周華森，楊曉翔，2*

（1.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350116；2.泉州師范學(xué)院，福建 泉州 362000）

為了精確地表征橡膠材料的力學(xué)性能，需要進(jìn)行多種準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)，包括單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸試驗(yàn)等[1-2]。相比于單軸拉伸試驗(yàn)，等雙軸拉伸試驗(yàn)沒有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)測試方法，研究人員采用了多種不同的試驗(yàn)方法[3-7]來獲得橡膠材料的等雙軸應(yīng)力狀態(tài)，其中通過十字形試樣來進(jìn)行平面雙軸拉伸試驗(yàn)是目前研究的熱點(diǎn)。該方法通過雙軸拉伸試驗(yàn)機(jī)直接對十字形試樣完成復(fù)雜加載，使試樣的中心測試區(qū)呈現(xiàn)等雙軸應(yīng)力狀態(tài)，最終得到其名義應(yīng)力-拉伸比關(guān)系曲線。

十字形試樣的設(shè)計(jì)與優(yōu)化是雙軸拉伸試驗(yàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，需針對不同的材料設(shè)計(jì)不同形狀的十字形試樣。Y.Hanabusa等[8]基于T.Kuwabara等[9]設(shè)計(jì)了臂上開縫型十字金屬試樣，采用有限元方法分析了試樣的厚度、縫的數(shù)量、長度、寬度和倒角半徑對中心測試區(qū)應(yīng)力分布均勻性的影響，并結(jié)合雙軸拉伸試驗(yàn)驗(yàn)證了有限元分析結(jié)果的可靠性。蔡登安等[10]基于雙軸拉伸載荷下復(fù)合材料十字形試樣的設(shè)計(jì)特點(diǎn)，對比分析了不同幾何形狀的十字形試樣在不同厚度比和載荷比條件下中心測試區(qū)應(yīng)力集中系數(shù)和承力系數(shù)的變化規(guī)律，并進(jìn)行了不同載荷比的雙軸拉伸試驗(yàn)驗(yàn)證。A.Makris等[11]通過有限元參數(shù)化建模與數(shù)值優(yōu)化方法相結(jié)合對復(fù)合材料十字形試樣的幾何形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的試樣中心區(qū)應(yīng)變場均勻性得到明顯提高。

本工作針對橡膠材料的等雙軸拉伸試驗(yàn)，設(shè)計(jì)了4種不同形狀的十字形試樣，并通過Abaqus有限元軟件進(jìn)行仿真分析和比較，為橡膠等雙軸拉伸試驗(yàn)提供參考。

1 超彈性本構(gòu)理論

1.1 基礎(chǔ)理論

橡膠是一種超彈性材料，當(dāng)經(jīng)歷大變形時(shí)其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特征?；谶B續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，一般認(rèn)為橡膠材料是各向同性不可壓縮的彈性體，它的本構(gòu)關(guān)系可以通過3個(gè)主拉伸比的應(yīng)變能密度函數(shù)（W）來表示[12]：

式中，λ1，λ2，λ3為3個(gè)方向的拉伸比?；诓豢蓧嚎s條件（λ1λ2λ3＝1），只有兩個(gè)方向上的主拉伸比是相互獨(dú)立的，則應(yīng)變能密度函數(shù)又可表示為

R.W.Ogden[13]給出了與主拉伸比相對應(yīng)的Cauchy主應(yīng)力（σ）的表達(dá)式：

式中，p為靜水壓力，根據(jù)上式兩兩相減可消去，即

對于平面內(nèi)的拉伸試驗(yàn)，垂直于平面方向的應(yīng)力為0，即σ3＝0，代入式（4）和（5）可得：

根據(jù)名義應(yīng)力Si＝σi/λi可得到名義應(yīng)力與拉伸比的關(guān)系式為

對于理想狀態(tài)下的等雙軸拉伸試驗(yàn)

則式（2）的應(yīng)變能密度函數(shù)又可以表示為

于是等雙軸拉伸狀態(tài)下名義應(yīng)力（S）與拉伸比的關(guān)系式為

1.2 Ogden模型

Ogden模型是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的超彈性本構(gòu)模型之一，其應(yīng)變能密度函數(shù)形式為[13]：

式中，μi和αi為材料常數(shù)，階數(shù)N可根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整?？梢奜gden模型具有很大的靈活性，目前使用最多的是Ogden三階模型。試驗(yàn)的種類越多，使用Ogden模型擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，通過式（10）即可得到Ogden模型在等雙軸載荷作用下的名義應(yīng)力-主拉伸比關(guān)系式為

