的學(xué)生學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)意義學(xué)習(xí)，使得不同層次的學(xué)生都學(xué)有所獲，各得其所，是分層教學(xué)追求的目標(biāo)，也是高校選拔人才對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的期望．

3.3　培育核心素養(yǎng)，提升發(fā)展后勁

人成功的基礎(chǔ)是：“知識(shí)+機(jī)遇+思維方法”．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了獲取必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和掌握必要的數(shù)學(xué)技能之外，更重要的是獲得基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界．2001年前，我國(guó)基礎(chǔ)教育強(qiáng)調(diào)落實(shí)“雙基”，之后的15年，提出了落實(shí)“三維目標(biāo)”，如今深化高中課程改革，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)和提高學(xué)生的核心素養(yǎng)．從“雙基”到“三維目標(biāo)”，其先進(jìn)性表現(xiàn)在從關(guān)注“知識(shí)與技能”轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生作為“人”的素質(zhì)，將育人目標(biāo)作為一種整體來(lái)認(rèn)知，但它還有不足，即只關(guān)注目標(biāo)的呈現(xiàn)方式，卻沒有明確目標(biāo)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵．核心素養(yǎng)概念的提出，是對(duì)“三維目標(biāo)”的進(jìn)一步發(fā)展，對(duì)學(xué)生受教育后習(xí)得素養(yǎng)的內(nèi)涵有了明確的表述，便于檢測(cè)與評(píng)價(jià)．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的．教師要與時(shí)俱進(jìn)，更新觀念，了解學(xué)生核心素養(yǎng)的習(xí)得規(guī)律、行為表現(xiàn)和檢測(cè)方法，嚴(yán)格基于“課標(biāo)”教學(xué)，讓學(xué)生通過(guò)“正確”的過(guò)程學(xué)習(xí)“正確”的知識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，改變記憶模仿、“刷題”等非數(shù)學(xué)的方法學(xué)數(shù)學(xué)的狀態(tài)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和學(xué)習(xí)力獲得提升，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)意義的增值．