劉慧慧，梁占平

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006)

本文研究(2,p)-Laplace方程

(1)

我們稱u是方程(1)的解，如果u滿足

進(jìn)一步，稱u是方程(1)的正解。如果u是方程(1)的解，u≠0，并且u≥0對(duì)x∈Ω成立，令

(2)

近年來(lái)，許多學(xué)者用變分方法深入研究過(guò)方程(1)以及類似問(wèn)題(如(p,q)-Laplace方程解的存在性)，也得到許多比較好的結(jié)果。為了得到解的存在性，大多數(shù)文獻(xiàn)都需要討論類似J的泛函的緊性條件[3-9]。

本文主要分為兩個(gè)部分：第一部分主要說(shuō)明J的緊性條件；第二部分利用J的緊性條件得到方程(1)的正解。為方便起見(jiàn)，固定一些符號(hào)：對(duì)所有t∈R，t±=max(±t,0)；|·|r表示Lr(Ω)，r∈[1,∞)中的范數(shù)；‖·‖*表示W(wǎng)-1,p'(Ω)中的范數(shù)；ci(i=1,2,…),C以及Cε表示不同的正常數(shù)。

1 主要結(jié)果

(1+‖un‖p)J'(un)→0，

1)f∶Ω×R→R是Carathéodory函數(shù)，且f(x,0)=0對(duì)幾乎處處的x∈Ω成立。

2) |f(x,t)|≤α(x)(1+|t|p-1)對(duì)幾乎處處的x∈Ω，所有的t∈R成立；其中，α∈L∞(Ω)且α(x)>0對(duì)幾乎處處的x∈Ω成立。

(3)

4) 存在函數(shù)η∈L∞(Ω)，且η(x)>0對(duì)幾乎處處的x∈Ω成立，使得μ1≤η(x)對(duì)幾乎處處的x∈Ω成立，μ1≠η，且

5)tf(x,t)-pF(x,t)≥0對(duì)幾乎處處的x∈Ω，所有的t≤0成立，且f(x,·)滿足對(duì)每一個(gè)緊集K?[0,∞]，都可以找到ξK>0，使當(dāng)t1>t2時(shí)，有

f(x,t1)-f(x,t2)≥-ξK(t1-t2) ，

對(duì)幾乎處處的x∈Ω，所有的t1,t2∈K成立。

文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)f次臨界，在∞附近(p-1)-超線性，在-∞附近(p-1)-次線性時(shí)，J滿足C-條件。在文獻(xiàn)[9]中，若f次臨界且存在C>0，使得

本文研究當(dāng)f滿足下列條件(H)時(shí)，J的緊性條件。

(H) 對(duì)a1，a2<∞，極限

用∑p表示帶有Dirichlet邊界的p-Laplace算子的Fucik譜。具體地說(shuō)，集合∑p表示使得

有非平凡解的(a,d)∈R2的全體。這里，u±=max{±u,0}.由文獻(xiàn)[10]易知，若(a,d)∈∑p且a,d≠μ1，則a>μ1且d>μ1.其他Fucik譜的相關(guān)性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)[10-11]及其參考文獻(xiàn)。

定理1 假設(shè)(H)成立，若(a1,a2)?∑p，則J滿足PS-條件。

定理1很好地描述了在f滿足一個(gè)較弱的條件下，J仍具有緊性條件。此結(jié)論對(duì)于方程(1)解的存在性有著廣泛的應(yīng)用。本文將利用定理1來(lái)獲得在f滿足下列經(jīng)典條件時(shí)，方程(1)正解的存在性。

(H1) 存在l0,l∞<∞，使得

令

(4)

定理2 假設(shè)(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，或l0<λ1且l∞>μ1，則方程(1)有一個(gè)正解。

在文獻(xiàn)[4]中，在l∞<μ1的假設(shè)下，作者利用拓?fù)涠壤碚摰玫搅朔匠?1)非負(fù)解的存在性，但是他們沒(méi)有討論l0>λ1且l∞<μ1這種情況下方程(1)正解的存在性。本文根據(jù)定理1，給出在l0>λ1且l∞<μ1這種情況下方程(1)正解的存在性的一個(gè)證明。文獻(xiàn)[12]證明了當(dāng)l0<λ1且l∞>μ1時(shí)方程(1)有一個(gè)正解。本文利用定理1也可得到上述結(jié)論，并且證明過(guò)程與方法更加簡(jiǎn)便。

2 定理1的證明

本節(jié)主要證明定理1.首先證明下面的引理1和引理2.

證明由于其證明過(guò)程類似于文獻(xiàn)[12]中的引理5，我們只對(duì)它進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的敘述。

|f(x,t)|≤c1(1+|t|p-1)，(x,t)∈Ω×R.

根據(jù)H?lder不等式和Sobolev嵌入定理可得：

(5)

類似地，有

(6)

眾所周知，

故由(5)和(6)得：

(7)

以下結(jié)論可參考文獻(xiàn)[13].為了讀者方便，在此給出其證明。

引理2 假設(shè)(a1,a2)?∑p，則存在C>0，使得

(8)

(9)

(10)

在(10)中對(duì)所有n取w=vn-v0，則有

從而有

又(a1,a2)?∑p，從而v0=0.這與‖v0‖p=1矛盾。

下面，利用引理1和引理2，我們給出定理1的證明。

由(H)知，對(duì)任意的ε>0充分小，存在常數(shù)Cε>0，使得

|g(x,t)|≤ε|t|p-1+Cε,(x,t)∈Ω×R.

(11)

由引理2，J'(un)→0及式(11)知，對(duì)所有n有

(12)

3 定理2的證明

本節(jié)利用定理1，分兩部分來(lái)證明定理2，即下列引理3和引理4.

引理3 假設(shè)(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，則方程(1)有一個(gè)正解。

證明由(H0)、(H1)及l(fā)∞<μ1知，對(duì)ε∈(0,μ1-l∞)，存在Cε>0，使得

f(x,t)≤(μ1-ε)tp-1+Cε,(x,t)∈Ω×R+.

(13)

則由(3)和(13)得:

因此J下有界。

另一方面，由(H0)及l(fā)0>λ1可知，對(duì)ε∈(0,l0-λ1)，存在δ>0，使得

(14)

取定φ1≥0且‖φ1‖2=1是λ1所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。則對(duì)s>0充分小，由(14)可得

從而J有負(fù)的下確界。

引理4 假設(shè)(H0)和(H1)成立，若l0<λ1且l∞>μ1，則方程(1)有一個(gè)正解。

(15)

由(H0)、(H1)及l(fā)∞>μ1，存在ε∈(0,l∞-μ1)和Cε>0,使得

(16)

取定φ1≥0且‖φ1‖p=1為μ1所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，則由(3)和(16)得:

定理2的證明結(jié)合引理3和引理4即證。