金少搏，趙鳳霞，李紀峰

（鄭州大學 機械工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

隨著精密技術的精度不斷提高，溫度變化帶來的影響愈來愈大，甚至成為制約精度的決定因素，并使傳統(tǒng)的熱變形誤差理論失去作用[1]。近年來，文獻[2-5]中對軸類、孔類零件在均勻溫度場和非均勻溫度場下的熱變形規(guī)律進行了研究和探索。文獻[6]中以有限元為工具，研究了穩(wěn)態(tài)場下圓柱筒尺寸變化規(guī)律；文獻[7]中基于ANSYS對主軸熱變形進行了建模與預測分析；文獻[8]中對模塊化工具系統(tǒng)中非線性溫度下的主軸熱變形位移量進行了數(shù)學建模，并提出了補償模型。但以上研究大都針對孔軸零件進行熱變形研究，對球類、板類零件研究較少?；趶椥粤W和熱力學建立了典型零件形體的熱變形數(shù)學模型，基于ANSYS有限元分析軟件對典型零件形體的熱形誤差及其分布進行了仿真，并進行了實驗驗證，最后進行了實例應用分析。

2 典型零件形體的熱變形模型

圓柱孔類、軸類、板類、球類零件是機械結構中的典型的基本零件形體。以上典型零件形體為例，建立零件的熱變形數(shù)學模型。

2.1 圓柱軸類零件的熱變形模型

圖1 軸類零件示意圖Fig.1 The Shaft Parts Diagram

假設實心圓柱的半徑為R。彈性模量為E，泊松比為v，材料熱膨脹系數(shù)為α。圓柱處于溫度場T中，溫度T對稱于中心軸線，并與軸向坐標z無關。受溫度變化的圓柱所產生的應變包括兩部分，一部分是受熱后材料的熱膨脹引起的，另一部分是由應力引起的。

在圓柱上取微元進行分析，如圖1所示。設σr、σθ、σz分別是徑向、環(huán)向和軸向的應力分量，τθr、τθz、τrθ、τrz、τzθ、τzr為對應的剪應力。應力平衡方程為[9]：

式中：Xr、Yθ、Zz—r、θ、z方向每單位體積的體力。

因為考慮到軸對稱和沿軸向的均勻性，零件溫度變化僅為r的函數(shù)，τθr、τθz、τrθ、τrz、τzθ、τzr都是零。一般地，物體的重力是唯一的體力，在不考慮零件自身重力和殘余應力情況下，應力平衡方程可簡化為：

設 εr，εθ，εz分別是圓柱徑向、環(huán)向和軸向的實際應變，則由應力引起的應變?yōu)椋?/p>

首先假設圓柱兩端為自由端，溫度變化引起的軸向位移w=0，則 εz=0。由式（3）可得：

σz=v（σr+σθ）-αET （4）

代入式（3）得：

設ur是圓柱受熱后產生的徑向位移量，則有：

將式（4）、式（5）代入式（2）得：

對式（7）進行積分得：

將式（8）代入方程（6），再將所得結果代入式（5），得到：

式中：C1、C2—積分表達式常系數(shù)，須由邊界條件確定。

在r=0時，為使徑向位移在圓心為0，由式（8）可知，C2必須為0。在圓柱邊緣，當r=R時，假設曲面不受力，即σr=0，由式（9）可以求得其常系數(shù)

式（8）是假設軸向位移w=0得到的，實際中，溫度的變化也會產生軸向位移，使w≠0。為使w=0，需要在圓柱兩端施加滿足按式（4）分布的軸向力，使總的軸向力為0，所施加的軸向力也將產生徑向位移。因此，需要去掉由于軸向力影響而產生的徑向位移，式（8）變?yōu)椋?/p>

將 C1、C2、σz代入式（11），推得由于溫度變化所產生的圓柱徑向位移u′r為：

2.2 圓柱孔類零件的熱變形模型

假設圓柱孔類零件的內徑為R1，外徑為R2，內表面溫度為T2，外表面溫度為 T1。

由邊界條件知，在兩個半徑處σr=0，由式（9）可以求得C1、C2：

將C1、C2、σz代入式（10），得到圓柱孔零件由于溫度變化所產生的徑向位移為：

傳統(tǒng)的零件熱變形量計算公式為[10]：

Δd=d0αΔT（13）

很明顯，式（13）中，由于溫度變化引起的直徑變形量只與孔的內徑d0有關，與其他的幾何尺寸沒有關系，存在著很大的近似性，而式（12）則表明內徑變化量與孔型零件的內徑、外徑和材料的特性等參數(shù)有一定的函數(shù)關系。

2.3 板類零件的熱力學模型

假設矩形板類零件的長度為L，寬度為W，厚度為H，上表面溫度為T2，下表面為T1。以該板的幾何中心為原點，建立坐標系，如圖2所示。

圖2 板類零件的坐標系圖Fig.2 The Coordinate System Diagram of the Plate Parts

根據(jù)零件的結構特征，可得高度z處的溫度分布函數(shù)為：

2.4 球類零件的熱力學模型

設實心球零件的半徑為R，表面溫度為T0，由于內外溫度差比較小，可以看做等溫體處理，即溫度T=T0，其熱變形方程為[12]：

對于空心球類零件，設內徑為r1，外徑為r2，內表面溫度為T1，外表面溫度為T0，根據(jù)空心球類零件的結構特征，可得出其相對于r的溫度分布函數(shù)：

得到空心球零件的徑向位移為：

注：限于篇幅，球類、板類零件熱變形模型不再詳細推導。

3 實驗驗證及應用分析

3.1 實驗驗證

現(xiàn)采用ANASYS軟件對圓柱孔和軸類、板類零件進行熱變形仿真，并利用中原精密儀器公司生產的Z600高精度檢測儀器，對實際零件進行了熱變形實驗測量，實驗裝置，如圖3所示。其檢測精確度為1μm。

