林龍鋒，周 力

（1. 廣州地鐵設(shè)計研究院，廣州 510000；2. 同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

在地鐵運行過程中，1由于軌道幾何不平順、剛度不平順、車輪踏面磨損等因素，車輪和鋼軌之間會發(fā)生動力作用，產(chǎn)生振動，使得車輪和鋼軌的磨損加劇，又進一步加大了輪軌間的振動，形成惡性循環(huán)。同時，輪軌間的振動會向道床、隧道、土壤和周圍建筑物傳播，給地鐵沿線居民的生活和工作帶來不利影響。這些因素大大制約了地鐵的建設(shè)和發(fā)展。

輪軌間相互作用產(chǎn)生的振動是不可避免的，那么，為了降低地鐵振動對沿線居民和建筑的影響，國內(nèi)外研制和開發(fā)了各種軌道減振產(chǎn)品，如減振扣件、梯形軌枕、鋼彈簧浮置板等。其中，鋼彈簧浮置板是目前效果比較好的減振產(chǎn)品之一[1-4]。鋼彈簧浮置板的工作原理主要是通過低剛度的彈簧阻尼器，把振源（輪軌）與隧道壁隔開，進而減小隧道壁向外界環(huán)境傳播的振動，達到保護沿線建筑物和居民的目的?，F(xiàn)有研究表明，鋼彈簧浮置板在降低隧道壁振動的同時，往往會增大道床和鋼軌的振動，加劇輪軌間的相互作用，進一步惡化車輪和鋼軌接觸面，對軌道線路和車輛十分不利[5-6]。

為了解決這一問題，筆者研究通過在浮置板軌道上加設(shè)動力吸振器，降低由隔振所引發(fā)的浮置板軌道道床和鋼軌振動增大的部分。動力吸振器的工作原理主要是借助吸振器的阻尼和剛度元件，通過自身振動，從目標系統(tǒng)中吸收能量并進行消耗，從而降低目標系統(tǒng)的振動。目前，國內(nèi)外已經(jīng)有很多關(guān)于動力吸振器在工程中的研究與應(yīng)用[7-8]，在城市軌道交通行業(yè)主要應(yīng)用于鋼軌，而在浮置板上應(yīng)用較少。將單自由度動力吸振器設(shè)計理論和多模態(tài)控制理論相結(jié)合，根據(jù)有限元模型中車輛運行狀態(tài)下浮置板軌道振動頻譜特性，對浮置板動力吸振器的參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，并分析了浮置板動力吸振器的制振效果。

1 動力吸振器設(shè)計理論與方法

1.1 單自由度主振系統(tǒng)的動力吸振器設(shè)計

對于一個單自由度無阻尼主振系統(tǒng)，根據(jù)定點擴展理論[9]，其附加的動力吸振器設(shè)計參數(shù)如式（1）～（3）所示，其中，m、k、c分別為動力吸振器的質(zhì)量、剛度和阻尼，μ 為動力吸振器的質(zhì)量比，M、K為主振系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度。

當動力吸振器處于最優(yōu)設(shè)計條件時，即滿足最優(yōu)同調(diào)條件和最優(yōu)阻尼條件，主振系統(tǒng)的最大振幅比由式（4）決定。由式（1）～（4）看出，動力吸振器的參數(shù)和主振系統(tǒng)的最大振幅比均由動力吸振器的質(zhì)量比參數(shù)決定。增加質(zhì)量比可以提高制振的效果，但會使整體結(jié)構(gòu)變重。為了避免增加過大的質(zhì)量，一般質(zhì)量比不大于0.2。

文獻[10]給出了單自由度無阻尼主振系統(tǒng)附加了滿足最優(yōu)設(shè)計條件的動力吸振器后的強迫振動最大振幅比近似值：

其中，eqζ是與最優(yōu)狀態(tài)的動力吸振器等價的單自由度系統(tǒng)的阻尼比。利用式（6）可以確定為了達到期望的減振效果所需的動力吸振器的質(zhì)量比。