2 有限元模型的建立

2.1 等雙軸拉伸試驗(yàn)方法

在實(shí)際的等雙軸拉伸試驗(yàn)中，通過4個(gè)相同的夾具夾持住十字形試樣每個(gè)臂的末端，設(shè)置相同的拉伸速率來實(shí)現(xiàn)對4個(gè)臂的同步加載，在試樣的中心區(qū)域可以呈現(xiàn)出近似的等雙軸變形狀態(tài)，如圖1所示。中心區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變的分布是相對均勻的。為了得到橡膠材料的名義應(yīng)變數(shù)據(jù)，通常在試樣表面的中心標(biāo)記出一個(gè)正方形區(qū)域作為中心測試區(qū)，采用非接觸式測量方法即可獲得該區(qū)域的拉伸比數(shù)據(jù)[14]，計(jì)算公式如下：

圖1 十字形試樣等雙軸拉伸示意

式中，L為拉伸變形后的中心測試區(qū)的長度，L0為其變形前的初始長度。在不考慮試驗(yàn)誤差的情況下，由于受到試樣幾何形狀的影響，理論上只有中心點(diǎn)能呈現(xiàn)理想的等雙軸變形狀態(tài)。因此，中心測試區(qū)的長度越小，測量的結(jié)果越準(zhǔn)確，但實(shí)際很難測量小范圍內(nèi)的應(yīng)變。對于不同幾何形狀的十字形試樣，在進(jìn)行等雙軸拉伸試驗(yàn)時(shí)其中心測試區(qū)的應(yīng)力場及其分布情況是不一樣的。為了保證測量結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性，要求所設(shè)計(jì)的橡膠十字形試樣滿足如下要求：（1）中心測試區(qū)盡可能接近等雙軸變形狀態(tài)；（2）中心測試區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變分布是均勻的；（3）中心測試區(qū)應(yīng)能產(chǎn)生較大的應(yīng)變。

2.2 有限元建模

設(shè)計(jì)了4種不同形狀和尺寸的十字形試樣，如圖2所示，試樣的厚度和夾持區(qū)長度分別為2和10 mm。A型和B型試樣為最常規(guī)的十字形試樣，與A型試樣相比，B型試樣減小了十字臂的寬度，增大了倒角半徑。C型試樣根據(jù)J.J.Hu等[15]的研究設(shè)計(jì)，而D型試樣是基于單軸拉伸所用的啞鈴形試樣設(shè)計(jì)的。

圖2 4種十字形試樣的設(shè)計(jì)

相比于試驗(yàn)，有限元分析方法可以確定試樣中心測試區(qū)上每一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)，這為試樣的設(shè)計(jì)提供了良好的幫助。本工作采用有限元軟件Abaqus模擬橡膠十字形試樣的等雙軸拉伸試驗(yàn)。十字形試樣的幾何形狀比較簡單，直接使用Part模塊中的相關(guān)工具即可完成。由于模型的對稱性，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，在有限元建模時(shí)只需建立1/4的試樣模型。試驗(yàn)時(shí)試樣夾持區(qū)的剛度遠(yuǎn)大于其他部位，因此建模時(shí)不考慮這部分區(qū)域。橡膠材料模型選用不可壓縮的Ogden超彈性本構(gòu)模型，其材料參數(shù)（N＝3）如下[5]：α12.033 6 MPa，μ1－ 0.990 0，α2－ 2.573 1 MPa，μ2－ 0.774 9，α31.620 0 MPa，μ31.691 0。

Abaqus/Standard中每一種實(shí)體單元都有其對應(yīng)的雜交單元[16]，可用于分析不可壓縮材料，本工作采用八節(jié)點(diǎn)線性六面體雜交單元C3D8RH劃分十字形試樣。以A型試樣為例，在模型的左部和底部施加對稱邊界條件，在兩個(gè)十字臂末端施加25 mm的均勻線性位移載荷，同時(shí)設(shè)置中心測試區(qū)長度L0＝10 mm，即OA＝AB＝5 mm，建立的有限元模型如圖3所示。

圖3 A型試樣有限元模型

3 結(jié)果與討論

根據(jù)建立的有限元模型，對4種試樣進(jìn)行等雙軸拉伸試驗(yàn)?zāi)M，并根據(jù)中心測試區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變分布狀況對其進(jìn)行評價(jià)。