圖3 實驗裝置圖Fig．3 The Figures of Experiment Installing

圖4 直徑為50mm的圓柱軸在100℃的熱變形云圖Fig．4 The Hot Deformation Nephogram of Cylindrical Shaft with a Diameter 50mm at 100℃

該試驗件材料均為45#鋼，線膨脹系數(shù)α=12×10-6/℃，彈性模量 E 為 206GPa，泊松比 v=0．3，標準室溫為 20°C，工作溫度范圍（30～100）°C，以 10°C 為間隔進行仿真，從而得到不同溫度下圓柱孔和軸的熱變形云圖。典型零件的熱變形云圖，如圖4～圖6所示。分別記錄不同溫度下的最大變形量，結果如表1～表3所示。同時用上節(jié)所得到的熱力學模型計算熱變形量的理論值，如表1～表3所示。最后將實驗測量實驗數(shù)據(jù)也記錄在表中。

圖5 內徑為50mm外徑為100mm的圓筒在內表面溫度為90℃的熱變形云圖Fig．5 The Hot Deformation Nephogram of the Hole with Inner Diameter 50mm and Outer Diameter 100mm，the Surface Temperature at 90℃

圖6 長為50mm，寬為40mm，高為30mm的板在上表面溫度100°C的熱變形仿真圖Fig．6 The Hot Deformation Nephogram of the Plate with Length 50mm，Witdth 40mm，Height 30mm at 100℃

表1 直徑為50mm長度為100mm的軸零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.1 The Radial Deformation of Shaft with a Diameter of 50mm，Length of 100mm at Different Temperature（μm）

表2 內徑為50mm外徑為70mm長度為150mm的孔零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.2 The Radial Deformation Value of the Hole with a Inner Diameter 50mm，and Outer Diameter 70mm，and Length 150mm at Different Temperature（μm）

分析以上表中數(shù)據(jù)可知，測量值與理論值、仿真值非常接近，驗證了模型的可靠性以及有限元仿真的正確性。但是理論值與實際測量值還是產生了（0．1～1）mm的偏差，經分析，主要存在于三點：首先是測量器具與溫度計的自身誤差，其次由于測量過程中工件溫度降的過快，讀取的值有稍微的滯后性，再者就是讀取誤差。限于篇幅，其他測量數(shù)據(jù)不再詳述。對典型零件形體的熱變形仿真提供了零件形體的變形分布狀況，模型為設計者考慮熱變形提供了參考。

表3 長為50mm，寬為40mm，高為30mm的板的板類零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.3 The Radial Deformation Value of The Plate with Length 50mm，Witdth 40mm，Height 30mm at Different Temperature（μm）

3.2 熱變形模型應用分析

隨著溫度的增加，零件的變形量增大。尤其是對于孔軸裝配體，由以上實驗數(shù)據(jù)可以看出，在溫度較低時，孔與軸的變形量基本相同，因此在低溫時孔和軸不會因溫度變化影響其配合性質，但在溫度較高時，孔與軸的變形量差異較大，且軸的變形量較大，因此在設計孔與軸的配合時，應考慮熱變形的影響，將孔和軸的配合精度控制在一定范圍內。

以鋁制活塞與鋼制缸體的裝配體為例，配合公稱尺寸為φ150mm，缸體外徑為 φ180mm，要求工作間隙為（0.1～0.3）mm；缸體工作溫度tH=110℃；活塞工作溫度ts=180℃，線膨脹系數(shù)αs=24×10-6/℃，彈性模量 Es=70GPa，泊松比 v=0.26。

采用傳統(tǒng)的熱變形公式，由熱變形引起的間隙變化量為：

采用所給的熱變形公式，熱變形所引起的間隙變化量為：

由式（11）和式（12）分別計算得到uH=0.056mm和us=0.288mm，得到Δ=-0.464mm。

其裝配熱變形分布，如圖7所示?？梢姛嶙冃握`差將使得以孔軸配合為典型裝配的工作間隙減小。因此，在設計之初就將溫度變化對零件的影響考慮進去，設計時在配合偏差上疊加一個補償量，來抵消零件因溫度變化而帶來的熱變形量，以此為依據(jù)可對配合結構進行最佳熱配合設計。

圖7 活塞與缸體配合的熱變形云圖Fig.7 The Hot Deformation Cloud Figure of the Fit of Piston and Cylinder Block

4 結論

熱應力所產生的變形量在總熱變形量中占有一定的比例，在精度要求高的情況下更不能被忽視。（1）基于彈性力學和熱力學建立了圓柱軸和孔類、板類、球類零件形體受溫度變化時的熱變形誤差模型，該模型考慮了熱應力對熱變形的影響，相對于傳統(tǒng)計算方法更加合理。（2）采用ANASYS有限元分析軟件對典型零件形體的熱變形誤差及其分布進行了仿真，并以實驗驗證了仿真及熱變形模型的正確性。得到了孔和軸隨溫度變化的熱變形規(guī)律，為合理進行零件的公差與配合設計提供了理論依據(jù)。