1.2 多自由度主振系統(tǒng)的動力吸振器設(shè)計

對于單自由度主振系統(tǒng)，可以通過定點擴展理論較為簡單地計算出動力吸振器的參數(shù)。但現(xiàn)實中，主振系統(tǒng)往往是多自由度系統(tǒng)，且各自由度之間相互耦合，很難通過系統(tǒng)的頻響函數(shù)直接求得動力吸振器的最優(yōu)同調(diào)條件和最優(yōu)阻尼條件。這時，首先需要利用坐標轉(zhuǎn)換將多自由度系統(tǒng)解耦，轉(zhuǎn)換成多個互不干涉的單自由度系統(tǒng)，然后利用單自由度系統(tǒng)動力吸振器的設(shè)計方法進行設(shè)計。文獻[10]認為可以將以單自由度為對象的動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計法與模態(tài)控制理論相結(jié)合，即以各個模態(tài)為控制對象，將單自由度動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計關(guān)系式應(yīng)用到第i階模態(tài)的制振中。在第i階模態(tài)動力吸振器的設(shè)置位置，通過該點的等價質(zhì)量確定吸振器的質(zhì)量比后，根據(jù)單自由度系統(tǒng)吸振器設(shè)計中的最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼條件，確定用于對第i階模態(tài)制振的動力吸振器的參數(shù)。

1.3 浮置板軌道動力吸振器的參數(shù)設(shè)計步驟

根據(jù)2.2節(jié)中對多自由度多模態(tài)控制的動力吸振器設(shè)計方法的闡述，本文對浮置板軌道中道床板的制振設(shè)計主要按照以下3個步驟：1）根據(jù)車輛—軌道動力學原理，建立車輛—浮置板軌道有限元模型，計算出車輛運行過程中浮置板的動力響應(yīng)；2）對浮置板進行模態(tài)分析，結(jié)合浮置板動力響應(yīng)的頻譜特性，確定需要制振的模態(tài)階數(shù)以及吸振器的安裝位置；3）將單自由度吸振器設(shè)計原理與多模態(tài)控制相結(jié)合，計算出動力吸振器的參數(shù)。

2 鋼彈簧浮置板動力吸振器設(shè)計

2.1 車輛—軌道動力耦合有限元模型仿真與計算

本文利用ABAQUS有限元軟件，根據(jù)圖1所示的車輛—軌道簡化模型，建立車輛—鋼彈簧浮置板軌道有限元模型。其中，車體和轉(zhuǎn)向架均采用剛體，質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量均按照地鐵B型車輛參數(shù)進行設(shè)置；一系和二系懸掛用彈簧阻尼單元進行模擬；浮置板軌道扣件剛度為50 kN/mm；浮置板采用6 m板，鋼彈簧套筒間距1.2 m，鋼彈簧的剛度大小設(shè)置為6.9 kN/mm。

圖1 車輛—軌道動力模型Fig. 1 Vehicle-track dynamic model

本文主要關(guān)注浮置板垂向振動，選擇美國六級譜作為系統(tǒng)的激勵，把軌道不平順看作平穩(wěn)隨機過程，采用三角級數(shù)法，將高低不平順譜轉(zhuǎn)換為軌道高低不平順空間樣本[11]，圖2、圖3為在軌道高低不平順激勵下，車輛運行過程中的浮置板振動加速度的計算結(jié)果。

圖2 鋼彈簧浮置板中點振動時程曲線Fig. 2 Time history curve of mid-point on the steel-spring floating slab

圖3 鋼彈簧浮置板中點振動頻域Fig. 3 Vibration frequency curve of mid-point on the steel-spring floating slab

2.2 浮置板模態(tài)計算

由于本文主要關(guān)注浮置板垂向振動，所以所求的浮置板模態(tài)也是垂向的。利用ABAQUS有限元軟件，建立浮置板實體模型，采用Lanczos算法，求出浮置板前四階模態(tài)，如圖4所示。

