遼寧 鄭 金

對(duì)于兩個(gè)同心圓軌道上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的追及相遇問題，在求周期與半徑的關(guān)系時(shí)，既可應(yīng)用開普勒第三定律列方程，也可應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律列方程，兩種方法是統(tǒng)一的，需靈活選用。雖然在有關(guān)追及相遇的各種問題中給出的物理量以及待求的物理量有所不同，但一般化的解答方法比較相似，注意靈活利用特殊方法，可使這類問題迎刃而解。下面針對(duì)兩個(gè)天體沿相同方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)追及相遇問題所求物理量的不同按4種情況進(jìn)行分類解析。

一、求再次相距最近或最遠(yuǎn)時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間

如果兩個(gè)行星開始距離最近即相遇，若求何時(shí)再次相遇，則可選擇其中運(yùn)動(dòng)較慢的物體為參照物，視為靜止不動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)較快的物體比運(yùn)動(dòng)較慢的物體多轉(zhuǎn)1周，即多轉(zhuǎn)過2π角度時(shí)，再次相遇；若求何時(shí)二者距離最遠(yuǎn)，那么運(yùn)動(dòng)較快的物體比運(yùn)動(dòng)較慢的物體多轉(zhuǎn)整數(shù)周再加上半周，或者說多轉(zhuǎn)過的角度為2kπ+π(k為整數(shù))時(shí)，二者相距最遠(yuǎn)。兩種情況可分別列出方程(ω1-ω2)t=2π或(ω1-ω2)t=2kπ+π，即可求出時(shí)間。

【例1】如圖1所示，假設(shè)A、B兩個(gè)行星軌道半徑之比為r1∶r2=1∶3，已知A的周期為T1，某時(shí)刻二者位于過圓心的同一半徑上，即相距最近，問何時(shí)再次相距最近？

【點(diǎn)評(píng)】解題思路是由開普勒第三定律求出周期之比，利用相對(duì)角速度法列出方程，即可求出時(shí)間。

【拓展】如果二者多次相距最近，那么相距最近時(shí)能否出現(xiàn)于原來的位置？

【點(diǎn)評(píng)】如果再次相距最近時(shí)兩個(gè)行星轉(zhuǎn)過的圈數(shù)都是整數(shù)，則二者同時(shí)出現(xiàn)于原來的位置，這是一種非常特殊的相遇情形，在自然情況下難以實(shí)現(xiàn)。

【例2】某衛(wèi)星在地球赤道上空運(yùn)行，軌道平面與赤道平面重合，軌道半徑為r，運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。設(shè)地球的自轉(zhuǎn)的角速度為ω0，半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，在某時(shí)刻該衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，那么到它下次通過該建筑物的正上方經(jīng)歷的時(shí)間可能為 ( )

【解析】對(duì)某衛(wèi)星由萬有引力提供向心力有

考慮到衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度的大小關(guān)系，需進(jìn)行討論，可分為如下三種情形:

(1)若某衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，則它始終位于建筑物的上方。該題不屬于這種情況，沒有符合的選項(xiàng)。

【點(diǎn)評(píng)】該題屬于地球一般衛(wèi)星與地球表面上的某一物體的追及相遇問題，等效于地球一般衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星的追及相遇問題。需首先求出地球一般衛(wèi)星角速度的關(guān)系式，再根據(jù)其運(yùn)行高度的可能性來確定地球一般衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度的大小關(guān)系，分別列方程求時(shí)間。

二、求相距最近或最遠(yuǎn)時(shí)某星轉(zhuǎn)過的周數(shù)

圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為周期的個(gè)數(shù)，即為圓周運(yùn)動(dòng)的周數(shù)。有兩種方法可用，其一是把兩個(gè)衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的角速度與周期的關(guān)系式分別代入方程(ω1-ω2)t=2π，結(jié)合開普勒第三定律，即可求出周數(shù)；其二是應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律列方程求出周期，再用運(yùn)動(dòng)時(shí)間和周期之比求周數(shù)。

【例3】?jī)深w地球衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)做同向勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑為R，A衛(wèi)星離地面高度為0.5R，B衛(wèi)星離地面高度為5R，若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面某點(diǎn)的正上方，求衛(wèi)星B經(jīng)過多少個(gè)周期時(shí)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？

【解析】某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)的正上方，表示此時(shí)相距最近。設(shè)B衛(wèi)星經(jīng)過n個(gè)周期時(shí)兩衛(wèi)星與地心共線，分別位于地球的兩側(cè)，由于二者做同向勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則A比B多轉(zhuǎn)過的角度為

(ωA-ωB)t=2kπ+π

【解析】由于c是地球同步衛(wèi)星，在某一時(shí)刻剛好位于a的正上方，則以后永遠(yuǎn)在a的正上方，可知A項(xiàng)錯(cuò)誤。該題主要是判斷衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過幾圈，即在48 h時(shí)間內(nèi)，地球自轉(zhuǎn)2周，需判斷衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過多少，已知運(yùn)動(dòng)時(shí)間，應(yīng)先求出周期。由萬有引力定律和向心力公式有

可知在48 h的時(shí)間內(nèi)，b轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

即經(jīng)過48 h后b的位置相當(dāng)于從初始位置轉(zhuǎn)過 0.64圈時(shí)的位置，由圖可知B項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵根據(jù)萬有引力提供向心力列方程，定量計(jì)算衛(wèi)星b做圓周運(yùn)動(dòng)的周期的具體數(shù)值，以便計(jì)算其轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，但不一定是整數(shù)。該題所反映的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是：開始時(shí)三者共線，后來三者不一定共線，需進(jìn)行判斷。如果求相遇的次數(shù)，則經(jīng)過48 h，衛(wèi)星c轉(zhuǎn)過兩周，衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過8.64周，可知衛(wèi)星b比衛(wèi)星c多轉(zhuǎn)過6.64周，則相遇6次。

三、求一定時(shí)間內(nèi)相距最近即相遇的次數(shù)

【例5】假設(shè)有一載人宇宙飛船在距離地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球同步衛(wèi)星到地面的高度約為36 000 km，宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)二者相距最近時(shí)，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)，然后再由同步衛(wèi)星將信號(hào)發(fā)送到地面接收站，某時(shí)刻二者相距最遠(yuǎn)，從此刻開始，在一晝夜的時(shí)間內(nèi)，接收站共接收到信號(hào)的次數(shù)為 ( )

A.4次 B.6次

C.7次 D.8次

四、利用一定時(shí)間內(nèi)相遇次數(shù)求公轉(zhuǎn)周期

如果兩個(gè)行星開始距離最近即相遇，若已知二者在一定時(shí)間內(nèi)相遇的次數(shù)n，則運(yùn)動(dòng)較快的行星比運(yùn)動(dòng)較慢的行星多轉(zhuǎn)n周，即多轉(zhuǎn)過2nπ的角度，由此列方程可求出兩個(gè)行星的周期關(guān)系，再應(yīng)用開普勒第三定律還可求出二者運(yùn)動(dòng)軌道的半徑之比。

【例6】某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會(huì)運(yùn)行到日地連線的延長(zhǎng)線上，如圖4所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為 ( )