3.1 名義應(yīng)力-拉伸比關(guān)系曲線

由于模型和載荷的對稱性，沿X軸方向和Y軸方向的應(yīng)力和應(yīng)變分布的規(guī)律是一致的。根據(jù)式（13），在Abaqus中提取AB邊各節(jié)點(diǎn)沿X軸方向的真實(shí)應(yīng)力和名義應(yīng)變，求得其平均值并經(jīng)過換算即可得到各試樣的名義應(yīng)力-拉伸比關(guān)系曲線，并與采用Ogden本構(gòu)模型的理論曲線進(jìn)行對比，如圖4所示。由圖4可以看出，在標(biāo)記位置相同的情況下，通過仿真分析得到的A型試樣名義應(yīng)力-拉伸比關(guān)系曲線與理論曲線幾乎完全吻合，其次是B型試樣，說明中心測試區(qū)的選取位置是合適的。而C型試樣隨著拉伸比的逐漸增大，其曲線越來越偏離理論曲線，D型試樣則只有在拉伸比為1.7左右時(shí)與理論曲線較接近。

圖4 有限元模擬曲線與理論曲線對比

3.2 應(yīng)力場分析

4種試樣變形后的von Mises應(yīng)力云圖如圖5所示。從圖5可以看出，各個(gè)試樣在加載端應(yīng)力不均勻且均出現(xiàn)了不同程度的應(yīng)力集中現(xiàn)象：A型、C型和D型試樣在倒角處發(fā)生應(yīng)力集中，而B型試樣在拉伸臂的尾端出現(xiàn)應(yīng)力集中，其中D型試樣的應(yīng)力集中范圍最廣。對于A型和B型試樣，沿著中心點(diǎn)往拉伸臂的邊緣應(yīng)力逐漸增大，而C型和D型試樣的應(yīng)力則是先增大后減小，在較大載荷作用下容易引起拉伸臂中部破裂。相比于其他試樣，A型試樣的中心區(qū)域產(chǎn)生了較大范圍的均勻應(yīng)力場，且其整體的應(yīng)力分布也最為均勻，而D型試樣的應(yīng)力分布均勻性最差。

圖5 von Mises應(yīng)力云圖

3.3 應(yīng)變場分析

應(yīng)變場的分布規(guī)律與應(yīng)力場基本一致，由于應(yīng)變測量技術(shù)的局限性，為了得到理想的十字形試樣，需要對各個(gè)試樣的中心試驗(yàn)區(qū)的應(yīng)變場進(jìn)行評價(jià)。由于模型的對稱性，只需考慮試樣沿X方向的應(yīng)變分布狀態(tài)。在Abaqus中設(shè)置路徑OA，提取路徑上各節(jié)點(diǎn)沿X方向和Y方向的名義應(yīng)變?chǔ)臱和εY，如圖6所示。由圖6可以看出，各個(gè)試樣中心測試區(qū)的名義應(yīng)變沿X方向和Y方向的變化趨勢是相反的，εX隨著距中心點(diǎn)距離的增大而逐漸增大，而εY則逐漸減小。其中，A型試樣在中心測試區(qū)內(nèi)沿X方向和Y方向的名義應(yīng)變較大且變化幅度最小。

圖6 沿路徑O A的名義應(yīng)變變化

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，為了更直觀地評價(jià)各個(gè)十字形試樣的優(yōu)劣，定義中心測試區(qū)的等雙軸變形狀態(tài)系數(shù)α和均勻性系數(shù)β分別為

式中，ε X0為中心點(diǎn)O沿X方向的名義應(yīng)變。當(dāng)α和β的值越接近于0，則說明試樣的中心測試區(qū)接近理想的均勻等雙軸變形狀態(tài)。同樣以路徑OA為研究對象，計(jì)算該路徑上各節(jié)點(diǎn)的α和β值，如圖7和8所示。由圖7和8可見，α和β均隨著距中心點(diǎn)距離的增大而增大。其中，A型試樣中心測試區(qū)內(nèi)α和β均小于其他試樣，且接近于0，說明A型試樣最符合設(shè)計(jì)要求。同時(shí)，在測量條件允許的情況下，可以通過減小測試區(qū)域的大小，使其更接近理想的等雙軸變形狀態(tài)。

圖7 α沿路徑OA的變化趨勢

4 結(jié)論

圖8 β沿路徑OA的變化趨勢

（1）十字形試樣中心測試區(qū)的變形狀態(tài)受試樣形狀的影響，無論何種試樣，越接近試樣中心，其變形狀態(tài)越接近理想等雙軸變形狀態(tài)。

（2）在十字形試樣中心測試區(qū)標(biāo)記位置相同的情況下，A型試樣的名義應(yīng)力-拉伸比關(guān)系曲線與理論曲線最接近。

（3）相比于其他十字形試樣，A型試樣中心測試區(qū)的整體應(yīng)變水平較高，同時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變分布均勻性最好且最接近理想的等雙軸變形狀態(tài)。