圖4 浮置板前四階模態(tài)Fig. 4 First four modes of the floating slab

從2.1節(jié)圖3中可以看出，在100 Hz以內(nèi)，鋼彈簧浮置板在37 Hz和85 Hz附近有較大的振動峰值，浮置板在這兩處各有一階模態(tài)（第2階模態(tài)和第3階模態(tài)）。因而，本文以浮置板的第2、3階模態(tài)為控制對象，通過設(shè)置相應(yīng)的動力吸振器來控制浮置板在37 Hz和85 Hz附近的振動。

2.3 浮置板動力吸振器參數(shù)計算

根據(jù)多模態(tài)動力吸振器的設(shè)計方法，在將多自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為N個互不耦合的單自由度系統(tǒng)后，可以把系統(tǒng)各個模態(tài)視為控制對象，將單自由度動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計關(guān)系式，即公式（1）～（5）應(yīng)用到第i階模態(tài)的制振中。在確定了第i階模態(tài)的等價阻尼后，如果能夠獲得第i階模態(tài)的系統(tǒng)等價質(zhì)量Mi，就可以計算出第i階模態(tài)動力吸振器的設(shè)計參數(shù)。系統(tǒng)的第i階模態(tài)的等價質(zhì)量與吸振器的設(shè)置位置有關(guān)。具體來說，首先借助ABAQUS有限元軟件，采用Lanczos方法進行模態(tài)分析，得到第i階模態(tài)的一致慣性質(zhì)量，并結(jié)合安裝位置的振幅與最大振幅的關(guān)系，計算得到等價質(zhì)量；其次，在確定吸振器阻尼后，根據(jù)多模態(tài)控制與動力吸振器設(shè)計理論[10]，結(jié)合單自由度動力吸振器的最優(yōu)參數(shù)設(shè)計，從而計算出第i階模態(tài)的吸振器參數(shù)。

吸振器的設(shè)計質(zhì)量大小與吸振器控制的目標模態(tài)階數(shù)以及安置的位置有關(guān)?？紤]到如果吸振器設(shè)計質(zhì)量過大，兼顧到浮置板軌道空間布局，在實際應(yīng)用中不便于實現(xiàn)，所以本文盡量將動力吸振器設(shè)置在所控制的模態(tài)振動較大處。因而，本文將抑制第2階模態(tài)振動的動力吸振器 1安置在浮置板沿軌道縱向端部（兩端各一個），即第2階振動模態(tài)波腹位置（變形最大處）；將抑制第3階模態(tài)振動的動力吸振器2安置在浮置板軌道外側(cè)的中部位置（左右兩側(cè)各一個），即第3階振動模態(tài)波腹位置，如圖5所示。同時，動力吸振器1的安置位置恰好是浮置板第3階振動模態(tài)的波節(jié)位置，動力吸振器2安置位置恰好是浮置板第2節(jié)階振動模態(tài)的波節(jié)位置，實現(xiàn)了各個模態(tài)的非耦合控制設(shè)計，避免了抑制不同模態(tài)振動的動力吸振器之間相互干擾。表1給出了控制各模態(tài)振動的動力吸振器最優(yōu)參數(shù)。

雖然在參數(shù)計算過程中，模型的質(zhì)量是按照相應(yīng)模態(tài)最大振幅點處對應(yīng)的質(zhì)量大小而設(shè)計，但考慮到實際情況，選擇具有一定體積的實體模型，結(jié)合軌道的空間、車輛運行安全等因素，動力吸振器1和2的質(zhì)量塊幾何尺寸初步設(shè)置為1 m×1 m×0.1 m、0.6 m×0.4 m× 0.1 m。此外，質(zhì)量塊通過彈簧/阻尼矩陣與浮置板相連，方向與板面垂直，彈簧/阻尼矩陣的總剛度和阻尼大小分別等于表1中對應(yīng)的剛度和阻尼參數(shù)值。

圖5 動力吸振器位置分布Fig. 5 Position distribution diagram of the dynamic vibration absorber

表1 控制各模態(tài)振動的動力吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab. 1 Optimal parameters of the dynamic vibration absorber for controlling the modal vibration

2.4 動力吸振器吸振特性分析

如圖6所示，將動力吸振器（DVA）設(shè)置在車輛—浮置板軌道有限元模型中，計算浮置板軌道在車輛載荷作用下的動力響應(yīng)。其中，動力吸振器采用實體單元進行模擬，吸振器的剛度和阻尼用線性彈簧/阻尼單元矩陣表示。將設(shè)置有吸振器的浮置板道床中點的動力響應(yīng)時域和頻域結(jié)果與未設(shè)置吸振器的浮置板道床中點的動力響應(yīng)結(jié)果進行對比，如圖6、圖7所示。

圖6 浮置板道床中點振動加速度時程Fig. 6 Vibration time history curve of acceleration at the midpoint of the floating Slab

圖7 浮置板道床中點振動加速度頻譜Fig. 7 Vibration frequency curve of acceleration at the midpoint of the floating slab

如圖7所示，鋼彈簧浮置板在加設(shè)有動力吸振器后，板中點的加速度響應(yīng)明顯降低。在未設(shè)置動力吸振器前，浮置板道床中點在100 Hz以內(nèi)有兩個峰值，分別在30～37 Hz和79～89 Hz范圍內(nèi)，各自對應(yīng)浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)，如圖8所示。在加設(shè)了動力吸振器后，這兩頻段的振動得到明顯改善，峰值分別從0.116 m/s2和0.077 m/s2降低至0.089 m/s2和0.044 m/s2，且對其他頻段（100 Hz以內(nèi)）的振動基本沒有產(chǎn)生不利影響。這表明，動力吸振器有效抑制了浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)的振動。此外，加設(shè)了動力吸振器后，浮置板在第四階模態(tài)頻率（103.2 Hz）附近的振動也有所降低。

浮置板上有、無設(shè)置動力吸振器時，鋼軌振動響應(yīng)如圖 8所示。從圖中可以清楚地看到在設(shè)置了動力吸振器后，鋼軌的振動響應(yīng)有所降低。這說明，通過在浮置板上安裝動力吸振器不但能夠降低道床板的振動，同時也能夠使得鋼軌低頻范圍內(nèi)的振動略有減小。

圖8 軌道鋼軌振動加速度頻譜Fig. 8 Vibration acceleration spectrum of the rail

3 結(jié)論

筆者以車輛荷載作用下的浮置板軌道為研究對象，利用建立的車輛—軌道有限元動力仿真模型，計算得到鋼彈簧浮置板振動加速度響應(yīng)，結(jié)合浮置板的自振特性，運用多模態(tài)控制理論，得到鋼彈簧浮置板動力吸振器的設(shè)計參數(shù)，并對動力吸振器的吸振效果進行了分析，得到如下結(jié)論：

1）基于定點擴展理論，將單自由度動力吸振器設(shè)計理論和多模態(tài)控制理論應(yīng)用于浮置板動力吸振器設(shè)計中，并結(jié)合浮置板軌道在車輛荷載作用下的動力響應(yīng)特性與浮置板本身的振動特性，能夠準確制定具有良好制振效果的動力吸振器參數(shù)。

2）在車輛荷載作用下，安裝有動力吸振器的浮置板軌道道床在30～37 Hz和79～89 Hz兩個頻段范圍內(nèi)的振動加速度峰值分別降低了23%和42.8%，這說明在設(shè)計工作頻段范圍內(nèi)，動力吸振器具有較好的吸振效果；但在設(shè)計工作頻段外，動力吸振器基本沒有任何效果。

3）在動力吸振器的設(shè)計工作頻段范圍內(nèi)，不僅浮置板道床的振動明顯降低，鋼軌的振動也有所降低，而傳統(tǒng)的隔振措施在降低軌道板振動的同時往往會增大軌道的振動，這是動力吸振器較為突出的優(yōu)點。

質(zhì)量塊材料、軌道空間大小、車輛運行安全等均是影響動力吸振器幾何尺寸設(shè)計的重要因素；此外，動力吸振器在工作過程中的振動相應(yīng)大小也是影響吸振器參數(shù)設(shè)計的重要因素。本文并未對上述內(nèi)容進行仔細研究與分析，動力吸振器的參數(shù)設(shè)計還處于理論階段，有待進一步的研究。